Một bài toán hay có nhiều ứng dụng

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Một tốn hay có nhiều ứng dụng Tóm tắt nội dung Một toán nhỏ đẹp với lời giải túy hình học áp dụng vào nhiều tình khác tạo toán thú vị xuất nhiều thi học sinh giỏi Trong [1] có đề xuất tốn hay sau Bài tốn Cho C, D thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB Tiếp tuyến B cắt CD P CA cắt OP E BE song song AD D P K C A O B E Hình Lời giải Gọi K trung điểm CD OK ⊥ CD nên ta có OBP K nội tiếp Do ∠BKD = ∠BOP = ∠AOE, mặt khác ∠EAO = ∠KDB tam giác EAO ∼ BDK suy EAB ∼ BDC Từ ∠DAB = ∠DCB = ∠ABE BE AD Nhận xét Bài toán đơn giản, lời giải đẹp mộc mạc túy hình học chứa đựng ý nghĩa sâu sắc Chúng ta xét số ứng dụng qua tốn sau Bài tốn Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường cao AD, BE, CF AA đường kính (O) A B, A C cắt AC, AB M, N P, Q thuộc EF cho P B, QC vng góc với BC Đường thẳng qua A vng góc với QN, P M cắt (O) X, Y Tiếp tuyến (O) X, Y cắt J Chứng minh JA vng góc BC Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN L A O Q E F Y P K D B X C I A' M N J Hình Lời giải Theo toán thấy P M, QN qua trung điểm I BC Lấy L thuộc (O) cho AL BC Dựng IK P Q ≡ EF ⊥ AA dễ thấy IO qua trung điểm P Q nên chùm I(KOP Q) = −1 Ta lại thấy AO, AL, AY, AX vng góc với IK, IO, IP, IQ (A LY X) = A(OLY X) = −1 Vậy tứ giác LXA Y điều hòa, tiếp tuyến X, Y (O) cắt A L ⊥ BC Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán tác giả dùng trình tập huấn đội tuyển KHTN năm 2009 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN đề THTT năm 2011 Bài toán Cho tam giác ABC nhọn, không cân, đường cao AD, BE, CF đồng quy H, điểm D, E, F thuộc cạnh BC, CA, AB Gọi M, N trung điểm CA, AB Gọi DE cắt đường thẳng qua A vng góc AB K Gọi KN giao BC S a) Chứng minh AS ⊥ AC b) Gọi DF cắt đường thẳng qua A vng góc AC L Chứng minh LM, NK, AD đồng quy c) Gọi KL cắt EF P Chứng minh AP BC X A Y P K L Q E N M F H JZ I R S B C D T Hình Lời giải a) Gọi Z trung điểm DE Dễ thấy NZ ⊥ DE tứ giác AKNZ nội tiếp Suy ∠AZE = ∠ANK = ∠SNB Mặt khác tứ giác AEDB nội tiếp nên ∠AEZ = ∠SBN Từ ta có AEZ ∼ SBN Mà E, N trung điểm DE, AB AED ∼ SBA Từ ∠SAB = ∠ADE = ∠ABE nên AS BE ⊥ AC Ta có điều phải chứng minh b) Gọi ML cắt BC T Tương tự câu a) có AT ⊥ AB A, L, S A, K, T thẳng hàng LA T S MC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ASC với L, M, T thẳng hàng ta có = suy LS T C MA LA TC KT ST LA DS KT = Tương tự = Từ ý CH AT, BH AS ta có = LS TS KA SB LS DT KA T C DS AH AD T C DS ST = = = Do SK, LT, AD đồng quy Q Ta có điều phải T S DT SB T D SB AD AH chứng minh c) Gọi DF giao BE I Ta ý tam giác AF D có B, I, H thẳng hàng nên áp dụng định HA ID BF CT HA IF BA IF IL IL lý Menelaus = Từ ý IB AL ta có = = = = HD IF BA CD HD ID BF ID IF ID Do ta chứng minh CI LT Gọi đường thẳng qua A song song BC cắt LT Y Ta thấy tam giác ALY BIC có cạnh tương ứng song song nên IL, CY BA đồng quy F Tương tự SK giao AY X DK, BX, CA đồng quy E Gọi EF giao BC R XY đường thẳng qua A