Duong thang trong ko gian

lê hồng đức nhóm cự môn hình học 12 Phơng trình đờng thẳng Bài giảng đợc trình bày cho c¸c em häc sinh b»ng viƯc sư dơng gi¸o ¸n điện tử Ngời thực hiện: Lê hồng đức Điện thoại: 0936546689 Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đờng Tô Ngọc Vân Tây Hồ Hà Nội Đ3 Phơng trình đờng thẳng A giảng phơng trình tham số đờng thẳng Định lý 1: Trong khôngr gian Oxyz, đờng thẳng (d) qua điểm M0(x0; y0; z0) vµ cã vtcp a (a1; a2; a3) có phơng trình: x x0 a1t (d): �y  y0  a2t , t  � �z  z  a t � VËy, ta ®ỵc: (1) �x  x0  a1t Qua M 0(x0;y0;z0) � � � (d): � r  (d): �y  y0  a2t , t  � �vtcpa(a1;a2;a3) �z  z a t Phơng trình (1) víi ®iỊu kiƯn a12 + a22 + a32 > đợc gọi phơng trình tham số đờng thẳng Hoạt động Chứng minh kết Trong không gian Oxyz, viết phơng trình đờng thẳng (d), biết: Thí dụ 1: r a (d) ®i qua ®iĨm A(1; 2; 3) có vtcp a (2;1; 0) b (d) qua hai điểm A(2; 1; 3) B(3; 1; 5) Gi¶i a Ta cã thĨ lùa chän mét hai cách: Cách (Sử dụng công thức): Đờng thẳng (d) ®ỵc cho bëi: �x  1 2t QuaA(1;2;3) � � (d): � r  (d): �y   t , t  � �vtcp a(2; 1; 0) �z  Cách (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): §iÓm M(x; y; z)  (d) khi: �x  1 2t �x  1 2t uuuu r r uuuu r r � � AM //a  AM  ta  �y    t  �y   t , t  � �z   z Đó phơng trình tham số đờng thẳng (d) cần tìm Chú ý: Lời giải cách ý tởng để chứng minh định lí b Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch: C¸ch (Sử dụng công thức): Đờng thẳng (d) đợc cho bởi: �x   t QuaA(2;1; 3) � QuaA(2;1; 3) � � (d): �  (d): � uuur  (d): �y  1 2t , t  QuaB(3; 1; 5) �vtcp AB(1; 2; 8) � �z  3 8t � Cách (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z)  (d) khi: �x   t �x   t uuuu r uuur uuuu r uuur � � AM // AB  AM  tAB  �y  1 2t  �y  1 2t , t  � �z   8t z 8t Đó phơng trình tham số đờng thẳng (d) cần tìm Hoạt động Viết phơng trình đờng thẳng (d), biết: r a (d) qua điểm A(3; 2; 1) có vtcp a (3; 1; 2) b (d) ®i qua hai ®iĨm A(3; 2; 6) B(5; 4; 2) phơng trình tắc đờng thẳng Cho đờng thẳng (d) có phơng trình tham số cho (1) suy ra: x  x0 y  y0 z  z0 = = (2) a1 a2 a3 Phơng trình (2) với điều kiện a 1a2a3 đợc gọi phơng trình tắc đờng thẳng Vậy, ta đợc: Qua M 0(x0;y0;z0) � x  x0 y  y0 z  z0 � (d): � r  (d): = = a1 a2 a3 vtcpa(a1;a2;a3) Từ đó, đờng thẳng (d) qua hai điểm M1(x1; y1; z1) M2(x2; y2; z2), ta cã: Qua M 1(x1;y1;z1) Qua M 1(x1;y1;z1) � � � (d): �  (d): � uuuuuur Qua M (x2 ;y2;z2 ) � �vtcpM 1M (x2  x1;y2  y1;z2  z1) �x  x1  (x2  x1)t x  x1 y  y1 �  (d): �y  y1  (y2  y1)t , t  � hc (d): = = x2  x1 y2  y1 �z  z  (z  z )t � z  z1 z2  z1 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) (Q) có phơng trình: Thí dụ 2: (P): 2x + 2y + z  = 0, (Q): 2x  y  z + = a Chøng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) cắt Gọi (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) b Hãy tìm tọa độ điểm thuộc (d) xác định tọa độ vtcp (d) c Viết phơng trình tham số tắc đờng thẳng (d) Giải uur uur a Gäi n P , n Q theo thø tù lµ vtpt mặt phẳng (P), (Q), ta có: uur uur uur uur n P (2; 2; 1), n Q (2; 1; 1) n P n Q không phơng (P) (Q) = (d) b Đờng thẳng (d) gồm điểm M(x; y; z) thỏa mãn hệ phơng trình: 2x 2y z  �  A(0; 1; 6)  (d) � 2x  y  z   � r Gọi u vtcp đờng thẳng (d), ta cã: r uur � r uur uur u  nP �2 1 2 � � nP , nQ � ; ; =� �r uur  u  � �= (1; 4; 6) � � u  nQ �1 1 1 2 1 � � c Ta cã: �x   t QuaA(0; 1;6) � � (d): � r  (d): �y  1 4t , t  � �vtcp u(1;4; 6) �z   6t � x y1 z   hc (d): 1 6  Chó ý: NÕu thÝ dụ câu b) để "Viết phơng trình tham số tắc