Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 53 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
53
Dung lượng
1,67 MB
Nội dung
IIIHỆPHƯƠNGTRINH Khơng có tham số Dạng 1: Biến đổi tương đương � �y x 3x (2) �3 x x 1 y y y y 1 x xy (3) � Bài Giải hệphương trình: Hướng dẫn giải Điều kiện: x �1 Phươngtrình (3) �y x �y x � � � �2 � x y 1 y y x y 1 x 1 � y y x � � �y x � �� �x (vì x �1) � � y � y x 1 � � (vì (1;1) khơng thỏa phương trình(2)) Thay vào phươngtrình (2), ta : � x 1 x2 � x 1 x 1 � � �� (n ) x � x x � � Vậy x, y 2;1 ; x, y 3;4 Bài 2 � � x y 6 x y 3 x y � x y x y 15 � Giải hệphươngtrình sau tập số thực: � Hướng dẫn giải 2 � � x y x y x y (1) � x y x y 15 (2) � � Đặt �x y �0 � �x y �0 �x �2 Điều kiện: � (1) � x y 2 x y 3 � y 4 x Thay vào (2) ta được: x x x x � 3 x � x3 � � � ( x 3)( x 2) � 3� � � 3 � � x 1� � (4 x ) x � � x3 � � �� x (*) 3 � x (4 x ) x � Phươngtrình (*) vơ nghiệm do: x �2 � x �0 � VT Vậy x = y = nghiệm hệphươngtrình Câu �x y (1 y ) x y (2 y ) xy 30 � x y x(1 y y ) y 11 Giải hệphương trình: � Câu � � x y 4x y x, y �� � x y 1 � Giải hệphương trình: Câu Giải hệphương trình: �x3 xy x xy y6 y e e ln 0 � y y4 � � y 24 x 16 x � y 0 Lời giải x 0; y � Điều kiện: ex xy - Ta có ey y4 ln x xy � e x xy ln x xy e y y ln y y y y (1) f t et ln t ( t > ) � f ' t et 0, t > t Xét hàm số , suy hàm số g(t) đồng 0; � Kết hợp với (1) ta có biến khoảng x3 xy y y � x3 y y x y � x y x xy y y � x y - Thế (2) vào phươngtrình lại hệ cho ta được: y 24 y 16 y � 16 y 24 y y 3 Xét hàm số g y 16 y 24 y y � g ' y 64 y 48 y 16 16 16 y y 3 0, 0< y � 3 4y 3 4y 2 � 3� 0; � � g y 4� � Suy hàm số nghịch biến khoảng , từ phươngtrình ( 3) có nghiệm 1 x y 2 , suy Vậy hệphươngtrình có nghiệm �1 � , � � 2 � x, y � � x y y2 7x 1 � � 2 x y y x x y � � Bài Giải hệphương trình: � y �1 � �x �4 Điều kiện : � x y y 2x x y 1 � x xy y x y x y x y 1 � 2� x x y 1 y 1 � y x x y 1 � � � 2 y 1 x x y 1 0 � y x 1 Thế vào pt đầu ta x x x2 5x � x x 3 x x x x 1 � � � x x 3 � 1 � � x 1 x x x � � 3 21 �x � � x 3x � � �y 5 21 � � Bài Giải hpt Điều kiện x ≥ y � � x ( x y) x y � � 2( x y ) x 11 � ( x, y ��) Từ phươngtrình thứ dễ dàng suy y > x2 ( x y) y x y � x ( x y )( x y 1) x ( x y ) y � x ( x y )( x y 1) ( x y )2 x y x2 ( x y) y x2 ( x y) y 0 � � x ( x y) x y � � ( x y 1) � �3 ( x y ) x y � x ( x y ) y � � Ta có � x y � y x Thay vào phươngtrình thứ hai ta x x x 11 Đặt t = x ta t4 – 3t – 10 = t = ( x, y ) ( , ) 2 Từ tìm Bài Tìm tất số thực x, y thỏa hệ: �x, y � �x y �x x 1 y y 1 �1 � Hướng dẫn giải Ta chứng minh số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu x x 1 y y 1 �1 � x 1 ln x y 1 ln y �0 Thay y x ,ta chứng minh f x x 1 ln x x ln x �0 Ta có f ' x ln x ln x f '' x với x 1 x2 x �1 1 � �2 2� x 2 x � �x x � � x 1 �1 ��0 1 �1 � � � � � � x x �x x � x x �x x � 2 f ' x 0; , f ' 1 nên f ' x nhận giá trị dương 0;1 âm Do nghịch biến 1; Suy f x �f 1 với x � 0; Từ đó,hệ phươngtrình có nghiệm x y Bài Giải hệphươngtrình sau: 3 2 �x x y y y x x y x � 3 �x ( y x ) Hướng dẫn giải �x x y y y x x y x �x( x y )( x y ) 9( x y ) �x( x y ) � � � 3 � 3 � 3 �x( y x ) �x ( y x ) �x( y x ) � � �y x �y � �� �� x �x( y x ) �x � ( � � � �� x � x x �y x �� � � x)3 x � (3 x x )3 x x x � x � 3 � � x x �y �y x x �� �� � �2 x x x 27 x x x 27 x x x3 27 x x x 27 � � � x �y x �� � ( x 1)(2 x x3 x x3 x x x x x 20 x 20 x 27) � � � x x �x �y �y x �� �� �� x �y � �x ( x 1)(( x x 1)(2 x x x 20) 7) � � Bài ĐK: �x x y x � �x x y � 3x �x �y y Giải hệphươngtrình � Hướng dẫn giải �y �0 �y �5 � �x �y � �x x y �0 � x x (2 ') y Từ (2) suy ra: Do y �0 phươngtrình (1) tương đương với x2 y x y y x (1') y x2 y x x u y y y Đặt u u2 1 * Xét y :phương trình (1')trở thành: u u Nhân liên hợp mẫu số đưa phương trình: 6u u u u2 1 u 0; u nghiệm + u suy x không thoả mãn loại + u � x5 y Thế vào (2') x 5; y 3 u u2 1 1' trở thành: u u * Xét y :phương trình x=0 (Khơng thoả mãn điều kiện tốn) Vậy hệ cho có nghiệm Bài 6u Phươngtrình có nghiệm u=0 suy x; y 5;3 Giải hệphươngtrình : � x x y 1 x y 1 � � 2 � �x x y y y x Hướng dẫn giải Ta có: (1) � x( x 2) 2( y 1) x ( y 1) � x( x 2) ( y 1)( x 2) � x y � y x Thế vào (2) ta có : x x (2 x 1) x (2 x 1) x � x 2 x x x x � 2 x x x � x 2 x x 2 x x 1 x � � � � 2 x x x �x �0 15 15 2 x x x � � �x �y 6 2 x x x � �x �0 3 3 2 x x x � � �x �y 3 2 x x x � �3 15 15 � � � ; � � �và Vậy nghiệm hệ PT là: � Bài �3 3 � � � ; � � � � � x y y2 7x 1 � � 2 x y y x x y � � Giải hệphương trình: Hướng dẫn giải � y �1 � �x �4 Điều kiện : � x y y 2x x y 1 � x xy y x y x y x y 1 � 2� x x y 1 y 1 � y x x y 1 � � � 2 y 1 x x y 1 0 � y x 1 Thế vào pt đầu ta : x x x2 5x � x x 3 x x x x 1 � � � x x 3 � 1 � � x 1 x x x � � 3 21 �x � 2 � x 3x � � �y 5 21 � � �x y xy �2 Bài 10 Giải hệphương trình: �x y xy (Chưa giải) 2 � � x x y x y x y y 18 � 2 � x x y 1 x y x y 1 y Bài 11 Giải hệphương trình: � (Chưa giải) Bài 12 Giải hệphương trình: �x ( y z )2 �3 �y ( z x) 30 �z ( x y )2 16 � (Chưa giải) � �3 x y x y � x y x y2 Bài 13 Giải hệphương trình: � (Chưa giải) Bài 14 Giải hệphươngtrình