TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008       CHUYÊN ĐỀ : TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM Giáo viên thực hiện: Ngô Tỵ ĐẠI SỐ HOÁ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài toán 1:" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B = π . Chứng minh a + b ≤ 4 5 c (# ) " Trong các sách tham khảo- các tác giả chuyển đổi (#) thành hệ thức lượng giác trên cơ sở hệ thức sin và thực hiện các phép biến đổi lượng giác , đi đến một lời giải gọn gàng . 1/ Tìm hiểu lời giải bài toán ( ở một khía cạnh khác ) Ta thử xác lập hệ thức liên hệ giữa độ dài các cạnh từ các dữ kiện của bài toán .Ta có : acbc Csin.AsinBsinCsin Csin)BCsin()BCsin()BCsin( Csin)BCsin( BC2 B3A2 CBA 22 22 =−⇒ =−⇒ +=−+⇒ =−⇒    =−⇒ =+ =++ π π π Bài toán ban đầu được phát biểu lại : " Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c 2 - b 2 = ac chứng minh : a + b ≤ 4 5 c " ( Giả thiết và kết luận của bài toán đã xích lại gần nhau ) Việc chứng minh bài toán đại số này là không khó . Ta có a + b ≤ 4 5 c ⇔ ac + bc ≤ 4 5 c 2 ⇔ c 2 - b 2 + bc ≤ 4 5 c 2 ⇔ c 2 - 4bc + 4b 2 0 ≥ ⇔ ( ) 0 2 ≥− bc (đúng ) 2/ Khai thác lời giải bài toán : Trên cơ sở đẳng thức c 2 - b 2 = ac được xác lập ta có thể tạo ra các bất đẳng thức khác - chẳng hạn : Từ phương trình bậc hai c 2 - ac - b 2 = 0 (c > 0 ) ta có nghiệm dương c = 2 4 22 baa ++ =⇒ c2 a+ 22 b4a + b6a4a5b4a34a5c10 2222 ++≥+++=⇒ ( Bu - nhia - cốp - ki) bac 6910 +≥⇒ . Một bài toán mới được xác lập : " Cho tam giác ABC thoả 2A+3B = π . Chứng minh : 10 c ≥ 9a + 6b " . Bài toán 2: " Cho tam giác ABC thoả 2A+ 3B = π . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp " ( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh Quảng nam - 1999 - 2000 ) Từ giả thiết : 2A+ 3B = π với ABC là 3 cạnh tam giác ta suy ra : c 2 - ac - b 2 = 0 ( Bài toán 1) 1 Bài toán được phát biểu lại : " a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c 2 - b 2 = ac . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp “ Từ dữ kiện a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c 2 - b 2 = ac ta suy ra : c > a , c> b Trường hợp : c > b > a . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ a = n , b = n +1 , c= n +2 ( n ∈ N*) , kết hợp với c 2 - b 2 = ac suy ra (n+2) 2 – (n+1) 2 = n.(n+2) ⇒ 2n + 3 = n 2 + 2n ⇒ 3 = n 2 (!) Trường hợp : c> a > b . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ b = n , a = n +1 , c= n +2 ( n ∈ N*) , kết hợp với c 2 - b 2 = ac suy ra (n+2) 2 – n 2 = (n+1).(n+2) ⇒ 4n + 4 = n 2 + 3n +2 ⇒ n 2 -n -2 = 0 ⇒ n = 2 , n = -1 ( loại ) Vậy độ dài các cạnh của tam giác là b = 2 , a = 3 , c = 4 VỀ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Bài toán : Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x < 2 33 ( Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tỉnh quảng nam 2001-2002.)  Các lời giải khác với đáp án 1/ Lời giải thứ nhất : VT = 2 sin2x cosx + sin2x = 2 sin2x cosx+ 2 cosx sin x (#) ( )( ) xxxx 2222 sincoscos42sin4 ++≤ ( Bu nhia cốp xki ) = ( ) 1sin4cos4 22 +xx 2 1sin4cos4 22 ++ ≤ xx ( bđt Cô si ) 2 33 2 5 <= Bất đẳng thức được chứng minh . ♦ Khai thác lời giải thứ nhất : + Từ lời giải trên ta có bất đẳng thức chặt hơn : " Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x < 2 5 " + Ở dòng (#) nếu thay x bởi 2x ( hoặc -x , . ) ta xác lập bất đẳng thức : " Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin3x + sin4x < 2 5 " + Ở dòng(#) nếu hoán đổi cosx và sinx cho nhau ta xác lập bất đẳng thức : " Chứng minh với mọi x ta có : cosx + cos2x - cos3x < 2 1 " 2/ Lời giải thứ hai : Vế trái bất đẳng thức là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 π . Ta chỉ cần chứng minh bđt đúng với mọi x [ ] π 2,0∈ . Thử chia đoạn [ ] π 2,0( thành các khoảng rời nhau và chứng minh bất đẳng thức đúng trên từng khoảng . * nếu ππ 2≤≤ x thì sinx 0≤ khi đó VT 23sin2sin ≤+≤ xx 2 33 < * nếu π π <≤ x 2 thì sin2x 0≤ khi đó 2 VT 2 33 <≤ * nếu 23 ππ <≤ x thì sin3x 0 ≤ khi đó VT 2 33 <≤ * nếu 3 0 π <≤ x thì x , 2x , π -3x [ ] π ,0∈ VT = sĩn+sin2x+sin (3-x)       −++ ≤ 3 32 sin3 xxx π (bất đẳng thức Jen sen ) = 3sin 2 33 3 = π Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong . ♦ Khai thác lời giải thứ hai : + từ lời giải thứ hai bạn có thể xác lập được bất đẳng thức tương tự -chẳng hạn : " Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin4x < 2 33 " BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ? Bài tuán : a,b,c∈ (0,1] -chứng minh : ( )( )( ) c1b1a1 3 1 cba 1 −−−+≥ ++ (đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam ) Tìm tòi lời giải : Ta thử làm chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh . Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ : ( )( )( ) ( ) 3 cba3 3 c1b1a1 c1b1a1 3 ++− = −+−+− ≤−−− (bđt Cô Si ) Ta đi chứng minh bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức ban đầu : cba 1 ++ ≥ + 3 1 ( ) 3 3 cba3       ++− (♦ ) Bất đẳng thức bây giờ chỉ chứa mỗi một biến ” a + b + c” Đặt S = a+b+c , 0 < S ≤ 3 . Bất đẳng thức (♦ ) viết lại : ( ) ( ) 3 3 S3SS39 3 S3 S3 S3 −≥−⇔       − ≥ − 0])S3(S9)[S3( 2 ≥−−−⇔ (♥) . Vì 3-S ≥ 0 , để chứng minh (♥) ta chứng minh : 9 - S(3-S) 2 ≥ 0 với 0 <S ≤ 3 Ta có : S(3-S) 2 = 4) 3 )S3()S3(S2 ( 2 1 )S3)(S3.(S2 2 1 3 = −+−+ ≤−− (bất đẳng thức Cô si) ⇒ 9 - S(3-S) 2 ≥ 9 - 4 > 0 ⇒.(♥) được chứng minh ⇒ bất đẳng thức (♦ ) được chứng minh ⇒ bất đẳng thức ban đầu được chứng minh . Dấu '' = ''xảy ra ⇔1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 ⇔ a = b = c =1                  3 . LƯƠNG THẾ VINH TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008       CHUYÊN ĐỀ : TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM Giáo viên thực. MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Bài toán : Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x < 2 33 ( Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tỉnh quảng nam