đờng thẳng (d)" cách giải nh c) có thĨ thùc hiƯn theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Täa độ điểm thuộc đờng thẳng (d) thỏa mãn hệ phơng trình: 2x 2y z �  A(0; 1; 6)  (d) vµ B(1; 3; 0)  (d) � 2x  y  z Khi đó, ta đợc: QuaA(0; 1;6) � QuaA � (d) : �  (d) : � uuur QuaB �vtcp AB(1;4;  6) � �x   t � x y1 z    (d): �y  1 4t , t  � hc (d): 1 6 �z   6t Cách 2: Tọa độ điểm thuộc đờng thẳng (d) thỏa mãn hệ phơng trình: 2x 2y z   � (I) � 2x  y  z   � Trong hệ (I) cho x = t, ta đợc: 2y z   2t y  1 4t � �  � � y  z  5 2t z   6t � � VËy, ph¬ng trình tham số đờng thẳng (d) có dạng: x  t � � �y  1 4t (d): �z   6t , t  (II) � Từ hệ (II), cách rút t, ta đợc: x �t  � x y1 z � y1   �t   4 � � z  �t  � Đó phơng trình tắc đờng thẳng (d) Hoạt động Cho hai mặt phẳng (P) (Q) có phơng trình: (P): x + 2y + 3z = 0, (Q): 3x  y  z  = a Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) cắt b Gọi (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Hãy tìm tọa độ điểm thuộc (d) xác ®Þnh täa ®é cđa mét vtcp cđa (d) c ViÕt phơng trình tham số tắc đờng thẳng (d) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 2), C(4; 1; 1) vµ D(4; 1; 4) a Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bốn đỉnh hình tứ diện b Viết phơng trình tham số đờng cao tứ diện ABCD hạ từ D c Tìm tọa độ hình chiếu H D mặt phẳng (ABC) Thí dụ 3: Giải uuur uuur uuur a Ta cã AB (1; 0; 1), AC (3; 1; 2), AD (3; 1; 1), tõ ®ã suy ra: uuur uuur �0 1 1 1 � � � � AB,AC � �= 1 2 ; 2 ; 1 �= (1; 1; 1), � uuur uuur uuur � � � AB,AC�AD = (1; 1; 1)(3; 1; 1) = 3 +  = 3  � uuur uuur uuur  Ba vÐct¬ AB , AC AD không đồng phẳng Vậy, bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh hình tứ diện b Gọi (d) đờng cao tứ diƯn h¹ tõ D, ta cã: QuaD � QuaD � � uuur uuur (d): �  (d): � r � (d)  (ABC) AB, AC� � �vtcp a  � � �x   t QuaD(4;1;4) � �  (d): � r  (d): �y  1 t , t  � �vtcp a(1;  1; 1) �z   t � r c Gäi n lµ vtpt mặt phẳng (ABC), ta có: r uuur uuur uuur � �n  AB r r � AB, �r uuur  n = � � AC�= (1; 1; 1) chän n (1; 1; 1) n AC Mặt phẳng (ABC) ®ỵc cho bëi: QuaA(1;2;3) � (ABC): � r  (ABC): x + y + z  = �vtpt n(1;1;1) Khi đó, hình chiếu H D mặt phẳng (ABC) giao điểm (d) với (ABC), ta đợc: (4 t) + (1 t) + (4  t)  =  t = H(3; 0; 3) Hoạt động Cho bốn điểm A(5; 3; 1), B(2; 3; 4), C(1; 2; 0), D(3; 1; 2) a Chøng minh r»ng A, B, C, D bốn đỉnh hình tứ diện b Viết phơng trình tham số đờng cao tứ diện ABCD hạ từ D c Tìm tọa độ hình chiếu H D mặt phẳng (ABC) d Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 5) hai đờng thẳng (d1) (d2) có phơng trình: Thí dụ 4: x  1 t � x y1 z1   (d): �y   2t , t  � vµ (d2): 2 �z  3 t � a Viết phơng trình tham số đờng thẳng (d3) ®i qua M vµ song song víi (d2) b ViÕt phơng trình tắc đờng thẳng (d) qua M, vuông góc với (d1) (d2) Giải uu r uur Gäi u1 vµ u2 theo thø tù vtcp đờng thẳng (d1) (d2), ta có: uu r uur u1 (1; 2; 1) vµ u2 (2; 3; 5) a Ta cã ngay: �x  1 2t QuaM(1;1;5) � � � r � �y  1 3t � uu (d3): �vtcp u2 (2;3;5)  (d3): �z   5t , t  � r b Gọi u vtcp củar đờng thẳng, ta có: uu r uu r uur � (d)  (d1) � r r �u  u1 � u1, u2 � � �r uur u u � � = = (7; 7; 7) chän (1; 1; 1) (d)  (d2 )  �u  u  � Tõ ®ã, ta cã: QuaM(1;1;5) � x  y  z r   � (d): �vtcp u(1; 1;1)  (d): 1 Hoạt động Cho hai đờng thẳng: x  1 t x y1 z � y  2  t , t  �  (d1):  vµ (d2): � �z  3 t a Viết phơng trình tắc đờng thẳng qua điểm M(1; 2; 3), vuông góc với (d1) (d2) b Viết phơng trình đờng thẳng song song với Oz, cắt (d1) (d2) Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) (d2) có: r (d1) qua điểm M1(x1; y1; z1) cã vtcp u1 (a1; b1; c1), r  (d2) ®i qua điểm M2(x2; y2; z2) có vtcp u2 (a2; b2; c2) uuuuuur r r Khi đó, xét ba vectơ u1 , u2 vµ M 1M ta cã kÕt quả: r r (d1) (d2) đồng phẳng ba vectơ u1 , u2 uuuuuur M 1M đồng phẳng Nh vậy: r r uuuuuur (d1) (d2) đồng phẳng [ u1 , u2 ] M 1M = (d1) vµ (d2) cắt chúng đồng phẳng vtcp chúng không phơng Nh vậy: r r uuuuuur (d1) (d2) cắt [ u1 , u2 ] M 1M = vµ a1: b1: c1  a2: b2: c2 r r (d1) vµ (d2) song song víi vµ chØ u1 u2 phơng (d1), (d2) ®iÓm chung Nh vËy: (d1) // (d2)  a1: b1: c1 = a2: b2: c2  (x2  x1): (y2  y1): (y2  y1) r r (d1) vµ (d2) trïng vµ chØ u1 vµ u2 phơng (d1), (d2) có điểm chung Nh vậy: (d1)  (d2)  a1: b1: c1 = a2: b2: c2 = (x2  x1): (y2  y1): (y2  y1) uuuuuur r r (d1) vµ (d2) chÐo ba vectơ u1 , u2 M 1M không đồng phẳng Nh vậy: r r uuuuuur (d1) vµ (d2) chÐo  [ u1 , u2 ] M 1M   Chó ý: Nếu biết phơng trình hai đờng thẳng (d1) (d2) xét vị trí tơng đối chúng cách giải hệ gồm phơng trình xác định (d1) (d2) để tìm giao điểm đó: a Nếu hệ có nghiệm (d1) (d2) cắt b Nếu hệ có vô số nghiệm (d1) (d2) trùng c Nếu hệ vô nghiệm (d 1) (d2) song song hc chÐo nhau, song song nÕu hai vtcp cđa chóng phơng, chéo hai vectơ không phơng Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) (d2) có phơng trình: Thí dụ 5: x  1 t � x y z   (d1): �y   3t , t  �, (d2): �z  3 4t a Xác định vị trí tơng đối hai đờng thẳng (d1) (d2) b Viết phơng trình mặt phẳng qua gốc O chứa đờng thẳng (d1) Giải a Ta lần lợt có: uu r  Víi (d1) cã vtcp u1 (1; 3; 4) vµ ®iĨm M1(1; 2; 3)  (d1) uur  Víi (d2) có vtcp u2 (1; 3; 4) điểm M2(2; 5; 7)  (d2) uu r uur uuuuuuu r suy vectơ u1 , u2 M1M (1; 3; 4) phơng Vậy, hai đờng thẳng (d1) (d2) trùng b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1) (d1) Khi đó, mặt phẳng (P) qua gốc O chứa đờng thẳng (d1) tơng ứng với việc ®i qua ba ®iÓm O, M1, N1 r Gäi n vtpt mặt phẳng (P), ta đợc: uuuuu r uuuur uuuuu r uuuur r OM 1, ON1 � OM (1; 2; 3) vµ ON1 (0; 1; 1)  n = = (1; 1; 1) Phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi: quaO(0;0;0) (P): r  (P): x + y  z = �vtpt n(1;1; 1) Cách 2: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1) (d1) Khi đó, mặt phẳng (P) qua gốc O chứa đờng thẳng (d1) tơng ứng với việc qua ba điểm O, M1, N1 Giả sử mặt phẳng (P) có phơng trình: (P): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > V× O, M1, N1 thuéc (P), ta ®ỵc: �A  2B  3C  D  �A  2B  3C  � �  � B  C   � B  C  D  �D  �D  � � �A  C � �B  C D Từ đó, ta đợc: (P): Cx  Cy + Cz =  (P): x + y  z = C¸ch 3: Gäi (P) u mặtuuu phẳng thỏa mãn điều kiện đầu (P) u r uu r r có cặp vtcp u1 OM Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta đợc: uu r uuuuu r r � u , OM n = � 1 = (1; 1; 1) Phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi: quaO(0;0;0) (P): r (P): x + y  z = �vtpt n(1;1; 1) Hoạt động Cho hai đờng thẳng (d1) (d2) có phơng trình: x t x1 y z y  1 2t , t  �, (d2):   (d1): � �z  3t a Xác định vị trí tơng đối hai đờng thẳng (d1), (d2) b Viết phơng trình mặt phẳng qua gốc O chứa đờng thẳng (d2) Thí dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho đờng thẳng (d1) có ph- ơng trình: (d1): x1 y1 z   , 1 vµ đờng thẳng (d2) giao tuyến hai mặt phẳng: (P1): x + y  = vµ (P2): 4y + z + = a Chøng tá hai đờng thẳng (d1) (d2) song song với b Viết phơng trình tắc đờng thẳng (d) nằm mặt phẳng ((d1), (d2)) cách (d1), (d2) Giải a Ta lần lợt có: uu r  Víi (d1) cã vtcp u1 (1; 1; 4) điểm M1(1; 1; 2) (d1) uu r uur Các mặt phẳng (P1), (P2) theo