TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH – QUẢNG NAM
TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008
CHUYÊN ĐỀ :
TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
QUẢNG NAM
Giáo viên thực hiện: Ngô Tỵ
ĐẠI SỐ HOÁ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài toán : " Cho tam giác ABC thoả 2A+ 3B = Tính độ dài các cạnh của tam giác biết
chúng là ba số tự nhiên liên tiếp "
( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh Quảng nam - 1999 - 2000 )
Tìm hiểu lời giải bài toán :
Ta thử xác lập hệ thức liên hệ giữa độ dài các cạnh từ các dữ kiện của bài toán Ta có :
ac b c
C sin A sin B sin C sin
C sin ) B C sin(
) B C sin(
) B C sin(
C sin ) B C sin(
B C 2 B
3 A 2
C B A
2 2
2 2
π π
π
Từ giả thiết : 2A+ 3B = với A,B,C là 3 góc tam giác ta suy ra :
c2 - ac - b2 = 0
Bài toán được phát biểu lại :
" a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp “
Từ dữ kiện a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac ta suy ra : c > a , c> b
+ Trường hợp : c > b > a a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp a = n , b = n +1 , c= n +2
( n N*) , kết hợp với c2 - b2 = ac suy ra (n+2) 2 – (n+1)2 = n.(n+2)
2n + 3 = n2 + 2n 3 = n2 (!)
+ Trường hợp : c> a > b a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp b = n , a = n +1 , c= n +2
( n N*) , kết hợp với c2 - b2 = ac suy ra (n+2) 2 – n2 = (n+1).(n+2)
4n + 4 = nn + 4n + 4 = n = n2 + 3n +2 n2 -n -2 = 0 n = 2 , n = -1 ( loại )
Vậy độ dài các cạnh của tam giác là b = 2 , a = 3 , c = 4n + 4 = n
Bài toán đề nghị :" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B =
a/ Chứng minh a + b
4n + 4 = n
5
c b/ Chứng minh 10 c 9a + 6b
VỀ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
Bài toán : Chứng minh với mọi x ta có :
sinx + sin2x + sin3x <
2
3 3
( Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tỉnh quảng nam 2001-2002.)
Lời giải khác với đáp án
VT = 2 sin2x cosx + sin2x = 2 sin2x cosx+ 2 cosx sin x (#)
1
Trang 2 4n + 4 = nsin22x4n + 4 = ncos2 xcos2 xsin2 x ( Bu nhia cốp xki )
= 4n + 4 = ncos2 4n + 4 = nsin2 1
x x
2
1 sin 4n + 4 = n cos
4n + 4 = n 2 2
( bđt Cô si )
2
3 3 2
5
Bất đẳng thức được chứng minh
Khai thác lời giải:
+ Từ lời giải trên ta có bất đẳng thức chặt hơn :
" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x <
2
5 "
+ Ở dòng (#) nếu thay x bởi 2x ( hoặc -x , ) ta xác lập bất đẳng thức :
" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin3x + sin4n + 4 = nx <
2
5 "
+ Ở dòng(#) nếu hoán đổi cosx và sinx cho nhau ta xác lập bất đẳng thức :
" Chứng minh với mọi x ta có : cosx + cos2x - cos3x <
2
1 "
BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ? Bài tuán : a,b,c (0,1] -chứng minh :
1 a1 b1 c
3
1 c b a
1
(đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam ) Tìm tòi lời giải : Ta thử làm chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh
Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ :
3
c b a 3 3
c 1 b 1 a 1 c 1 b
1
a
1
Ta đi chứng minh bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức ban đầu :
c
b
a
1
3
3
c b a 3
( ) Bất đẳng thức bây giờ chỉ chứa mỗi một biến ” a + b + c”
Đặt S = a+b+c , 0 < S 3 Bất đẳng thức ( ) viết lại :
3
S 3 S S 3 9 3
S 3 S
S
3
( 3 S )[ 9 S ( 3 S ) 2 ] 0
Vì 3-S 0 , để chứng minh () ta chứng minh : 9 - S(3-S)2 0 với 0 <S 3 Ta có :
3
) S 3 ( ) S 3 ( S 2 ( 2
1 ) S 3 )(
S 3 (
2
2
9 - S(3-S)2 9 - 4n + 4 = n > 0 .() được chứng minh bất đẳng thức ( ) được chứng minh bất đẳng thức ban đầu được chứng minh
Dấu '' = ''xảy ra 1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 a = b = c =1
2