a) xy �2 �x y x y 16 � � x y x2 y � b) �x z 27( z 1) �3 �y x 27( x 1) �z y 27( y 1) � (Chưa giải) Bài 15 Giải hệphương trình: �x y 27 y 27 �3 �y z 27 z 27 �z x 27 x 27 a) � �x y z xy zx zy �2 x y yz zx xy 1 b) � �x y �3 �y z �z x c) � (Chưa giải) 2 � �x y x y 30 28 y � Bài 16 (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệphươngtrình � x x y Hướng dẫn giải Từ phươngtrình đầu hệ ta có x y 3 y y x x 3x 10 � x2 y � �2 y y x x x 10 * � � Coi (*) phươngtrình bậc ẩn y ta có 3 x x nên (*) vơ nghiệm Do hệphươngtrình tương đương với � �x y � 2x x x2 � � 2x x y � x 2x � x 2x x 1 2x � � x 1 2x � Từ ta tìm nghiệm hệ 3;6 , 2; 1 Bài 17 (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệphươngtrình sau: � x3 xy x y3 x y y (1) � � � x x y y (2) Hướng dẫn giải Điều kiện: y � 2 (1) � ( x y )(2 x y 1) � x y Thay vào (2) ta có phươngtrình x x x x (3) Xét x 1 thỏa mãn (3), suy y 1 Xét x 1 : (3) x 1 � x x (1 x) x � 4x2 x x x 1 x � x 1(loai ) � �� � x x x x (4) � 2 �x � x 2x 1 � � � x � x2 8x � Kết hợp (3) (4) ta 2 2 ( x; y ) (1; );( ; ) 2 Kết luận: Hệphươngtrình cho có nghiệm: Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài � x y � � �x y y x Giải hệphương trình: � Hướng dẫn giải �x cos 2u � u , v �[0; 2 ] x; y �[ 2; 2] Đặt �y cos 2v với Điều kiện: � sin u cos v 1/ � � sin u cos v 1/ (1 cos 2u )(1 cos 2v) � � � uv � � sin 2(u v ) cos 2u sin 2v cos 2v sin 2u � HPT � � � u v � � � sin(u v) sin(u v) sin(u v) 1/ � � � � u � � � � � � uv uv uv � � v (thỏa) � � � � � 2 � �x cos � � y cos 2 Kết luận: nghiệm hệphươngtrình � Bài �x y xy y � � y �x y x 1 Giải hệphương trình: � Ta thấy y = không nghiệm hệphươngtrình cho, ta xét giá trị y �0 , chia hai vế PT thứ cho y �0 ta �x � y x y 4 � � �x y y � x2 1 � Đặt u x2 ,v x y y ta có hệphươngtrình uv v 4u u 1 � � � �� �� � u (v 2) � u (4 u 2) � v3 � u 1 � � v ta có Với � �x 1 � � y �x y � (*) Giải hệ PT (*) ta hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) � x2 y x y 2 y 2 � �2 x y x y 2 y 2 y 2 Bài Hệphươngtrình tương đương với � + Với y = -2 hệphươngtrình vơ nghiệm + Với y �2 , chia hai vế hai phươngtrình cho y + ta có �x y � y x y 2 � �2 �x y x y � �y x2 y a , b x y2 y2 Đặt Khi ta có hệphươngtrình Do �a b �a b �a � � �� � � a �b �ab � �x y 2 x 1, y 1 �y x � � � �2 �� �y x 2, y � �x x �x y � Kết hợp với điều kiện hệphươngtrình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) Bài � x x y y � � Giải hệphương trình: �x y xy x 2 y 2 ( x, y ��) y2 t 1 y t 1 � 2 Ta có: y2 t 1 t t � � 5t 3t �y Do đó, từ (2) suy ra: 5t 3t �t 3t Từ (3) (4) suy ra: 3 1 6t 6t �0 � 2t 1 �0 � t � x � x 2 2 Thay x vào hệ I ta có: � �2 � y �y y� � � � � � � y �� �� � �y �y �y � � � � � � Vậy hệphươngtrình có nghiệm nhất: Bài �1 � � � �8 � x; y � �; �x y � 2 x, y, z �� �2 y z �xy yz zx Giải hệphương trình: � Lời giải +) Nếu x thay vào hệ ta có hệ vơ nghiệm +) Nếu x �0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta �x 2a � � 4a 3b � 2a 2a 3b �2 � � 2 �� 1 �x 2a 3b � � 2a a b a 1 2a a ab b � �2 � x a ab b � � � �a 1 � � 2 b �1 � � 4a 3b � �4a 3b � � �� �� �� a 1 2a 1 b a 1 � a 1 2a b ��b 2a � � � �2a 3a � �a 1 � b �1 thay vào (1) không thỏa mãn +) Nếu � � a 1 � � � b 1 � � b 2a � �� � � 2a 3a a � � � a 1 � � � � � � b0 b 1 vào (1) không thỏa mãn, thay � � +) Nếu thay � � vào (1) ta có x � Do nghiệm hệ Bài x; y; z � 2; � 1 �� � ; �� , 2; ;0 � �� � Giải hệphươngtrình sau: log (2 x y) log (2 x y ) � � ( x, y ��) � 27 27 x 26 x y x6 � � Lời giải Đặt t log (2 x y ) , phươngtrình (1) trở thành: log (7t 2) 2t � 9t 7t � � t (Sử dụng tính chất đơn điệu) � x y � y x (3) Thế (3) vào (2) ta được: 27 x 24 x 28 27 (9 x 4) 3(9 x 4) 1 x � 1 3 (4) Đặt t x (t �0) Phươngtrình (4) trở thành: t2 3t t2 3t 1 � 6t 3 (5) Áp dụng bđt AM – GM ta có: t6 6t � t2 �2t � 4t 48 �3t 12t 12 � (t 6) �0 � t Từ (5) ta có: Từ Bài x �2 59 � 59 ( x; y ) � ; � �y �9 27 � 27 Vậy hệ cho có nghiệm Giải hệphươngtrình : �x y 3xy 4 �2 �x xy �3 y xy � ( x �R, y �R ) � �a � � b0 � Lời giải 3y z Đặt : 4 2 Ta có : x z �2 x z ,suy : �t xz �2 Xét vế trái phươngtrình (2) f (t ) 2t t 1 t x2 z , t �[1; 2] t xz xz xz xz �2 xz 1 xz f ' (t ) , suy f (t ) hàm số đồng biến (1;2) , suy : 1 t f (t ) �f (1) 0, t �[1; 2] 5 ,suy VT = f (t ) �6 1 x 1 ; y Dấu xẩy t , suy : x 1; y Bài Giải hệphươngtrình sau: �x x xy y y � � x y x x 15 x y x y y x y x x � � ; x, y �� Lời giải Điều kiện: x �0, y �0 Đặt a x , b y ( a �0, b �0 ) Hệphươngtrình cho trở thành � a 2a 3b b5 � � 6 �4a b 3a5 15a b2 3a b3 a 2b 4a3 � 1 2 a, b 0, nghiệm hệ Nhận xét: a � b ; b � a Do Bây ta xét a 0, b Đặt b ka � k Với cách đặt 2k ak � a Phươngtrình (1) trở thành: 4a Phươngtrình (2) trở thành: 2k k5 (3) a k 3a 15a k a 3a k 3a a 3k 4a (4) � 3k � � 2k � 4k 5 k k � � � � 2k � � 3k � Thay (3) vào (4) ta được: � (5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái (5) ta được: � 3k � 3k 2k � 2k � � k � k � � � � � 2k � k 3k � 3k � � � � 22 12 k k � k k � � � � Đẳng thức xảy k Khi a b hay x y Vậy hệphươngtrình cho có nghiệm Bài x; y 0;0 , 9;9 � x xy x xy y y 15(1) � � 