thứ tự có vtpt n1 (1; 1; 0), n2 (0; uur 4; 1) Khi vtcp u2 đờng thẳng (d2) đợc cho bëi: uur uu r uur � u2  � n 1, n2 = (1; 1; 4) Và lấy điểm M2(1; 0; 1) (d2) Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đờng tròn biết diện tích hình tròn đó), thực theo bớc: Bớc 1: Gọi (Q) mặt phẳng cần dựng, giả sử: (Q): Ax + By + Cz + D = Vì (Q) chứa (d) nên A, B thuộc (Q) (1) Bớc 2: Để (Q) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính r điều kiện (2) d(I, (Q))  R  r Tõ (1), (2) nhận đợc giá trị tơng ứng A, B, C, D Ngoài gặp thêm câu hỏi: Viết phơng trình đờng thẳng qua A tiếp xúc với (S) vuông góc với đờng thẳng (d) Viết phơng trình đờng thẳng qua A tiếp xúc với (S) tạo với đờng thẳng (d) góc Phơng pháp chung để thực chúng đợc trình bày phàn ý trờng hợp đờng thẳng tiếp xúc với mặt cầu Trong không gian, cho đờng thẳng (d) mặt cầu (S) có phơng trình: Ví dụ 2: (d) : x  y 1 z    , 2 (S): (x  1)2 + (y  3)2 + (z  4)2 = 18 Chứng minh đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B Tính độ dài AB Viết phơng trình đờng thẳng () song song với (d) cắt mặt cầu (S) hai điểm E, F cho EF có độ dài lớn Viết phơng trình mặt phẳng (PA), (PB) tiếp xúc với (S) theo thứ tự điểm A, B Tính sin góc hai mặt phẳng (PA), (PB) Viết phơng trình mặt phẳng vuông góc với (d) và: a Tiếp xúc với mặt cầu (S) b Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn lớn (S) c Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng trßn (C) cã diƯn tÝch b»ng 2 125 ViÕt phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn lớn (S) Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn nhận AB làm đờng kính Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính 27 / Giải Ta có: r Đờng thẳng (d) có vtcp u(2; 1; 2) qua điểm M(3; 1; 3) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 3; 4) bán kính R Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) dạng tham số: �x   2t � (d) : �y   t , t �� � z  2t Thay phơng trình tham số (d) vào (S), ta đợc: (2t + 2)2 + (t 2)2+ (2t  1)2 = 18  9t2 =  t  1 � A(1; 0; 1) � � t  � B(5; 2; 5) � Khi ®ã: AB2 = (5  1)2 + 22 + (5  1)2 = 36  AB = C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng: uuu r r � � MI, � u� d  d(I, (d))    R  (d)  (S) = {A, B} r u Khi đó, với trung điểm AB thì: AB = 2AH = R  d  18 Đờng thẳng () cắt mặt cầu (S) hai điểm E, F biết EF có độ dài lớn () qua tâm I mặt cầu (S) Do đó, ta có: QuaI  1; 3; 4 x1 y z � (): � r    (): 2 vtcpu 2; 1; Ta lần lợt có: Mặt phẳng (PA) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A là: 126 QuaA 1; 0; 1 � (PA): � uur  (PA): y + z  = n(0; 1; 1) �vtptAI 0; 3; ch Mặt phẳng (PB) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm B là: QuaB  5; 2; 5 � (PB): � uur  (PB): 4x  y + z  23 = �vtptIB 4; 1; Khi đó, ta đợc: 1 cos    sin = 1 16 1 Gọi (P) mặt phẳng cần dựng, (P) vuông góc với (d) r nên có vtpt u có phơng tr×nh: (P): 2x + y + 2z + D = Suy ra: 238 D D  13 d(I, (P))   22  12  22 a Để (P) tiếp xúc với (S) điều kiện là: D  13 d(I, (P)) = R    D  13   D  13 �9 Khi ®ã:  Víi D  13 , ta đợc mặt phẳng (P1) có phơng trình: (P1 ) : 2x y 2z  13    Víi D 13 , ta đợc mặt phẳng (P1) có phơng trình: (P2 ) : 2x y  2z  13   Vậy, tồn hai mặt phẳng (P 1) (P2) thỏa mãn điều kiện đầu b Để (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn lớn (S) điều kiện là: I (P)) 2.1 + + 2.4 + D =  D = 13 Vậy, ta đợc phơng trình mặt phẳng (P): 2x + y + 2z  13 = c Gọi r bán kính đờng tròn (C), ta cã: S(C) = 2  r2 = 2  r Để (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính