Xung quanh một bài toán hình học trong kỳ thi TST việt nam năm 2014

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Xung quanh tốn hình học kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam năm 2014 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết xoay quanh tốn hình học hay kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam năm 2014 với công cụ hình học túy Trong kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam năm 2014 ngày thứ có tốn hình học hay sau Bài tốn Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung BC không chứa A (O) lấy điểm D Giả sử CD cắt AB E BD cắt AC F Gọi (K) đường tròn nằm tam giác EBD, tiếp xúc với EB, ED tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi (L) tâm đường tròn nằm tam giác F CD, tiếp xúc với F C, F D tiếp xúc với đường tròn (O) a) Gọi M tiếp điểm (K) với BE N tiếp điểm (L) với CF Chứng minh đường tròn đường kính MN ln qua điểm cố định D di chuyển b) Đường thẳng qua M song song với CE cắt AC P , đường thẳng qua N song song với BF cắt AB Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP, ANQ tiếp xúc với đường tròn cố định D di chuyển Bài toán quen thuộc với định lý Sawayama Thébault mở rộng đơn giản Để tìm hiểu tốn mở rộng ta tìm hiểu lại định lý Sawayama Thébault với mở rộng Bài toán (Định lý Sawayama Thébault) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc đoạn BC Đường tròn (K) tiếp xúc DA, DC M, N tiếp xúc (O) Chứng minh MN qua tâm nội tiếp tam giác ABC A F K M O I B D N E Hình C Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Lời giải Gọi phân giác góc ∠BAC cắt (O) E khác A AE cắt MN I (K) tiếp xúc (O) F Dễ có E, N, F thẳng hàng EB = EC = EN.EF 1 Ta lại có ∠F MN = ∠F KN = ∠F OE = ∠F AE suy tứ giác AF IM nội tiếp Suy 2 ∠IF N = ∠MF N − ∠MF I = ∠DMN − ∠MF I = ∠AF I − ∠MF I = ∠AF M = ∠AIM = ∠EIN Từ EIN ∼ EF I suy EI = EN.EF = EC = EB Suy I tâm nội tiếp tam giác ABC Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Lời giải cách tiếp cận nhanh gọn cho định lý Sawayama Thébault Bài toán phát biểu tâm nội tiếp hẳn nhiên có cách phát biểu tâm bàng tiếp, ta tìm hiểu phát biểu sau Bài toán (Định lý Sawayama Thébault mở rộng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc tia đối tia CB Đường tròn (K) tiếp xúc DA, DC M, N tiếp xúc (O) Chứng minh MN qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC B O E C A F N K M D J Hình Lời giải Gọi phân giác đỉnh A cắt (O) E khác A AE cắt MN J (K) tiếp xúc (O) F Dễ có E, N, F thẳng hàng EB = EC = EN.EF Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 1 Ta lại có ∠F MN = ∠F KN = ∠F OE = ∠F BE = ∠F AJ suy tứ giác AF MJ nội tiếp 2 Suy ∠EF J = 180◦ − ∠NF J = 180◦ − ∠NF M − ∠MF J = 180◦ − ∠JMA − ∠MAJ = ∠MJA Từ EF J ∼ EJN suy EJ = EN.EF = EC = EB Suy J tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B tam giác ABC Ta có điều phải chứng minh Để giải toán mở rộng ta cần thêm tốn sau Bài toán Cho tứ giác ABCD Giả sử tia BA giao tia CD E, tia DA giao CB F Phân giác góc ∠E, ∠F cắt G Chứng minh 2∠G = ∠A + ∠C E B A G F D C Hình Bài tốn đơn giản xin khơng trình bày cách chứng minh Trở lại toán Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A O C B N L M D K H G F E J Hình Lời giải toán a) Gọi (K) tiếp xúc ED G (L) tiếp xúc F D H Theo tốn MG, NH qua tâm bàng tiếp J ứng với đỉnh A Theo tốn góc tạo (EK, LF ) = (∠A + ∠D) = 90◦ EK ⊥ LF Lại dễ có MG ⊥ EK ⊥ LF ⊥ NH từ MG vng góc NH