Gi¶i a Ta cã thĨ thùc hiƯn theo hai cách sau: Cách 1: Xét phơng trình đờng tròn (C) với ẩn y tìm x để phơng trình có nghiệm, từ suy hoành độ nguyên Đề nghị bạn đọc tự làm Cách 2: Chuyển phơng trình đờng tròn dạng tham số: x = + 2 sin α (C): , α∈[0, 2π) y = + 2 cos α Khi ®ã ®iÓm M∈(C) ⇒ M(2 + 2 sinα, + 2 cosα) π 3π 5π π Suy giá trị góc để x, y nguyên là: , , , 4 4 Ta đợc M1(0, 1), M2(0, 5), M3(4, 1), M4(4, 5) b Gọi A1 điểm đối xứng với A qua tâm I đờng tròn (C) toạ độ điểm A1(0; 1) Đờng tròn (C1) thoả mãn: mA 1(0;1) t© (C1): ⇔ (C1): x2 + (y − 1)2 = B¸n kÝ nh R = 2 Khi đó: (C)(C1) = {B, C}, toạ độ B, C lµ nghiƯm cđa hƯ: x + y − 4x − 6y + = x + (y − 1) = B(1 + 3, − 3) ⇔ ⇒ 2 x + (y − 1) = C(1 − 3, + 3) x + y − = Đ3 Elíp Dạng toán 1: Các định thuộc tính Elíp (E) Phơng pháp thực Ta thực theo bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu Elíp (E) dạng tắc x2 y2 (E): + = y a b b B2 Bớc 2: Xét khả năng: y Khả 1: Nếu a > b, ta đợc: A1 A2 x F O F a x (E) cã trôc lớn thuộc Ox, độ dài 2a chứa hai tiêu điểm B1 F1(c, 0), F2(c, 0) với c2 = a2 − b2 − a b 121 (E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài 2b c Tâm sai e = a Khả 2: Nếu a < b, ta đợc: (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài 2b chứa hai tiêu điểm F1(0, c), F2(0, c) với c2 = b2 − a2 (E) cã trơc nhá thc Ox víi độ dài A1 a 2a c Tâm sai e = b y b B2 c F2 O − F1 −bc B1 A2 a x Chó ý: Trong trờng hợp phơng trình (E) có dạng: (x − α)2 (y − β)2 (E): + = a2 b2 ta thùc hiƯn phÐp tÞnh tiÕn hƯ trơc Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục: X = x α x = X + α ⇔ Y = y y = Y + ta đợc: X2 Y (E): + = a b từ đó, thuộc tính (E) hƯ trơc IXY råi suy c¸c thc tÝnh cđa (E) hƯ trơc Oxy ThÝ dơ X¸c định độ dài trục, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh elíp có phơng trình sau: x2 y2 a + = b 4x2 + 9y2 = c 4x2 + 9y2 = 25 36 Gi¶i a Ta cã a = vµ b = 3, suy c = a2 − b2 = Tõ ®ã: Trơc lín thc Ox có độ dài 10 chứa hai tiêu điểm F 1(−4, 0), F2(4, 0) Trôc nhá thuéc Oy cã độ dài Toạ độ đỉnh A1(5, 0), A2(5, 0), B1(0, −3), B2(0, 3) b BiÕn ®ỉi phơng trình dạng: 122 x2 y2 1 + = ⇒a = , b = vµ c = 1/ 1/ Tõ ®ã: Trục lớn thuộc Ox có độ dài chứa hai tiêu điểm F1( , 0) a2 − b2 = Trôc nhá thuéc Oy cã ®é dµi b»ng , 0), F2( 1 1 Toạ độ đỉnh A1( , 0), A2( , 0), B1(0, − ), B2(0, ) 2 3 c Biến đổi phơng trình d¹ng: x2 y2 + = ⇒ a = 3, b = vµ c = a2 − b2 = Tõ ®ã: Trơc lín thc Ox có độ dài chứa hai tiêu điểm F 1(− , 0), F2( , 0) Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài Toạ độ đỉnh A1(3, 0), A2(3, 0), B1(0, 2), B2(0, 2) Thí dụ Xác định đờng cong sau: a (E): y = − x2 x = 4sin t π b (E): , t∈[ , 2π) y = 2cos t Giải a Biến đổi phơng trình (E) d¹ng: y ≥ y ≥ (E): y2 ⇔ (E): x y = (9 − x ) + =1 9 Vậy, đồ thị (E) phần phía Ox đồ thị Elíp x2 y2 + = b Biến đổi phơng trình (E) dạng: x xvàykhôngdồngthớ i d ong sint = sin t+ cos t=1 ⇔ (E): (E): x2 y2 π =1 cost = y t∈[ 2,2π) + 16 x2 y2 Vậy, đồ thị (E) đồ thị Elíp + = bỏ phần 16 đồ thị góc phần t thứ 2 123 Thí dụ Tìm tâm sai Elíp biết: a Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dới