r điều kiện là: D 13 4 d(I, (P))  R  r   D  13  12  D = D = 25 Khi đó: 127 Với D = 1, ta đợc mặt phẳng (P3): 2x + y + 2z  =  Víi D = 25, ta đợc mặt phẳng (P4): 2x + y + 2z  25 = VËy, tån t¹i hai mặt phẳng (P 3) (P4) thỏa mãn điều kiện đầu Mặt phẳng (Q) chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn lớn (S) (Q) = (IAB) Tới đây, trình bày theo cách sau: r Cách 1: Gọi n vtpt mặt phẳng (Q), ta đợc: u ur uur r r IA, n = � � IB�= (6; 12; 12) chän n (1; 2; 2) Khi đó, phơng trình mặt phẳng (Q) đợc cho bởi: QuaA(1; 0;1) (Q): r  (Q): x + y  2z + = vtpt n(1; 2; 2) Cách 2: Giả sử mặt phẳng (Q) có phơng trình: (Q): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > (1) V× I, A, B thuéc (Q), ta đợc: 3B 4C D �A  3B  4C  D  ch�n A=1 � �B  � � � � � C  D  1  �C  2 �A  C  D  � � �D  5A  2B  5C  D  2B  5C  D  5 � � Thay A, B, C, D vào (1), ta đợc (Q): x + y  2z + = Gọi H trung điểm AB, suy H(3; 3; 1) Gọi (R) mặt phẳng cần dựng (R) vuông góc với IH, đó: Qua H(3; 1; 3) � (R) : � uur  (R): 2x  2y  z  = �vtpt HI(2;  2; 1) Giả sử mặt phẳng (T) cần dựng có phơng trình: (T): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > Vì A, B thuộc (T), ta đợc: A  C  D  �B  2A  2C  � � 5A  2B  5C  D  � �D   A  C Để (T) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có 27 bán kính r điều kiện là: A 4B 3C  D 27  18  d(I, (T))  R  r  2 2 A B C  A  4B  3(2A  2B)  ( A  B) A  B  (2A  2B) 2 128   2(6A  3B)  9(5A  8AB  5B2 )  27A2  27B2 =  A = B Khi đó: Với A = B chän A = suy B = 1, C = D = 2, ta đợc mặt phẳng: (T1): x + y  4z  =  Víi A = B th× chän A = suy B = 1, C = D = 0, ta đợc mặt phẳng: (T2): x y = Vậy, tồn hai mặt phẳng (T1) (T2) thỏa mãn điều kiện đầu Chú ý: Trong trờng hợp đờng thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) (tâm I, bán kính R) điểm A thờng gặp thêm câu hỏi: Tìm toạ độ tiếp điểm A, sử dụng cách phơng pháp xét vị trí tơng đối đờng thẳng với mặt cầu Viết phơng trình đờng thẳng song song với (d) cắt mặt cầu (S) hai điểm E, F cho EF có độ dài lớn Thực tơng tự nh trờng hợp đờng thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phơng trình mặt phẳng vuông góc với (d) và: a Tiếp xúc với mặt cầu (S) b Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn lớn (S) c Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đờng tròn biết diện tích hình tròn đó) Thực tơng tự nh trờng hợp đờng thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) tiếp xúc với (S), tauurthấy mặt phẳng (P) cần dựng qua A có vtpt IA Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn lớn (S) Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đờng tròn biết diện tích hình tròn đó) Thực tơng tự nh trờng hợp đờng thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu 129 Viết phơng trình đờng thẳng qua A cắt mặt cầu (S) điểm B cho AB có độ dài lớn , ta thực viết phơng trình đờng thẳng (IA) Viết phơng trình đờng thẳng qua A tiếp xúc với (S) vuông góc với đờng thẳng (d), thực theo bớc: uu r Bớc 3: Giả sử đờng thẳng (d) cần dựng có vtcp u ' , ta cã: Bíc 4: uu r r uu r r uur � (d')  (d) � �u'  u � u, r uur  u'  �  �uu � � IA � (d')  IA � �u'  IA Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bëi: Qua A � r (d’): � uu �vtcp u' Viết phơng trình đờng thẳng qua A tiếp xúc với (S) tạo với đờng thẳng (d) góc  , chóng ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: uur Bớc 3: Giả sử đờng thẳng () cần dựng có vtcp u  (a; b; c), ta cã: uur uur uur uur u  IA  u IA  (1) uur r u u g((), (d)) =   uur r  cos u u