MỘT bài TOÁN số học HAY với NHIỀU CÁCH GIẢI

MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC HAY VỚI NHIỀU CÁCH GIẢI Nguyễn Duy Liên -THPT Chuyên Vĩnh Phúc Giải được bài toán Số học hay và khó, ta đã cảm thấy thích thú rồi.. Nhưng nếu một bài toán Số học ha

MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC HAY VỚI NHIỀU CÁCH GIẢI

Nguyễn Duy Liên -THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Giải được bài toán Số học hay và khó, ta đã cảm thấy thích thú rồi Nhưng nếu một bài toán Số học hay và khó mà giải được bằng nhiều cách mà từ đó ta có thể giải được, hay tạo ra một số bài toán cùng lớp bài toán đó thì niềm vui còn nhân lên nhiều lần Bài viết này, tôi xin giới thiệu với các bạn 5 cách giải cho bài toán số 6 về Số học khá hay và khó trong kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) lần thứ 42 tại Hoa Kỳ Chúng ta cùng bắt đầu với bài toán đó nhé

Đề bài : Cho các số nguyên dương a,b,c,d với ab c d 0

Giả sử acbd bd ac b d a c Chứng minh rằng abcd không phải

là số nguyên tố

Lời giải Cách 1 Giả sử rằng abcd là số nguyên tố

Ta có abcd ad c bc a m gcd a  d ,bc  * ( với m là số nguyên

dương và gcd a d ,bc là ước số chung lớn nhất của ad và bc)

Từ  * suy ra m1 hoặc gcd a d ,bc1

Trường hợp 1 : m thì 1 gcd a d ,bcabcd abcda  b c d

adc 1   bc a 1gcd a d ,bc vô lý Trường hợp 2 : gcd a d ,bc1 Ta có acbd ac b bc a kết hợp với

đề bài acbd bd ac b d  a c ta được :

ac b bc a bd ac b d  a c

ada c d  bc b  c d (**) Từ đẳng thức (**) tồn tại số nguyên dương k sao cho : a c d k b c và b c d k a d từ đó suy ra:

a b k a  b c d k cd  k 1 ab kết hợp với ab c d 0

 Nếu k   1 c d vô lý

 Nếu k 2 thì 2 k a b 2



Từ sự vô lý của các trường hợp 1 và 2 , nên abcd không phải là số nguyên tố

Cách 2 Theo đề bài acbd bd ac b d a c biến đổi ta được

a acc b bd d ( 1 )

ABa,BCd ,CDb,DAc ; BAD60 ; BCD 120 Rõ

ràng tứ giác ABCD tồn tại ( qua việc dựng hình) Gọi 0

ABC  ADC180 

Áp dung định lý hàm số côsin trong hai tam giác BAD và BCD , ta có

BD a c 2ac cos BADb d 2bd cos BCD hằng đẳng thức  1

Áp dung định lý hàm số côsin trong hai tam giác ABC và ACD , ta có

2 2 2 2 2

AC a d 2ad cos b c 2bc cos 2 cos a d b c

   

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, theo định lý Ptôlêmê ta có

AC BD 2 abcd2 suy ra    2 2   

acbd a acc  abcd ad bc  2

Từ ab c d 0abcd acbd ad bc  3

Giả sử rằng abcd là số nguyên tố Từ  3 ta thấy hai số abcd và acbd

nguyên tố cùng nhau Cho nên từ đẳng thức  2 ta có acbd chia hết ad bc theo

 3 vô lý Nên abcd không phải là số nguyên tố

Cách 3 Từ ab c d 0abcd acbd ad bc  3 Theo đầu bài

acbd  bd ac bd  a c  2 2 2 2

a acc b bd d ( 4 )

abcd ad bc ac b bd d bd a acc 5

Từ  4 và  5 suy ra       2 2  

abcd ad bc  acbd a acc 6

Giả sử rằng abcd là số nguyên tố Từ  3 ta thấy hai số abcd và acbd

nguyên tố cùng nhau Cho nên từ đẳng thức  6 ta có acbd chia hết ad bc theo

 3 vô lý Nên abcd không phải là số nguyên tố

Cách 4 Theo đề bài acbd bd ac b d a c biến đổi ta được

a acc b bd d (7 )

Giả sử rằng abcd là số nguyên tố,đặt abcd  pab cd mod p  kết hợp với

0b a acc b b bd d c d bc d b c b b d b d

 2 2 2 2  

Từ  8 suy ra 2 2  

b bd d 0 mod p Trường hợp 1 2 2  

0b c 2 abcd 2 pb c  p

Từ giả thiết abcd là số nguyên tố cho nên hai số b , c1 nên từ  9 suy ra

cd 0 mod p vô lý

0a acc 2 abcd 2 pa acc  pabcd nên ta có

2

a c c d





 10

Mà abcd là số nguyên tố cho nên a , c1 và b , d1 nên từ  10 suy ra











vô lý

Từ sự vô lý của các trường hợp 1 và 2 , nên abcd không phải là số nguyên tố

Cách 5 Theo đề bài acbd bd ac b d a c suy ra

Suy ra a  b c d acbd a  b c d acbda a   b c d

a  b c d a bd abad  ab ad

Giả sử a  b c d , ad 1 a  b c d ab

Đặt a b k a   b c d  11 với k là số nguyên dương

Nếu k  Từ 1  11 a b a  b c d c d vô lý

Nếu k 2 Từ  11 a b k a   b c d2 a   b c dab vô lý

( do ab c d 0 ) Vậy a  b c d , ad1

Giả sử có số nguyên tố p sao cho p a  b c d , ad

b c mod p





Mà abcd  p cho nên abcd không phải là số nguyên tố, nó là hợp số

Từ những cách giải trên các bạn vận dụng vào giải các bài toán tương tự sau đây nhé Bài 1 Chứng minh rằng nếu : 2 2 2 2

a acc b bd d với các số nguyên dương

ab c d 0 thì abcd không phải là số nguyên tố

Bài 2 Cho các số nguyên dương a,b,c,d với a b c d 0 thoả mãn điều kiện

a  b c d acbd Chứng minh rằng : n m m n

a b c d không phải là số nguyên tố

( trong đó m , n là những số nguyên dương và n là số lẻ )

Và các bài toán trên liệu có bao nhiêu cách giải các bạn hãy tìm tòi và suy nghĩ cùng tôi