Nhung bai toan so hoc hay va kho

Nh÷ng bµito¸n sè häc hay vµ khã.

Nh÷ng bµi

to¸n sè häc

hay vµ khã.

Bµi 1:

Ph©n tÝch sè 8030028

thµnh tæng cña 2004 sè

tù nhiªn ch½n liªn tiÕp.

(TTT2-Sè 11-04)

HD:

Tæng cña 2004 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp lµ:

S = a + (a+2) + (a+4)+ + (a+ 4006)

(a+ 2003).2004 = 8030028

a = 2004

=> 8030028 = 2004 +2006+ + 6010

Bµi 2:

ViÕt N thµnh tæng cña k sè tù

T×m sè d cña phÐp chia S cho 6.

(TTT2-Sè 12-04)

HD:

V× a 3 - a = a(a 2 -1) = (a-1)a(a+1) chia hÕt cho 6.

XÐt S - N chia hÕt cho 6.

Mµ 2003 chia cho 6 d 5

2003 2 chia cho 6 d 1

 N chia cho 6 d 1

S chia cho 6 d 1

Bµi 3:

Cho n lµ sè nguyªn

Chøng minh r»ng

A= n4-14n3+71n2-154n+120

chia hÕt cho 24(TuyÓn sinh vµo líp 10- Tr ViÖt §øc- HN 1992)

HD:

A=n3(n-2)-12n2 (n-2)

+47n(n-2)-60(n-2) =(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

Bµi 4:

Cho A = 654.999 997 +1965

CMR: A chia hÕt cho 9

(TTT2-Sè 28)

100 ch÷ sè 9

HD:

A = 654.999 997 +1965 = 654.(1000 00 - 3) + 1965 =65400 000 - 1962 +1965 = 65400 003

=> A chia hÕt cho 9

100 ch÷ sè 9

100 ch÷ sè 0

100 ch÷ sè 0

99 ch÷ sè 0

Bài 5:

Tìm số tự nhiên n để

n2 + 2006

là số chính ph ơng.

HD:

§Æt n 2 + 2006 = q 2

=> q 2 - n 2 = 2006

=>(q - n)(n + q) = 2006

§Ó ý n + q vµ q - n cïng tÝnh ch½n lÎ

Mµ 2006 chia hÕt cho 2.

Bµi 6:

Gi¶ sö

a2 + b2 = c2 + d2 =1 CMR: ac + bd ≤ 1

Gi¶i:

Ta cã: (a - c) 2 0 ≥ 0

a 2 + c 2 - 2ac 0 ≥ 0

a 2 + c 2 2ac (1) ≥ 0

T ¬ng tù b 2 + d 2 2bd (2) ≥ 0 Céng theo vÕ cña (1) vµ (2) ta cã:

a 2 + c 2 + b 2 + d 2 2ac + 2bd ≥ 0

2ac + 2bd a ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 2(ac + bd) 2 => ac + bd ≤ a ≤ a

1 (®pcm)

Bµi 7:

T×m sè nguyªn tè p mµ

p4 + 2 còng lµ sè nguyªn tè

(TS líp 10 Tr §HKHTN n¨m 2007-Vßng2)

HD:

Chó ý : p 4 chia cho 3 d 0 hoÆc 1

§¸p sè p = 3.

Bµi 8:

Víi a, b lµ sè nguyªn d ¬ng sao cho

a + 1 vµ b + 2007 chia hÕt cho 6.

CMR: 4 a + a + b chia hÕt cho 6.

(TS líp 10 Tr §HKHTN n¨m 2007- Vßng1)

HD:

a = 6k + 5 ; b = 6q + 3

4 a + a + b = 4 a + 6k + 5 + 6q + 3

= 4 a - 4 + 6k + 6q + 12

Chó ý :4 a - 4 = 4(4 a-1 - 1) chia hÕt cho 2,3

Bµi 9:

T×m c¸c cÆp sè nguyªn x , y tho¶ m·n

®iÒu kiÖn

(x - 2006) 2 = y(y + 1) ( y + 2)(y + 3)

(TS líp 10 Tr chuyªn Lam s¬n n¨m 2006- Vßng2)

HD:

-) x= 2006

-) x ≠ 2006 => y(y + 1) ( y + 2)(y + 3)

lµ sè chÝnh ph ¬ng kh¸c 0 (lo¹i)

( Xem phÇn sè chÝnh ph ¬ng)