uur u Bớc 4: (2) Giải hệ tạo (1) (2) nhận đợc toạ độ Khi đó, phơng trình đờng thẳng () đợc cho bởi: Qua A � � (): � uur �vtcp u Trong không gian, cho đờng thẳng (d) mặt cầu (S) có phơng trình: Ví dụ 3: x t � (d): �y   t , t  �, (S): (x  1)2 + (y  2)2 + (z  1)2 �z   2t � = a Chứng minh đờng thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Tìm toạ độ tiếp điểm A b Viết phơng trình mặt phẳng chứa (d) tiếp xúc với (S) c Viết phơng trình đờng thẳng qua A cắt mặt cầu (S) ®iĨm B cho AB cã ®é dµi lín nhÊt 130 d Viết phơng trình đờng thẳng qua A tiếp xúc với (S) vuông góc với đờng thẳng (d) e Viết phơng trình đờng thẳng qua A tiếp xúc với (S) tạo với đờng thẳng (d) góc 300 Giải Ta có: r Đờng thẳng (d) có vtcp u(1; 1; 2) qua điểm M(1; 2; 4) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 1) bán kính R a Thay phơng trình tham số (d) vào phơng trình (S), ta đợc: t2 + t2 + (2t + 3)2 =  6t2 + 12t + =  t = A(0; 1; 2) Vậy, đờng thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A(0; 1; 2) b Giả sử (P) mặt phẳng cần dùng, ta thÊy ngay: � QuaA  0; 1; 2 � (P): � uur  (P): x + y  z + = �vtptIA  1;  1; c Giả sử (d1) đờng thẳng cần dựng, ta thÊy ngay: � QuaA  0; 1; 2 QuaA � x y 1 z  �  (d1): �  (d1): � uur  (d1 ) :  QuaI 1 1 � �vtptIA  1;  1;1 uu r d Giả sử đờng thẳng (d) cần dùng cã vtcp u ' , ta cã: uu r r uu r r uur � uu r (d')  (d) � �u'  u u, IA �  (3;  3; 0) chän u'(1;  1; 0) r uur  u'  �  �uu � � � (d') IA u' IA Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bởi: x t Qua A(0; 1; 2) � � r (d’): � uu  (d’): �y  1 t , t  � �vtcp u'(1;  1; 0) �z  � uur r e Giả sử đờng thẳng () cần dựng có vtcp u  (a; b; c)  , ta lần lợt có: uur uur uur uur u IA  u IA   a + b  c =  c = a + b uur r u u g((), (d)) = 300  uur r  cos30 u u  a.1 b.1 c.2 a  b  c 1  2 2 2   131 a  b  2c a b c 2  a2  b2  (a  b)2 �  2 a  b  2(a  b)  9� � � 2  (a + b) = a + b  2ab =  b = hc a = Khi ®ã: uur uur  Víi b = th× a = c ta đợc u (a; 0; a) chọn u  (1; 0; 1), tõ ®ã: �x  t � Qua A  0; 1; 2 � � (1): � uur  (1): �y  , t  � �vtpt u (1; 0; 1) �z   t � uur uur  Víi a = th× c = b ta đợc u (0; b; b) chän u  (0; 1; 1), tõ ®ã: �x  � Qua A  0; 1;  � � (1): � uur  (1): �y   t , t  � �vtpt u  (0; 1; 1) �z   t � VËy, tån hai đờng thẳng (1), (2) thoả mãn điều kiện đầu Chú ý: Trong trờng hợp đờng thẳng (d) không cắt mặt cầu (S) (tâm I bán kính R) thờng gặp thêm câu hỏi: Viết phơng trình mặt phẳng vuông góc với (d) và: a Tiếp xúc với mặt cầu (S) b Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn lớn (S) c Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đờng tròn biết diện tích hình tròn đó) Thực tơng tự nh trờng hợp đờng thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn lớn (S) Thực tơng tự nh trờng hợp đờng thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đờng tròn biết diện tích hình tròn đó) Thực tơng tự nh trờng hợp đờng thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) Giả sử tiếp điểm T 1, T2, viết phơng trình đờng thẳng (T1T2), thực theo c¸c bíc lín sau: 132 Bíc 1: Bíc 2: Bớc 3: Lập phơng trình mặt phẳng (P1), (P2) chứa (d) tiếp xúc với (S) Tìm toạ độ tiếp điểm T1, T2 với cách hiểu chúng hình chiếu vuông góc I mặt phẳng (P1), (P2) Viết phơng trình đờng thẳng (T1T2) Trong không gian, cho đờng thẳng (d) mặt cầu (S) có phơng trình: Ví dụ 4: (d) : x y  z 1   , (S): x2 + y2 + (z  2)2 = 3 a Chứng minh đờng thẳng (d) không cắt mặt cầu (S) b Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) c Giả sử tiếp điểm (S) với mặt phẳng câu