Từ một bài toán quen thuộc tới các bài toán thi olympiad

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Từ toán quen thuộc tới toán thi Olympiad Trần Quang Hùng Tóm tắt nội dung Bài biết chủ yếu xoay quanh ứng dụng toán quen thuộc mà em học sinh có lẽ làm quen từ lớp số cách phát biểu khác Chúng ta biết toán quen thuộc sau Bài Cho tam giác ABC cạnh CA, AB lấy điểm E, F cho CE = BF Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt trung trực BC trung trực EF K A F E C B Hình Lời giải Gọi trung trực BC EF cắt K Dễ chứng minh tam giác KEC = KF B (c.c.c) Từ suy ∠KCE = ∠KBF tứ giác AKCB nội tiếp Cũng từ hai tam giác suy ∠KEC = ∠KF B suy ∠KEA = ∠KF A tứ giác AKEF nội tiếp Vậy K giao cùa đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ABC Ta hoàn tất chứng minh Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Nhận xét Bài toán mà bạn lớp quen thuộc chứng minh trung trực EF ln qua điểm cố định Khi tốn lời giải khơng cần đến yếu tố đường tròn Bạn quen thuộc phép biến hình thấy K tâm quay biến CE thành BF nội dung tốn cách dựng K, ta lấy giao điểm khác A đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ABC Bài tốn mang đậm chất biến hình xong lời giải tốn tồn viết trình bày cách đơn giản mang nội dung kiến thức cấp THCS không thơng qua phép biến hình Bài tốn có nhiều ứng dụng hay mà nhiều đề thi nước chí hình học thi tốn quốc tế năm 2013 khai thác Sau số ví dụ Bài (Olympic Tốn tồn Nga 2006, lớp 10) Lấy K, L hai điểm cung AB BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cho KL AC Chứng minh tâm nội tiếp tam giác BAK BCL cách trung điểm cung ABC tam giác ABC Chúng ta có bổ đề sau Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tâm đường tròn nội tiếp I Tia AI cắt đường tròn (O) D khác A D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC Bổ đề kết quen thuộc tâm đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác Xin khơng trình bày lại chứng minh P B I K L O J M N C A Hình Giải toán Gọi I, J tâm nội tiếp tam giác BAK BCL Gọi BI, BJ cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC M, N khác B, ta dễ thấy M, N trung điểm cung KA , LC Do KL AC nên KA = LC MN AC kết hợp bổ đề dễ MI = MK = NL = NJ Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Áp dụng bổ đề cho tam giác BMN nội tiếp (O) với MI = NJ ta suy P I = P J với P trung điểm MBN Ta ý MN minh AC nên P trung điểm MBN ta có điều phải chứng Nhận xét Bài tốn làm khó cách yêu cầu chứng minh trung trực IJ qua điểm cố định chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ qua điểm cố định khác A K, L di chuyển đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tốn tốn đẹp có ý nghĩa Ta có ứng dụng sau Bài Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB CD P điểm (O) Gọi K, L, M, N tâm nội tiếp tam giác P AD, P BC, P AC, P BD Chứng minh đường tròn P KL, P MN (O) đồng trục Bài tập ứng dựng đơn giản thi vơ địch Nga, bạn làm tự luyện Cũng kỳ thi vô địch Nga có tốn khác thú vị sau Bài (Olympic Tốn tồn Nga 2011, lớp 11) Cho N trung điểm cung ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M trung điểm BC Gọi I1 , I2 tâm nội tiếp tam giác ABM, CBM Chứng minh I1 , I2 , B, N thuộc đường tròn Bài tập tốn có phát biểu đẹp nhiều ý nghĩa Trong trình tìm hiểu, tác giả viết tìm tổng qt đề nghị tổng quát thi Mathley Bài toán sau Bài (Mathley 9) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M thuộc trung trực BC I1 , I2 tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB, MAC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AI1 I2 ln thuộc đường thẳng cố định M di chuyển Bổ đề Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp Đường tròn qua A, I cắt CA, AB E, F khác A AE + AF = CA + AB − BC A F M N E I B Chứng minh Gọi M, N hình chiếu I lên CA, AB Dễ thấy suy AE = AF = AM + AN = CA + AB − BC C INF = IME (c.g.c) từ Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN N A F O E I1 B I2 D C M Giải tốn Gọi đường tròn ngoại tiếp (AI1 I2 ) cắt AM, CA, AB D, E, F khác A Theo bổ đề dễ thấy AD + AF = AB + AM − MB, AD + AE = AC + AM − MC Trừ hai đẳng thức ý MB = MC ta AF − AE = AB − AC hay AB − AF = AC − AE Do trường hợp E, F phía khác phía BC ta có BF = CE Vậy theo tốn gọi N trung điểm cung BC chứa A (AI1 I2 ) ≡ (AEF ) qua N Vậy tâm ngoại tiếp AI1 I2 thuộc trung trực AN cố định Đó điều phải chứng minh Nhận xét Nếu gọi I3 , I4 tâm bàng tiếp góc A tam giác MAB, MAC chứng minh tương tự đường tròn ngoại tiếp tam giác AI3 I4 qua N Hơn gọi I5 , I6 chia I1 I3 , I2 I4 tỷ số đường tròn ngoại tiếp tam giác AI5 I6 qua N Các nhận xét chứng minh tương tự toán dựa vào toán ban đầu Ta bước đầu có cảm nhận thú vị hai tốn thi vơ địch Nga Sau tốn tiếng xuất kì thi Olympic Toán quốc tế 2013 vừa qua Bài (IMO 2013 3) Cho tam giác giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F Chứng minh tam giác ABC vuông tâm ngoại tiếp tam giác DEF nằm (O) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN K A F E B O C D V Lời giải K trung điểm cung BAC Từ tính chất tiếp điểm bàng tiếp ta dễ chứng minh BF = CE nên theo toán trung trực EF qua K Nếu tâm ngoại tiếp tam giác DEF thuộc (O) nằm tam giác DEF nên tam giác DEF tù Khơng tổng quát giả sử ∠EDF tù Do tâm ngoại tiếp tam giác DEF thuộc trung trực EF tâm ngoại tiếp tam giác DEF phải giao trung trung trực EF (O) Giao điểm phải nằm góc ∠EDF nên giao điểm K Vậy K tâm ngoại tiếp tam giác DEF Dễ thấy đường thẳng qua tâm bàng tiếp Ia , Ib , Ic vng góc với BC, CA, AB đồng quy điểm V Từ tứ giác DF BV, DECV nội tiếp Chú ý K tâm ngoại tiếp tam giác EDF nên ta suy ∠BV C = ∠BV D + ∠CV D = ∠AF D + ∠AED = 360◦ − ∠BAC − ∠EDF = 360◦ − ∠EKF 360◦ − ∠EKF 360◦ − ∠EKF − = 2 Mặt khác KB = KC Từ dễ suy K tâm ngoại tiếp tam giác BV C hay KB = KV = KC Vậy ta ý tứ giác DF BV nội tiếp cạnh F D, BV có chung đường trung trực, từ theo tính chất đối xứng dễ suy V F = BD = AE tương tự V E = CD = AF Vậy tứ giác AEV F hình bình hành mà ∠AEV = ∠AF V = 90◦ hình chữ nhật suy ∠BAC = 90◦ Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán thi quốc tế toán đẹp ý nghĩa Một điều thú vị toán toán đề nghị từ nước Nga Bài tốn có nhiều phát triển mở rộng, xin giới thiệu số phát triển mở rộng Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tâm nội tiếp I, M trung điểm BC N đối xứng I qua M Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi X, Y, Z hình chiếu N lên BC, CH, HB Chứng minh tâm ngoại tiếp tam giác XY Z nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Bài Cho tam giác ABC, trực tâm H, tâm nội tiếp I, M trung điểm BC, N đối xứng I qua M P điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Gọi X, Y, Z hình chiếu Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN N lên BC, CP, P B Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z Chứng minh K ln thuộc đường tròn cố định P di chuyển Bài Cho tam giác ABC vuông A Tâm bàng tiếp góc A Ia V đối xứng với Ia qua trung điểm BC Gọi D, E, F hình chiếu V lên BC, CA, AB Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac DEF nằm (O) Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, tâm nội tiếp I P điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Gọi D, E, F hình chiếu P lên BC, CA, AB Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF thuộc đường thẳng cố