6( x3 y ) 2( x y ) 3(2) �x 2 x xy y Giải hệphươngtrình � Bài giải Điều kiện �xy �0 �2 �x y xy �0 Nếu x y = hệ vơ nghiệm �x �0 � Nếu �y �0 (x,y không đồng thời 0) vế trái (2) âm, phươngtrình (2) khơng thoả mãn Do x > 0, y > 1.0 đ Vì xy �x y nên từ phươngtrình (1) suy 15 x xy x xy y y �(2 x y ) x 3( x y ) y (2 x y) x y � (2 x y ) 2(2 x y ) �15 � x y �3 x2 y xy ��� x 2 Mặt khác, ta có xy (3) y2 3( x y ) 2( x y ) � 2( x y )(5) 2 Ta chứng minh rằng: x y Thật bất đẳng thức (5) tương đương 2( x3 y ) �( x y )3 � x y x y �3x y 3x y (6) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1.0 đ 3( x y ) x xy y 2( x y ) x y (4) 1.0 đ x x3 y x3 y �3 x12 y 3x y y x y x y �3 x y12 x y Cộng vế với vế hai đẳng thức ta (5), từ suy (5) 3( x3 y ) � 2( x y ) 2 Từ (4) (5) suy ra: x xy y Kết hợp với phươngtrình (2) lưu ý 2( x y ) �x y , ta được: 6( x3 y ) 3 x 2( x y ) �x 2( x y ) �x ( x y ) x y x xy y (7) Từ (3) (7) suy 2x + y = x = y ta x = y = (thoả mãn điều kiện toán) Vậy hệ có nghiệm (1;1) � y3 x y x y x y � � � x y 2 x y x, y �� Bài Giải hệphương trình: � ( ) Hướng dẫn giải y x – y �0 y – x �0 Điều kiện: x �2 , y �1 ; ; +) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số khơng âm ta có: y 2x y y xy y = y xy y � x2 y x2 y 3x2 x2 y x2 � 2 = y 2x y Suy ra: x y 4x + 2 y 3x � 3 xy + y 3x 2 � x – y �0 � x y y � xy Vì vậy, ta phải có: Vậy phươngtrình đầu tương đương với x = y Thay x y vào phươngtrình thứ hai hệ ta được: 2 x + Do x 2 x x (*) 2 x + x nên ta phải có: x x – x ( x �1 ) Khi phươngtrình (*) tương đương với: x – x x – 1 – x x x 1 � � � x – x – 1 � 1 � � x 1 x x x 1 � 1 � � do1 � � x 1 x x x � � x – x –1 � � 1 t / m �x � � 1 1 x x y � 2 � � 1 � � � � x; y � � � Vậy hệ có nghiệm Bài 10 [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Giải hệphươngtrình sau: 2 � � x x y x y x y y 18 � 2 � � x x y 1 x y x y 1 y Lời giải � �x x y �0 �2 y x y �0 Điều kiện � Cộng trừ vế tương ứng hệphươngtrình ta � � x x y y x y 10 � �x y Thế y=8-x vào phươngtrình ta x x 16 x 73 10 � ( x 9)( x 16 x 73) x x � ( x 32 ) � ( x 8) 32 ) � � � x(8 x) � (1) � Trong hệ trục tọa độ xét a ( x;3) ; b (8 x;3) � ( x 32 ) � ( x 8) 32 ) � � � � | a |.| b |= Khi � � a b = x(8 x) � � � � Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a b (2) � � � � Ta có | a |.