b) T1, T2, viết phơng trình đờng thẳng (T1T2) Giải Ta có: r Đờng thẳng (d) có vtcp u(2; 3; 2) qua điểm M(1; 3; 1) Mặt cầu (S) có tâm I(0; 0; 2) bán kính R = a Chuyển phơng trình (d) vỊ d¹ng tham sè: x  1 2t � � (d): � y   3t, t �� � z 2t Thay phơng trình tham số (d) vào phơng trình (S), ta đợc: (1 + 2t)2 + (3  3t)2 + (2t  1)2 =  17t2  10t + = 0, v« nghiệm Vậy, đờng thẳng (d) không cắt mặt cầu (S) b Lấy thêm điểm N(3; 0; 1) thuộc (d) giả sử mặt phẳng (P) cần dựng có phơng trình: (P): Ax + By + Cz + D = 0, víi A2 + B2 + C2 > Ta lÇn lợt có: Vì M, N thuộc (P) nên: A  3B  C  D  �2C  2A  3B  � (I) � 3A  C  D  � �2D  4A 3B Để (P) tiếp xúc với (S) điều kiƯn lµ: 2C  D 3 d(I, (P)) = R  A  B2  C 133   2C  D   9(A  B2 C2 ) Để tiện tính toán, ta nhân hai vế đẳng thức với 4: 4C  2D   36(A  B2 )  9(2C) 2   4A  6B  4A  3B   36(A  B2 )  9(2A  3B) 2  81B2  72A  117B2  108AB  2A  3AB  B2   B = 2A hc A = B Khi đó: Với B = 2A chän A = suy B = 2, C = 2, D = 5, ta đợc: (P1): x + 2y  2z  =  Víi A = B th× chän A = suy B = 1, C   , D  , ta đợc: 2 (P2 ) : x  y  z    (P2): 2x + 2y  z = 2 Vậy, có hai mặt phẳng (P1), (P2) thoả mãn điều kiện đầu c Ta lần lợt có: Xác định toạ độ T1: Phơng trình đờng thẳng (IT1) đợc cho bëi: QuaI(0;0;2) � QuaI � � r (IT1): �  (IT1): � uu (IT1)  (P1) �vtcpn1(1;2; 2) � x t � �  (IT1): �y  2t , t  � � z   2t � Vì (IT1) (P1) = {T1}, đó: t + 4t  2(2  2t)  =  9t  =  t = 1 T1(1; 2; 0) Xác định toạ độ T2: Phơng trình đờng thẳng (IT2) đợc cho bởi: x 2t QuaI(0;0;2) � QuaI � � � (IT2): �  (IT2): � uur  (IT2): �y  2t , t  (IT2 )  (P2 ) �vtcpn2 (2;2; 1) � � z  2 t � �  V× (IT2)  (P2) = {T2}, ®ã: 4t + 4t  (2  t) =  9t  = t = T2(2; 2; 1) Phơng trình đờng thẳng (T1T2) đợc cho bởi: 134 QuaT1(1; 2; 0) � (T1T2): � uuuur  (T1T2): �vtcp T1T2 (1; 0; 1) x  1 t � � y  , t  � � � z t � Bµi toán 10: Góc khoảng cách Phơng pháp áp dụng Cho hai đờng thẳng (d1) (d2), theo thứ tù cã vtcp lµ: r r a (a1; a2; a3), b (b1; b2; b3) Gọi góc tạo hai đờng thẳng (d1) (d2) (0  cã:   ), ta rr | a1b1  a b  a b3 | | a.b | cos = r r = a1  a 22  a 32 b12  b22  b32 | a |.| b | LÊy M1, M2 theo thứ tự thuộc (d1) (d2), khoảng cách (d1), (d2) đợc cho bởi: r r uuuuuur � a, M1M � b� d((d1), (d2)) = r r � a, b � � � Lu ý: Điều kiện cần đủ để (d1) (d2) là: cos =  a1b1 + a2b2 + a3b3 = Trong nhiều toán ta lại áp dụng kết sau hình không gian, cách thực theo bớc: Bớc 1: Tìm góc, ta tìm điểm I thoả mãn: IA //(d1 ) �IB //(d ) � Khi ®ã, ta cã g((d1), (d2)) = AIB Bíc 2: TÝnh gãc: uur uur Nếu biết đợc toạ độ IA IB sử dụng công thức Sử dụng tỉ số lợng giác góc tam giác vuông dùng định lí cosin tam giác thờng Cho: r Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3) r Đờng thẳng (d) có vtcp a (a1; a2; a3) Gọi góc tạo (P) (d), góc đờng thẳng (d) r ®êng th¼ng chøa vtpt n (0  ,   ), th×: 135 + =   sin = cos, ta cã: sin = | a 1n  a n  a n | a  a 22  a 32 n12  n 22  n 32 Chó ý: Điều kiện để (d) // (P) (hoặc thuộc (P)) lµ: sin =  a1n1 + a2n2 + a3n3 = r Cho điểm M đờng thẳng (d) có vtcp a qua điểm M0 Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d) ®ỵc cho bëi: uuuuur r � � MM ,a d(M, (d)) = r |a| Xác định số đo góc hai đờng thẳng (d1) (d2) có phơng trình cho bởi: x t x y1 z � y  2 t   � � , (d2): � a (d1): 2 , t  z  1 3t � x  1 2t � �x  u  � � y  t1 � � � �y  5 2u b (d1): � , t  vµ (d , u  2): � z  3t  � �z  3u  VÝ dơ 1:  Híng dÉn: Sử dụng kiến thức phần phơng pháp giải toán  Gi¶i uu r uu r a Gäi a1 , a2 theo thø tù lµ vtcp cđa (d1) vµ (d2), ta cã: uu r uu r a1 (2; 1; 3), a2 (1; 1; 3) Gọi góc tạo hai đờng thẳng (d1) (d2) (0 cã: r r |(2).1 1.