song song BC Gọi XY cắt EF P , ta chứng minh P, L, K thẳng hàng, ta có biến đổi tỷ số P X LY KQ P Y LQ KX Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN P X P A LY LT KQ KS P A P Y LT LQ KS KX RB RB AY LT KQ ST = RC RC ST LQ KS AX RB AY DT = (Chú ý áp dụng Ceva cho tam giác SQT với QD, SL, T K đồng quy) RC AX DS RB DB DB AY AY (Chú ý áp dụng Ceva Menelaus cho tam giác ABC ta có = ) = DC AX AX RC DC DB DC = = DC DB Vậy P, L, K thẳng hàng Ta có điều phải chứng minh = Nhận xét Các bạn để ý kỹ nội dung câu a) tốn Các bước lời giải câu a) mô lại cách chứng minh toán Nếu bạn biết phép chiếu song song hồn tồn mở rộng tốn cách thay trực tâm H điểm mặt phẳng Cách chứng minh gần tương tự Bài toán tác giả dùng kỳ thi HSG lớp 10 trường THPT chuyên KHTN năm 2013 Bài toán Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC Tiếp tuyến A (O) cắt BC T D điểm đối xứng A qua O OT cắt DB E a) Chứng minh AE song song CD b) Gọi BE cắt AT F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt EO G khác E Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm (O) A O G F I E T B C M D Hình Chứng minh a) Gọi M trung điểm BC Dễ có OM ⊥ BC Chú ý OA ⊥ AT Vậy tứ giác AOMT nội tiếp, suy ∠AOT = ∠AMT suy ∠EOD = ∠AMC Kết hợp góc nội tiếp ∠BDA = ∠ACM Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN suy hai tam giác đồng dạng AMC ∼ EOD Chú ý M trung điểm BC, O trung điểm AD ta suy hai tam giác đồng dạng tương ứng EAD ∼ ABC Vậy từ ∠EAD = ∠ABC Do tam giác ABC nhọn, dễ có ∠ABC +∠OAC = 90◦ suy ∠EAC = ∠EAD+∠OAC = ∠ABC +∠OAC = 90◦ Ta có AE ⊥ AC ⊥ CD nên AE song song CD Ta có điều phải chứng minh b) Từ a) dễ có ∠F AE = ∠T AC − 90◦ = ∠DAC Do ta có ∠F GT = ∠F AE = ∠DAC = ∠DBC = ∠F BT suy tứ giác F GBE nội tiếp Từ dễ có ∠T GE = ∠T F B = ∠EGA Từ ta dễ có GO phân giác ∠AGB mà OA = OB nên tứ giác AGOB nội tiếp Gọi đoạn GO cắt (O) I Ta dễ có OI = OA = OB mà I thuộc phân giác GO nên I tâm nội tiếp tam giác AGB Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Các bạn để ý kỹ nội dung câu a) tốn Các bước lời giải câu a) mô lại cách chứng minh toán Bài toán tác giả đề nghị kỳ thi HSG Vĩnh Phúc năm 2013 Với toán tưởng chừng đơn sơ toán biết ứng dụng vào nhiều tính khác tạo nhiều toán thú vị Các khám phá đợi bạn Tài liệu [1] Trần Quang Hùng, Tuyển tập toán hình học chọn đội tuyển KHTN, năm 2013 Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... câu a) mô lại cách chứng minh toán Bài toán tác giả đề nghị kỳ thi HSG Vĩnh Phúc năm 2013 Với toán tưởng chừng đơn sơ toán biết ứng dụng vào nhiều tính khác tạo nhiều toán thú vị Các khám phá đợi... (O) cắt A L ⊥ BC Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán tác giả dùng trình tập huấn đội tuyển KHTN năm 2009 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN đề THTT năm 2011 Bài toán Cho tam giác ABC... Ta có điều phải chứng minh = Nhận xét Các bạn để ý kỹ nội dung câu a) tốn Các bước lời giải câu a) mô lại cách chứng minh toán Nếu bạn biết phép chiếu song song hồn tồn mở rộng tốn cách thay