góc 600 b Đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dới góc 600 c Khoảng cách hai đờng chuẩn lần tiêu cự d Khoảng cách hai đỉnh hai trục hai lần tiêu cự Giải B2 a Từ giả thiết, ta cã: b b 0 O c F2 tan30 = ⇔ b = c.tan30 c suy ra: B1 2 c c c c e = ⇔ e2 = = 2 = 2 = = a tan 300 + a b +c c tan 30 + c cos2300 ⇔ e = cos300 = b b Tõ gi¶ thiÕt, ta cã cot300 = ⇔ b = c.cot300 c suy ra: c c2 c2 c2 e = ⇔ e2 = = 2 = 2 = = a cot 300 + a b +c c cot 30 + c sin2300 ⇔ e = sin300 = c Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: 2a 2a = 4c ⇔ = 4ae ⇔ e2 = ⇔e = e e 2 d Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: A2B2 = 4c ⇔ a2 + b2 = 4c ⇔ a2 + b2 = 16c2 B2 b 15c2 ⇔ c2 + b2 + b2 = 16c2 ⇔ b2 = a O A2 suy ra: c c c2 c2 34 e= ⇔ e = = 2 = 15c2 = ⇔e = +c a 17 a b +c 2 Dạng toán 2: 124 Lập phơng trình Elíp (E) Phơng pháp thực Ta lựa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Sư dơng phơng trình tắc Elíp x2 y2 (E): + = a b Từ cần tìm a, b (hoặc a 2, b2) cách thiết lập hệ hai phơng trình với ẩn a, b (hoặc a2, b2) Cách 2: Sử dụng định nghĩa Nếu biết hai tiêu điểm F1(x1, y1), F2(x2, y2) độ dài trục lớn 2a ta thực theo bíc: Bíc 1: LÊy ®iĨm M(x, y)∈(E) Bíc 2: Chun MF1 + MF2 = 2a (1) thành biểu thức giải tÝch nhê: MF12 = (x − x1 )2 + (y − y1 )2 (2) Bíc 3: MF22 = (x − x2 )2 + (y − y2 )2 Suy MF12 − MF22 MF1 − MF2 = MF1 + MF2 (3) (x12 − x22 ) + (y12 − y22 ) − 2x(x1 − x2 ) − 2y(y1 − y2 ) (4) 2a Lấy (1) + (4) ta đợc MF1, thay vào (2) ta đợc phơng trình (E) = Bớc 4: Chú ý: Cần phải cân nhắc giả thiết toán thật kỹ để lựa chọn dạng phơng trình thích hợp Trong trờng hợp đặc biệt, ta giả sử Elíp (E) có phơng trình: x2 y2 (E): + = a b Trong nhiều trờng hợp đặc thù sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác phơng trình Elíp chứng minh tập hợp điểm Elíp Thí dụ Lập phơng trình tắc elíp, biết: a Độ dài trục lớn trục nhỏ lần lợt b Độ dài trục lớn 10 tiêu cự 125 c Trục lớn thuộc Oy có độ dài trục lớn 26 tâm 12 sai e = 13 Giải a Ta có a = b = 3, suy phơng trình elíp x2 y2 + = 16 b Ta cã a = vµ c = 3, suy b = a2 c2 = nên phơng x2 y2 tr×nh cđa elÝp + = 25 16 c Tõ giải thiết ta giả sử Elíp (E) có phơng trình x2 y2 (E): + = 1, víi a0) (P) (d) y Các thuộc tính (P) gồm: Đỉnh O(0 0), F L p p/2 x p/2 O Tiêu điểm F ( , 0), p §êng chuÈn (d): x = − , Parabol, nhËn Ox lµm trục đối xứng, đồ thị bên phải Ox Dạng 2: Parabol (P): y2 = −2px (p>0) y (d (P C¸c thc tÝnh cđa (P) gåm: ) ) F §Ønh O(0 0), L p − p/ O p/ x Tiêu điểm F ( , 0), 2 p §êng chuÈn (d): x = , Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên trái Ox Dạng 3: Parabol (P): x2 = 2py (p>0) y C¸c thc tÝnh cđa (P) gåm: (P) Đỉnh O(0 0), F p/ p Tiêu điểm F (0, ), x O (d −p/ p L ) §êng chuÈn (d): y = − , Parabol, nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị có hớng lên y Dạng 4: Parabol (P): x2 = − 2py (p>0) ( C¸c thc tÝnh cđa (P) gåm: L p d / §Ønh O(0 0), O ) x p Tiêu điểm F (0, − ), − ( F p P / ) 147 p , Parabol, nhËn Ox làm trục đối xứng, đồ thị có hớng xuống dới §êng chuÈn (d): y = Chó ý: Trong trêng