(1)  3.3| |a1.a2 | cos = r = r = |a1 |.|a2 | (2)2  12  32 12  (1)2  32 uu r uu r b Gäi a1 , a2 theo thø tù lµ vtcp cđa (d1) vµ (d2), ta cã: uu r uu r a1 (2; 1; 3); a2 (1; 2; 3) 151 Gọi góc tạo hai đờng thẳng (d1) (d2) (0 cã: 136  ), ta  ), ta r r |a1.a2 | cos = r r = |a1 |.|a2 | VÝ dô 2: |2.1 1.2  3.3| 1    2 2 = 13 14 Cho mỈt phẳng (P) đờng thẳng (d) có phơng trình: (P): x + 2yz + = 0, a b c d (d): x = y + = z3 Tính toạ độ giao điểm (d) (P) Tính góc (d) (P) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc (d) lên (P) Viết phơng trình đờng thẳng (), nằm (P) qua giao điểm (d) (P) vuông góc với (d) Giải a Chuyển phơng trình (d) dạng tham số, đợc: x 2t y  t  , t  � � � z  t � Thay x, y, z tõ phơng trình tham số (d) vào phơng trình (P), ta đợc: (2t3) + 2(t1)(t + 3) + =  t =  I(1; 0; 4) r r b Gọi a vtcp đờng thẳng (d), ta cã a (2; 1; 1) r r Gäi n vtpt mặt phẳng (P), ta có n (1; 2; 1) Gọi góc tạo (P) (d), ta cã: |2   1|  sin = = =  1 1   VËy, gãc gi÷a (d) vµ (P) b»ng c LÊy A(3; 1; 3) (d) Goi (Q) mặt phẳng chứa (d) vu«ng gãc víi (P), ta cã: qua A(3; 1;3) qua A(3; 1;3) � � (Q): �  (Q): � r r r �hai vtcp a(2;1;1) & n(1;2; 1) �vtpt m(3;3;3) (Q): xyz5 = Khi đó, hình chiếu vuông góc (d1) (d) lên (P) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) nên có phơng tr×nh: x  2y  z   � (d): � x y z 5 � r d Gọi b vtcp đờng thẳng (), tõ gi¶ thiÕt: 137 r r � b  n r �1 1 2 � � , , �= (3; 3; 3) chän (1; 1; 1) �r r  b� b a � �2  1 1 Vậy đờng thẳng () đợc cho bëi: Qua I(1; 0; 4) � x1 y z �   (): � r  (): vtcp b  ;1 ;1 1 1   �  Chó ý: Cã thĨ lËp ln nh sau: qua I(1;0;4) � qua I(1;0;4) � qua I(1;0;4) � �r r � ( ) �(P) (): �  (): �b  n  (): �r r r r b// m � � � ( )  (d) b a Bài toán 11: Phơng pháp toạ độ hóa Phơng pháp áp dụng Sử dụng kiến thức thiết lập hệ tọa độ đợc trình bày chủ đề Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' víi AB = a, BC = b, CC' = c a Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A'BD) b Tính khoảng cách từ điểm A' tới đờng thẳng C'D c Tính khoảng cách hai đờng thẳng BC' CD' Hớng dẫn: Thiết lập hệ toạ độ Axyz với B, D, A theo thứ tự thuéc Ox, Oy, Oz z c A' B' C' D' Giải Chọn hệ tọa độ Axyz với B, D, A theo thø tù ax A B thuéc c¸c tia Ox, Oy, Oz, ta đợc: b A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0), D(0; b; 0) y D C A'(0; 0; c), B'(a; 0; c), C'(a; b; c), D'(0; b; c) a Sử dụng phơng trình mặt chắn, ta đợc phơng trình mặt phẳng (A'BD) có dạng: x y z (A1BD): + + =  (A'BD): bcx + acy + abzabc = a b c Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD) đợc cho bởi: abc abc d= = 2 2 2 2 b c  a 2c  a b b c a c a b b Ta cã:  138 d(A', C'D) b2 c2  a c2  a b2 a  c2 c Ta cã: = uuuuu r uuuur [A 'C',C'D] uuuur C'D [(a; b; 0),( a; 0;  c)] = ( a; 0;  c) uuuu r uuuu r uuur [BC',CD '].BC uuuu r uuuu r d(BC', CD') = = [BC',CD '] 139 abc 2 b c  a 2c2  a b = ...Đ3 Phơng trình đờng thẳng A giảng phơng trình tham số đờng thẳng Định lý 1: Trong khôngr gian Oxyz, đờng thẳng (d) qua điểm M0(x0; y0; z0) vµ cã vtcp a (a1; a2; a3) cã phơng trình:... ®iỊu kiƯn a12 + a22 + a32 > ®ỵc gọi phơng trình tham số đờng thẳng Hoạt động Chứng minh kết Trong không gian Oxyz, viết phơng trình đờng thẳng (d), biết: Thí dụ 1: r a (d) qua điểm A(1; 2; 3) cã... y1  (y2  y1)t , t  � hc (d): = = x2  x1 y2  y1 �z  z  (z  z )t � z  z1 z2  z1 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) (Q) có phơng trình: Thí dụ 2: (P): 2x + 2y + z  = 0, (Q):