định P di chuyển Các toán mở rộng phát triển từ thi IMO lời giải tương tự lời giải IMO, bạn làm tự luyện Sau toán ứng dụng toán Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn có, trực tâm H, tâm ngoại tiếp O, bán kính đường tròn ngoại tiếp BA.BH CA.CH 4R2 R Trên tia BO, CO lấy điểm K, L cho = = Chứng minh BK CL BC trung trực KL qua trung điểm BC A E L F O H K B D M C Hình Lời giải Gọi AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Gọi OB giao F D K Dễ thấy BK đường cao tam giác BF D Ta lại có tam giác BF D tam giác BCA đồng dạng nên BK BE 4R FD HB sin B HB BE.BH BE.2R BK BA.BC = = = Suy BK = = = BK = BK Do BE AC AC 2R 2R 2R BA.BC K ≡ K Tương tự L hình chiếu C lên DE Vậy ta ý B, C tâm bàng tiếp Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN tam giác DEF K, L tiếp điểm bàng tiếp với cạnh DF, DE nên ta dễ chứng minh F K = EL Ta ý M trung điểm BC M, D, E, F thuộc đường tròn Euler tam giác ABC dễ có ME = MF nên M trung điểm EDF đường tròn Euler Áp dụng tập dễ trung trực KL qua M Ta có điều phải chứng minh Một kết đẹp khác từ toán sau Bài 12 Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I Gọi M, N, P, Q, R, S đối xứng B, C, C, A, A, B qua IC, IB, IA, IC, IB, IA Gọi X, Y, Z tâm ngoại tiếp tam giác AMN, BP Q, CRS a) Chứng minh I tâm ngoại tiếp tam giác XY Z b) Chứng minh trực tâm tam giác XY Z tâm ngoại tiếp tam giác ABC Ta có bổ đề sau Bổ đề Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I, tâm ngoại tiếp O Gọi M, N đối xứng B, C qua IC, IB MN vng góc OI bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN OI N X A M I O C B Hình Đây bổ đề quen thuộc xuất nhiều tài liệu khác nhau, bạn tham khảo nhiều lời giải [1,2,3] xin khơng trình bày lại chứng minh Quay lại toán Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN N X D A M I O R P B F S Y Z C E Q Hình Lời giải a) Theo bổ đề bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BP Q CRS mà C, Q B, R đối xứng qua IA, từ dễ thấy hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BP Q CRS đối xứng qua IA Nên Y Z hai tâm tương ứng đối xứng qua IA IY = IZ Tương tự suy I tâm ngoại tiếp tam giác XY Z Ta có điều phải chứng minh b) Ta ý tính đối xứng nên MN = CM BC theo tốn đường tròn (X) ngoại tiếp tam giác AMN qua D trung điểm BAC đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Từ dễ suy OX vng góc AD Ta ý AD phân giác ngồi A tam giác ABC nên AD vng góc AI ta dễ suy OX AI Theo chứng minh Y Z đối xứng qua AI nên Y Z vng góc AI Y Z vng góc OX Tương tự dễ O trực tâm tam giác XY Z Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài tốn kết đẹp có ý nghĩa Nó xuất phát từ kết nghiên cứu [5], thơng qua tốn chứng minh đơn giản Bài tốn có có hệ đẹp đường thẳng Euler tam giác XY Z đường thẳng OI tam giác ABC Ngồi ta ý từ chứng minh phần b) dễ suy IX = OA đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z ABC có bán kính Ta lại tiếp tục toán khác liên quan tới toán Bài 13 Cho tam giác ABC E, F di chuyển cạnh CA, AB cho CE = BF Chứng minh đường thẳng Euler tam giác AEF qua điểm cố định E, F di chuyển Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN P A L K T F G N O E M B C Hình Lời giải Gọi G, L trọng tâm tam giác ABC AEF Gọi (O) (K) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AEF LK, GO đường thẳng Euler tam giác AEF ABC Gọi LK giao GO T ta chứng minh T cố định, thật vậy, theo toán (O) (K) cắt P trung trực EF BC Gọi M, N trung điểm BC, EF Ta dễ thấy tam giác cân P EF P CB đồng dạng có tâm ngoại tiếp K O, trung điểm đáy N, M Do PK KO PO theo tính chất đồng dạng dễ = = tỷ số cố định, mặt khác từ suy PN MN PM GL GL MN PM GL = GL MN Do GL KO = = MN KO Ta lại ý MN KO MN KO PO TG GL tỷ số cố định Từ ta có = khơng đổi T cố định Ta có điều phải chứng minh TO KO Nhận xét Bài toán lại cho ta kết luận quan trọng đường thẳng Euler tam giác AEF qua điểm cố định ứng dụng vào chuỗi tốn ta vừa xây dựng giúp ta tìm nhiều kết sâu sắc khác Ngồi chứng minh ta điểm cố định T nằm AP phân giác góc A Ta có ý quan trọng chứng minh ta dễ MN song song OK vng góc AP hay song song phân giác góc A Đây kết quen thuộc mà bạn lớp 7,8 thường hay dùng tính chất trung điểm tam giác cân tứ giác EF BC có hai cạnh để chứng minh Kết cho ta hệ đẹp sau Bài 14 Cho tam giác ABC E, F nằm cạnh CA, AB cho CE = BF BE giao CF P Gọi M, N trung điểm BC, EF Q điểm đường thẳng MN Gọi R đối xứng P qua Q Chứng minh AR phân giác tam giác ABC Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 10 A R F L Q E N P B M C Hình Lời giải Gọi L trung điểm AP ta quen thuộc với kết đường thẳng Gauss-Newton M, N, L thẳng hàng theo tính chất đường trung bình AR song song QR ≡ MN Theo nhận xét AR phân giác tam giác ABC Ta có điều phải chứng minh Để kết thúc viết bạn làm tập sau để thực hành sâu toán toán viết Bài 15 Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF tâm ngoại tiếp O Gọi OA, OB, OC cắt EF, F D, DE X, Y, Z Giả sử tâm ngoại tiếp tam giác XY Z nằm đường tròn Euler tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC có góc 45◦ Bài 16 Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF đồng quy H Đường tròn qua D, H trực giao với đường tròn (HBC) cắt (HBC) X khác H Tương tự có Y, Z Gọi (K) đường tròn ngoại tiếp tam giác XY Z Đường thẳng qua H vng góc với HK cắt (XY Z) M, N Chứng minh tiếp tuyến M, N (XY Z) cắt (O) tam giác ABC có góc 45◦ Bài 17 Cho tam giác giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF qua tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với BC Chứng minh tam giác ABC vuông Bài 18 Cho tam giác ABC, tia đối tia BA, CA lấy điểm M, N cho BM = BN = BC Gọi Ia O tâm bàng tiếp góc A tâm ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh MN ⊥ OIa bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN OIa Bài 19 Cho tam giác ABC đường cao AD, BE, CF đồng quy H Gọi M, N, P, Q, R, S đối xứng E, F, F, D, D, E qua đường thẳng AB, AC, BC, BA, CA, CB Gọi X, Y, Z tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN, EP Q, F RS Chứng minh đường thẳng Euler tam giác XY Z tam giác ABC trùng Bài 20 Cho tam giác ABC E, F di chuyển cạnh CA, AB cho CE = BF Chứng minh tâm đường tròn Euler tam giác AEF ln thuộc đường thẳng cố định E, F di chuyển Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 11 Tài liệu [1] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xn Bình, Tốn nâng hình học 10, NXBGD 2000 [2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10, NXBGD 2010 [3] Bosnia and Herzegovina TST 2012 Problem on AoPS [4] Russia All-Russian Olympiad on AoPS [5] Quang Tuan Bui, Two triads of congruent circles from reflections, Forum Geometricorum, (2008) ... chứng minh Nhận xét Bài toán thi quốc tế toán đẹp ý nghĩa Một điều thú vị toán toán đề nghị từ nước Nga Bài tốn có nhiều phát triển mở rộng, xin giới thi u số phát triển mở rộng Bài Cho tam giác... I6 qua N Các nhận xét chứng minh tương tự toán dựa vào toán ban đầu Ta bước đầu có cảm nhận thú vị hai tốn thi vơ địch Nga Sau toán tiếng xuất kì thi Olympic Tốn quốc tế 2013 vừa qua Bài (IMO... DEF thuộc đường thẳng cố định P di chuyển Các toán mở rộng phát triển từ thi IMO lời giải tương tự lời giải IMO, bạn làm tự luyện Sau toán ứng dụng toán Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn có, trực tâm