| b | �a b � � � � � Khi (2) xảy a b (không xảy ra) a 8 x � 1 � x=4 hướng b suy x KL: Nghiệm hệ (4;4) Bài 11 [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải hệphươngtrình : 1/ �x y x y �2 � 2 � x y 1 � x 1 y 1 � � x y 4 � � 2/ Bài 12 [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016]Giải hệphươngtrình Lời giải Điều kiện : Ta có : ( dấu = xảy xy =) Do từ (1) (3) Từ (2) (3) ta suy : (4) Ta lại có Do (4) hoặc Thử lại ta thấy có nghiệm hpt.0,5 Bài 13 Giải hệphương trình: Hướng dẫn giải 3 Đặt f (t ) = 2t + 9t +12t ; g (t ) = t + 3t + 4t +15 �f ( x ) = g ( y ) � � � �f ( y ) = g ( x ) � � �f ( z ) = g ( x ) Hệ trở thành: � Ta có g� t 3t 6t � x3 x 12 x y y y 15 � 3 �2 y y 12 y z 3z z 15 �2 z z 12 z x 3x x 15 � với t nên hàm g đồng biến �g x �g y �g x �f x �x �y � � � g x �g z f z �g z x max x, y, z x � z � � � Giả sử hay suy Hay � x 1 x x 15 �0 �x x x 15 �2 x x 12 x � �� * � 3 2 z z z 15 � �2 z z 12 z �z z z 15 � � 2 Do x x 15 x, z z 15 z nên từ (*)ta có x �1 �z Lại theo giả sử trên, x max x, y, z nên x z Thế vào hệphươngtrình ban đầu ta y Thử lại thấy x y z nghiệm Kết luận:Hệ cho có nghiệm x y z x cos y cos z � � y cos z cos x � � Bài 14 Giải hệphươngtrình : �3z cos x cos y (Chưa giải) Có tham số 3 � �x y y 3x (4) �2 x x 2 y y m (5) Bài Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: � Hướng dẫn giải � x � � � �y �2 Điều kiện: � � x3 3x y 1 y 1 Phươngtrình (4) t � 1;1 Xét hàm số f (t ) t 3t , với f '(t ) 3t �0, t � 1;1 � f(t) hàm số nghịch biến 1;1 (vì liên tục đoạn này) Suy ra: x y 2 Thay vào phươngtrình (5) ta được: x x m 2 u � 0;1 Đặt u x , Ta có phương trình: g(u) = u u m g (u ) ; max g (u ) 1 0;1 0;1 Suy hệphươngtrình cho có nghiệm � �m �1 �x y � m Bài Tìm để hpt có nghiệm �x y m �x �m 2 � �x y �y x m � �2 � �y � x m � �x y m �x x (m 4) �x x (m 4) � Do hệ có nghiệm khi phương trình:f(x) = x2 + x – (m + 4) = có nghiệm [m;+) (*) 1 � 4m 17 -17 x m � f(x) = có = 4m + 17 nên f(x) = có nghiệm 1 4m 17 ۣ m� � Do đó: (*) 2m 4m 17 � 2m �0 � m>17 17 � �� � �m � hay � � �m �2 4 4m 17 �(2m 1) � � 2 �m �2 � Một số cách giải khác: �x y �y x m � �2 (I) � x y2 m x x (m 4) 0(*) � � Cách 2: Hệ (I) có nghiệm x2 + x – (m + 4) = có nghiệm [-2;2] Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – [-2;2], đường thẳng y = m suy kết Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai � � x 1 y 1 a � Bài Tìm a để hệphươngtrình sau có nghiệm �x y 2a Hướng dẫn giải Điều kiện x �1; y �1 � x 1 y 1 a � � x 1 y 1 � Hệphươngtrình tương đương � � x 1 y 1 a � �� a 2a 1 � � x 1 y 1 � � � 2� 2a Do x y nghiệm phươngtrình T aT � a 2a 1 � � (*) 2� Để hệ có nghiệm phươngtrình (*) có nghiệm không âm �2 a a 2a 1 �0 � � � � � ۳۳� � a �S�� �P �0 �1 � � a 2a 1 �0 �2 a � u x �0 � x u � � v y �0 � y v