Tổng quát một đề toán hay

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tổng quát đề tốn hay Trần Quang Hùng Tóm tắt nội dung Bài viết đưa tổng quát cho toán hay nhiều bạn đọc quan tâm toán tuổi thơ với phép chứng minh sử dụng đồng thời cơng cụ vector túy hình học Trên TTT2 số 129 năm 2013 mục thách đấu có toán hay sau thầy Nguyễn Minh Hà Bài Cho tam giác ABC không vuông BE, CF đường cao cắt trực tâm H M, N, P, Q, S theo thứ tự trung điểm BF, CE, BE, CF, EF K giao điểm đường thẳng qua M vng góc với BS đường thẳng qua N vng góc với CS L giao điểm đường thẳng qua P vng góc với BS đường thẳng qua Q vng góc với CS Chứng minh 2KL = HA Lời giải tốn có TTT2 số 131 năm 2014 Tơi xin trích dẫn lại lời giải bạn Lê Huy Quang báo sử dụng kỹ thuật định lý điểm tam giác đồng dạng A E S P F N H Q M L B C R K D Hình Lời giải Ta thấy MB = 21 BE, MS = 21 BE, NS = 12 CF, NC = 21 CE BF + CE = BC = BE + CE Từ đó, ý KM ⊥ BS, KN ⊥ CS, suy Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN KB − KS = MB − MS = 1 1 BF − BE = CE − CF = NC − NS = KC − KS 4 4 Vậy KB = KC Gọi H trực tâm ABC, ý BF, CE đường cao ∆HBC, tương tự trên, ta có LB = LC KL trung trực BC nên KL vng góc BC Lấy D, R cho tứ giác AHDF, QRKL hình bình hành với R thuộc NK Ta thấy HE ⊥ NC HD AF ⊥ CF NS Do EHD = CNS Mặt khác tam giác HE HE EC 2NC NC CHE, CAF đồng dạng nên = = = = HD AF HC 2NS NS Vậy tam giác EHD, CNS đồng dạng suy HED = NCS Kết hợp DE ⊥ SN, SN ⊥ RN suy DE KR Kết hợp với CF RQ; F E QN, suy tam giác DEF RNQ đồng dạng KL RQ QN Do = = = Vậy 2KL = HA Ta có điều phải chứng minh HA DF FE Nhận xét Đây toán dạng chứng minh tỷ số đoạn thẳng thú vị với THCS Tuy nhìn theo phương diện hình học vector thấy thực chất yêu cầu đề toán chứng minh −−→ −−→ HA = 2KL Do phương pháp chiếu song song gợi mở cho ta ý tưởng để tổng quát toán sau Bài Cho tam giác ABC P Giả sử P B, P C cắt CA, AB E, F Gọi P A cắt EF G Gọi M, N trung điểm EF, P A Q đối xứng G qua trung điểm MN Gọi K, L, Y, Z trung điểm BF, CE, BE, CF Lấy điểm S, T cho SY QC, SZ QB, T K QC, T L QB Chứng minh ST qua trung điểm BC P A = 2ST Và lời giải khác đáp án tách rời khỏi ý tưởng liên quan tới tính trực giao Tơi đưa lời giải túy vector cho toán tổng quát Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A V E2 F2 Q N I G F F1 K Y' R2 E M E1 Z' R1 P L Y L' K' Z S U B C R T Lời giải Gọi SY, T K cắt QB Y , K SZ, T L cắt QC Z , L R trung điểm BC Lấy điểm E1 , E2 thuộc QC, QB cho QE1 EE2 hình bình hành Lấy điểm F1 , F2 thuộc QB, QC cho QF1 F F2 hình bình hành Lấy điểm R1 , R2 thuộc QC, QB cho QR1 RR2 hình bình hành Ta dễ thấy − −−→ −−−→ −→ −−→ −−→ 2SR = 2(Z R1 + Y R2 ) = F2 Q + E2 Q (1) −−→ −−−→ −−−→ −−−→ −→ 2ST = 2(Z L + Y K ) = F2 E1 + E2 F1 (2) Lấy U đối xứng A qua trung điểm I MN V đối xứng P qua trung điểm I MN Ta có −→ −→ −→ −→ −→ −→ −−→ −→ −→ − −→ −→ − → 2F