J nên đường tròn đường kính MN qua J cố định b) Dễ thấy tam giác EMG cân nên MJ phân giác tam giác AMP nên J tâm bàng tiếp góc A tam giác AMP Giả sử đường tròn (R) tiếp xúc với CA, AB Y, Z tiếp xúc (O) tâm bàng tiếp J tam giác ABC trung điểm Y Z Do J tâm bàng tiếp AMP nên đường tròn (R) tiếp xúc AP, AM Y, Z tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP tiếp xúc (R) cố định Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Ý tưởng chứng minh toán rõ ràng sáng sủa ngắn gọn Nguyễn Văn Linh sinh viên đại học ngoại thương Câu b) tiếp cận theo hướng lời giải xem đơn giản Ta thử tập trung vào khai thác ý a) Câu a) nói lên MG, NH qua J cố định Bài tốn mở rộng sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài toán Cho tam giác ABC đường tròn (O) cố định qua B, C D điểm di chuyển (O) cho A, D khác phía BC Giả sử CD cắt AB E BD cắt AC F Gọi (K) đường tròn tiếp xúc EB, ED M, N tiếp xúc (O) Gọi (L) đường tròn tiếp xúc F C, F D P, Q tiếp xúc (O) Chứng minh giao điểm MN, P Q ln nằm đường tròn cố định D di chuyển G H A O C B P M K L D Q N E F S T R Hình Lời giải Gọi AB, AC cắt (O) G, H khác B, C Áp dụng toán vào tam giác GBC, HBC MN qua tâm bàng tiếp S ứng với đỉnh G tam giác BGC cố định P Q qua tâm bàng tiếp T ứng với đỉnh H tam giác HBC cố định Gọi MN cắt P Q R ý EK ⊥ MN, F L ⊥ P Q, theo toán ∠R = ∠(EK, KL) = (∠A + ∠D) (O) cố định nên ∠D khơng đổi Từ ∠R không đổi S, T cố định nên R thuộc đường tròn cố định qua S, T Nhận xét Với ý tưởng thay đường tròn ngoại tiếp thành đường tròn qua B, C ta thu toán thú vị Ngồi tốn TST phát biểu định lý Sawayama Thébault mở rộng Ta hồn tồn có tốn tương tự định ký Sawayama Thébault gốc sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm di chuyển cung BC chứa A (O) P B, P C cắt CA, AB E, F Đường tròn (K) tiếp xúc đoạn EA, EB tiếp xúc (O) Đường tròn (L) tiếp xúc đoạn F B, F C tiếp xúc BC không chứa A (O) (K) tiếp xúc AC M (L) tiếp xúc AB N Chứng minh đường tròn đường kính MN ln điểm cố định P di chuyển F P A M E K O N I L B C Hình Từ tốn mở rộng ta hồn tồn đề xuất toán sau Bài toán Cho tam giác ABC đường tròn (O) cố định qua B, C D điểm di chuyển cung BC (O) cho D, A phía BC DB, DC cắt CA, AB E, F Đường tròn (K) tiếp xúc đoạn EA, EB M, N tiếp xúc (O) Đường tròn (L) tiếp xúc đoạn F B, F C P, Q tiếp xúc (O) điểm khơng phía A so với BC Chứng minh giao điểm MN P Q ln thuộc đường tròn cố định P di chuyển Các bạn làm toán luyện tập nhiều khám phá đợi bạn xung quanh toán Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] Vietnam TST http://diendantoanhoc.net/form [2] Nguyễn Thị Hường, Lương Ánh Nguyệt, Lương Thị Thanh Mai, Đào Thị Quỳnh Nga, Định lý Sawayama Thébault http://analgeomatica.blogspot.com/2014/02/inh-ly-sawayamava-thebault.html Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... đường tròn cố định P di chuyển Các bạn làm toán luyện tập nhiều khám phá đợi bạn xung quanh toán Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] Vietnam TST http://diendantoanhoc.net/form [2] Nguyễn... Để giải toán mở rộng ta cần thêm tốn sau Bài toán Cho tứ giác ABCD Giả sử tia BA giao tia CD E, tia DA giao CB F Phân giác góc ∠E, ∠F cắt G Chứng minh 2∠G = ∠A + ∠C E B A G F D C Hình Bài tốn... cận nhanh gọn cho định lý Sawayama Thébault Bài toán phát biểu tâm nội tiếp hẳn nhiên có cách phát biểu tâm bàng tiếp, ta tìm hiểu phát biểu sau Bài toán (Định lý Sawayama Thébault mở rộng) Cho