Đặt � Bài � �2 x y m � Tìm m để hệ: �2 y x m có nghiệm Hướng dẫn giải � u x �0 � x u � � v y �0 � y v +) Đặt � +) Đưa hệ: 2u v m � (**) � 2v u m � +) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm m �2 Ta xét m �2 hệ có nghiệm hay ko Biến đổi hệ (**) trở thành: � u v � (I ) � � 2u v m � � � 2u 2v � � ( II ) � � 2u v � � 2m �0 +) Xét hệ (I): u=v ta 2v2+v+2-m=0 có với m �2 PT ln có nghiệm v0 �0 � hệ có nghiệm u=v=v0 suy hệ ban đầu có x=y=vo2+1 P +) Xét hệ (II): ……… Bài � a x a x 2 �0 � � Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm: �x a Lời giải 2 � � x a ax 2a x a �0 �a x a x 2 �0 � �� � �x a x a � 1 �1 � �2 �2 2 �2 x a x a a �x x a a � � x a a �� �x a �x a � � 1 2 Do (2)nên x a a hai số dương,áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho số dương ta được: 1 1 �4 2 x a x a a 2 x a a 3 � �x 1 � x a a � � 2 x a a �a � � Do (1)chỉ dấu đẳng thức xảy (3)tức là: Vậy hệ có nghiệm Bài a x nghiệm hệ là: Tìm giá trị lớn tham số m hệphươngtrình sau có nghiệm: �x xy y m �2 2 �y yz z m ( x, y, z ��) �xy yz zx m3 � Hướng dẫn giải + Đặt: X x y 3 ;Y y; Z ( y z ); T ( z y ) 2 2 ( xy yz zx) XZ YT Ta đ ược: x xy y X Y ; y yz z Z T ; 2 2 2 2 � �X Y m � �2 2 �Z T m � �XZ YT m3 Do ta có hệ � 2 2 2 + Chú ý: ( X Y )( Z T ) ( XZ YT ) ( XT YZ ) Do đó:Hệ cho có nghiệm thì: �3 3� m.m �� �m �� m ( m3 � � � �2 � ) m3 Suy ra: m �3 (1) �XT YZ � 3 � m (2) �XZ YT � m �Z T m (3) + Xét Ta có hệ: � Từ (1)có thể đặt X uZ , Y uT ,thay vào (2)và (3)ta có: u m � � 2m mZ �X �x 2m y � � � � � m2 Y mT hay �z y � m � � �Z T m2 �2 m2 y � � m 3m 4m � � Do ta có hệ: với + Từ đó:Đáp số toán m 3 4 �p �xi � �i 1 �p 1 � �x1 �i 1 �x 0, i �1, p �i * p �� a/ Tìm cho hệ � có nghiệm Bài p b/ Với p tìm câu a/, xác định tập hợp tất giá trị tổng: p �a i 1 i 1 Hướng dẫn giải Câu a �p ��p � 16 � xi � � � p � � � i 1 i 1 xi � � � � Do: p p : Khi đó: xi 1, i �1, Vậy hệ có nghiệm p : Chọn x1 �x2 x3 � �x2 x3 có nghiệm.Nên ( x1 , x2 , x3 ) nghiệm hệ �1 a i 1 i với > �x1 x2 � p : �x1.x2 có nghiệm.Nên ( x1 , x2 ) nghiệm hệ p 1: Vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm p 2; p 3; p Câu b p ai2 f (a1 , a2 , , a p ) � i 1 (1 a1 ) Ta có: Xét hàm: g ( x ) x(1 x ), x 1; g '( x ) � x max g ( x) Ta có: (0;1) 3 3 p 3 p f (a1 , a2 , , a p ) � hay p = � i 1 Dấu đẳng thức xảy khi: Do đó: p : f ( a1 , a2 ) a1 a2 �2 �2 2 a2 a1 a1.a2 a a Dấu đẳng thức xảy 2 a1 a2 2, a12 a1 f (a1 , a2 ) a12 a12 liên tục (0;1).Khi a1 � f (a1 , a2 ) � �.Vậy p ,tập giá trị là: � 2; � � p : Chọn a1 x ; a x ; a x , 0