MỘT bài TOÁN số học HAY với NHIỀU CÁCH GIẢI

MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC HAY VỚI NHIỀU CÁCH GIẢI Nguyễn Duy Liên -THPT Chuyên Vĩnh Phúc Giải tốn Số học hay khó, ta cảm thấy thích thú Nhưng tốn Số học hay khó mà giải nhiều cách mà từ ta giải được, hay tạo số tốn lớp tốn niềm vui nhân lên nhiều lần Bài viết này, xin giới thiệu với bạn cách giải cho toán số Số học hay khó kỳ thi Olympic Tốn học Quốc tế (IMO) lần thứ 42 Hoa Kỳ Chúng ta bắt đầu với tốn Đề : Cho số nguyên dương a,b,c,d với a  b  c  d  Giả sử ac  bd   b  d  a  c  b  d  a  c  Chứng minh ab  cd số nguyên tố Lời giải Cách Giả sử ab  cd số nguyên tố Ta có ab  cd   a  d  c   b  c  a  m  gcd  a  d ,b  c  *  ( với m số nguyên dương gcd  a  d ,b  c  ước số chung lớn a  d b  c ) Từ *  suy m  gcd  a  d ,b  c   Trường hợp : m  gcd  a  d ,b  c   ab  cd  ab  cd   a  b  c  d    a  d  c  1   b  c  a  1  gcd  a  d ,b  c  vô lý Trường hợp : gcd  a  d ,b  c   Ta có ac  bd   a  c  b   b  c  a kết hợp với đề ac  bd   b  d  a  c  b  d  a  c  ta :  a  c  b   b  c  a   b  d  a  c  b  d  a  c    a  d  a  c  d    b  c  b  c  d  (**) Từ đẳng thức (**) tồn số nguyên dương k cho : a  c  d  k  b  c  b  c  d  k  a  d  từ suy ra: a  b  k  a  b  c  d   k  c  d    k  1 a  b  kết hợp với a  b  c  d   Nếu k   c  d vô lý k ab   vơ lý  Nếu k   k 1 c d Từ vô lý trường hợp , nên ab  cd số nguyên tố Cách Theo đề ac  bd   b  d  a  c  b  d  a  c  biến đổi ta a  ac  c  b  bd  d ( ) Xét tứ giác ABCD với AB  a,BC  d ,CD  b,DA  c ;BAD  600 ;BCD  1200 Rõ ràng tứ giác ABCD tồn ( qua việc dựng hình) Gọi ABC    ADC  180   Áp dung định lý hàm số côsin hai tam giác BAD BCD , ta có BD  a  c  2ac cos BAD  b  d  2bd cos BCD  đẳng thức  1 Áp dung định lý hàm số côsin hai tam giác ABC ACD , ta có a  d  b2  c AC  a  d  2ad cos   b  c  2bc cos   2cos   ad  bc a  d  b  c  ab  cd  ac  bd  2 AC  a  d  ad  ad  bc ad  bc Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, theo định lý Ptơlêmê ta có 2  AC  BD    ab  cd  suy  ac  bd   a  ac  c    ab  cd  ad  bc    2 2 Từ a  b  c  d   ab  cd  ac  bd  ad  bc   Giả sử ab  cd số nguyên tố Từ   ta thấy hai số ab  cd ac  bd nguyên tố Cho nên từ đẳng thức   ta có ac  bd chia hết ad  bc theo   vô lý Nên ab  cd số nguyên tố Cách Từ a  b  c  d   ab  cd  ac  bd  ad  bc   Theo đầu ac  bd   b  d  a  c  b  d  a  c   a  ac  c  b  bd  d ( ) Do :  ab  cd  ad  bc   ac  b  bd  d   bd  a  ac  c    Từ     suy  ab  cd  ad  bc    ac  bd   a  ac  c    Giả sử ab  cd số nguyên tố Từ   ta thấy hai số ab  cd ac  bd nguyên tố Cho nên từ đẳng thức   ta có ac  bd chia hết ad  bc theo   vô lý Nên ab  cd số nguyên tố Cách Theo đề ac  bd   b  d  a  c  b  d  a  c  biến đổi ta a  ac  c  b  bd  d (7 ) Giả sử ab  cd số nguyên tố,đặt ab  cd  p  ab  cd  mod p  kết hợp với 7    b  a 2  ac  c   b  b  bd  d   c d  bc d  b c  b4  b3 d  b d   b  c  b  bd  d   mod p    Từ   suy b  c   mod p  b  bd  d   mod p  Trường hợp b  c   mod p   b  c   ab  cd   p  b  c  p  b  c  ab  cd  b  a  b   c  c  d   c  c  d    mod p    Từ giả thiết ab  cd số nguyên tố hai số  b , c   nên từ   suy c  d   mod p  vô lý Trường hợp b  bd  d   mod p   a  ac  c   mod p  mà  a  ac  c   ab  cd   p  a  ac  c  p  ab  cd nên ta có a c  c  d  c  c  d   ab  ac  a a  ac  c  ab  cd      2 d  c  d   b  bd  ab b d  c  d  b  bd  d  ab  cd  10  Mà ab  cd số nguyên tố  a , c    b , d   nên từ  10  suy a c  d vô lý  b c  d  Từ vô lý trường hợp , nên ab  cd số nguyên tố Cách Theo đề ac  bd   b  d  a  c  b  d  a  c  suy Suy a  b  c  d ac  bd  a  b  c  d ac  bd  a  a  b  c  d  Hay a  b  c  d a  bd  ab  ad   a  b  a  d  Giả sử a  b  c  d , a  d    a  b  c  d a  b Đặt a  b  k  a  b  c  d   11 với k số nguyên dương Nếu k  Từ  11  a  b  a  b  c  d  c  d vô lý Nếu k  Từ  11  a  b  k  a  b  c  d    a  b  c  d   a  b vô lý ( a  b  c  d  ) Vậy  a  b  c  d , a  d   Giả sử có số nguyên tố p cho p  a  b  c  d , a  d   p a  d a   d  mod p     ab  cd  mod p   ab  cd  o  mod p  b  c mod p p b  c     Mà ab  cd  p ab  cd số nguyên tố, hợp số Từ cách giải bạn vận dụng vào giải toán tương tự sau Bài Chứng minh : a  ac  c  b  bd  d với số nguyên dương a  b  c  d  ab  cd số nguyên tố Bài Cho số nguyên dương a,b,c,d với a  b  c  d  thoả mãn điều kiện a  b  c  d ac  bd Chứng minh : a nb m  c m d n số nguyên tố ( m , n số nguyên dương n số lẻ ) Và tốn liệu có cách giải bạn tìm tòi suy nghĩ tơi  ... phải số ngun tố, hợp số Từ cách giải bạn vận dụng vào giải toán tương tự sau Bài Chứng minh : a  ac  c  b  bd  d với số nguyên dương a  b  c  d  ab  cd khơng phải số nguyên tố Bài Cho số. .. dương a,b,c,d với a  b  c  d  thoả mãn điều kiện a  b  c  d ac  bd Chứng minh : a nb m  c m d n khơng phải số ngun tố ( m , n số nguyên dương n số lẻ ) Và tốn liệu có cách giải bạn tìm... Giả sử ab  cd số nguyên tố Từ   ta thấy hai số ab  cd ac  bd nguyên tố Cho nên từ đẳng thức   ta có ac  bd chia hết ad  bc theo   vô lý Nên ab  cd số nguyên tố Cách Từ a  b  c