U = AP + F E CQ = CA+ CP + GE + GF Giả sử αP A+β P B +γ P C = , α+β +γ = Khi −→ −→ −→ −−→ − −→ −−→ −−→ −→ ta dễ chứng minh dễ F U QC Từ tương tự EU QB F V QB, EV QC Vậy tứ giác EUF V QE2 V F2 hình bình hành Từ theo (1),(2) dễ thấy −−→ −−→ −−→ −→ V Q = F2 Q + E2 Q = 2SR (3) −→ − −→ −−→ −− → −−−→ −−−→ −→ AP = V U = V E + V F = F2 E1 + E2 F1 = 2ST (4) −→ −→ Từ (3),(4) suy SR ST suy ST qua R Cũng từ (4) có P A = 2ST Ta có điều phải chứng minh Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Lời giải sử dụng công cụ vector phù hợp với học sinh lớp 10 Lời giải sau túy hình học đường trung bình định lý Thales bạn Trịnh Huy Vũ lớp 10A1 Toán THPT chuyên KHTN đề nghị Ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1 Cho tứ giác ABCD AB giao CD E AD giao BC F AC giao BD G a) Chứng minh trung điểm AC, BD, EF thẳng hàng b) Gọi M, N trung điểm AC, BD Dựng hình bình hành AGDX, GMY N Chứng minh E, X, Y thẳng hàng Bổ đề phần a) kết tiếng hình học phẳng gọi đường thẳng Gauss xin khơng trình bày lại chứng minh Phần b) hệ trực tiếp phần a) A I J Q N E H M G O L Y F P Z K R S U B C D T Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Lời giải Gọi D trung điểm cua BC Gọi I, H đối xứng G qua N, M, từ đề dễ thấy I, Q, H thẳng hàng Dựng hình bình hành F GP R, áp dụng bổ đề cho tứ giác AEP F dễ suy R thuộc BQ Gọi U trung điểm BR Từ ta có 2KU = F R = GP = AI = 2JQ suy KU = JQ Mặt khác KU JQ song song P A Do tứ giác KUQJ hình bình hành, suy KJ BQ Tương tự LJ CQ Vậy J đối xứng T qua trung điểm KL Tương tự O đối xứng S qua trung điểm Y Z Theo tính chất đường trung bình, JO qua trung điểm EF P A = 2JO Từ với ý KL, Y Z, MD có chung trung điểm, sử dụng phép đối xứng qua trung điểm KL ST qua trung điểm BC P A = 2ST Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Lời giải thứ túy hình học phù hợp với kiến thức học sinh lớp Tuy để ý kỹ biến đổi song song hình bình hành chặt chẽ cần viết dạng ngôn ngữ vector Khi P trực tâm tam giác ABC Ta thu toán ban đầu Việc cho P trùng vào số điểm đặc biệt nảy sinh nhiều toán thú vị, xin dành điều cho bạn đọc Tài liệu [1] Tạp chí TTT2 số 129 năm 2013 [2] Tạp chí TTT2 số 131 năm 2014 Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... túy hình học đường trung bình định lý Thales bạn Trịnh Huy Vũ lớp 10A1 Toán THPT chuyên KHTN đề nghị Ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1 Cho tứ giác ABCD AB giao CD E AD giao BC F AC giao BD G a) Chứng... đề toán chứng minh −−→ −−→ HA = 2KL Do phương pháp chiếu song song gợi mở cho ta ý tưởng để tổng quát toán sau Bài Cho tam giác ABC P Giả sử P B, P C cắt CA, AB E, F Gọi P A cắt EF G Gọi M, N... đáp án tách rời khỏi ý tưởng liên quan tới tính trực giao Tơi đưa lời giải túy vector cho toán tổng quát Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A V E2 F2 Q N I G F F1 K Y' R2 E M E1 Z' R1 P L Y