hợp phơng trình (P) có dạng: (P): (y β)2 = ± 2p(x − α) hc (P): (x − α)2 = ± 2p(y − β) ta thùc hiÖn phÐp tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục: X = x − α x = X + α ⇔ Y = y − β y = Y + ta đợc: (P): Y2 = 2pX (P): X2 = 2pY từ thc tÝnh cđa (P) hƯ trơc IXY råi suy c¸c thc tÝnh cđa (P) hƯ trơc Oxy Thí dụ Chứng tỏ phơng trình Ax2 + By = 0, với A, B phơng trình Parabol có đỉnh O(0, 0), nhận Oy làm trục đối xứng Tìm tiêu điểm phơng trình đờng chuẩn Parabol Giải Viết lại phơng trình dới dạng: B B = 2p Ax2 = −By ⇔ x2 = − y A x = 2py A phơng trình Parabol có đỉnh O(0, 0), nhận Oy làm trục đối xứng Parabol có: B Tiêu điểm F(0; p) = (0; ) 2A B Phơng trình đờng chuÈn y = −p ⇔ y = 2A ThÝ dụ Chuyển phơng trình Parabol (P) dạng tắc, từ xác định thuộc tính vẽ hình, biết (P) : y2 + 2y 4x = Giải Bạn đọc tự vẽ hình Chuyển phơng trình (P) dạng: (P): (y + 1)2 = 4(x + 1) 148 uuu r Thực phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OS với S(1, 2) thành hệ trục SXY, với công thức đổi trục: X = x + x = X − ⇔ Y = y + y = Y − Khi ®ã: (P): Y2 = 4X ⇒ p = Khi ®ã hƯ trơc SXY, (P) cã c¸c thc tÝnh: Đỉnh S Trục đối xứng SX chứa tiêu điểm F(1, 0) Phơng trình đờng chuẩn (d): X = Do đó, hệ trục Oxy, (P) có thuộc tính: Đỉnh S(1, 1) Trục đối xứng đờng thẳng y + = chứa tiêu điểm F(0, 1) Phơng trình đờng chuẩn (d): x + = ThÝ dơ Cho hä ®êng cong (Pm) : y2 − 2my − 2mx + m2 = Tìm điều kiện m để (Pm) phơng trình Parabol, đó: a Tìm quĩ tích đỉnh họ (Pm) b Tìm quĩ tích tiêu điểm họ (Pm) Giải Chuyển phơng trình (Pm) dạng: (Pm): (y m)2 = 2mx Để phơng trình phơng trình Parabôn điều kiện m ≠ uuu r Thùc hiƯn phÐp tÞnh tiÕn hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OS với S(0; m) thành hệ trục SXY, với công thức đổi trục: X = x x = X ⇔ Y = y − m y = Y + m Khi ®ã: (P): Y2 = 2mX ⇒ p = m Khi ®ã hƯ trơc SXY, (Pm) cã c¸c thc tÝnh: Đỉnh S m Trục đối xứng SX chứa tiêu điểm F( , 0) m Phơng trình đờng chuÈn (d): X = − Do ®ã hƯ trơc Oxy, (Pm) cã c¸c thc tÝnh: 149 Đỉnh S(0; m) Trục đối xứng y m = chứa tiêu điểm F( Phơng trình ®êng chuÈn (d): x + m ; m) m = a Q tÝch ®Ønh cđa hä (Pm) x = S: ⇒ x = y = m VËy q tÝch ®Ønh cđa (Pm) thc trơc tung b Quĩ tích tiêu điểm họ (Pm) m x = ⇒ y = 2x ⇔ 2x − y = F: y = m Vậy quĩ tích tiêu điểm (Pm) thuộc đờng thẳng 2x y = Dạng toán 2: Lập phơng trình Parabol (P) Phơng pháp thực Ta lựa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Sư dơng phơng trình tắc Parabol (P): y2 = 2px (P): x2 = 2py Từ cần tìm a, b (hoặc a 2, b2) cách thiết lập hệ hai phơng trình với ẩn a, b (hoặc a2, b2) Cách 2: Sử dụng định nghĩa Bớc 1: Lấy điểm M(x, y)(P) có tiêu điểm F dờng chuẩn (d) Bíc 2: Chun MF = MH thµnh biĨu thøc gi¶i tÝch nhê: MF2 = (x − xF)2 + (y − yF)2 vµ MH = d(M, (d)) Bíc 3: Thu gọn Chú ý: Cần phải cân nhắc giả thiết toán thật kỹ để lựa chọn dạng phơng trình thích hợp Trong trờng hợp đặc biệt, ta giả sử Parabol (P) có phơng trình: (P): y2 = 2px Trong nhiều trờng hợp đặc thù sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác phơng trình Parabol chứng minh tập hợp điểm Parabol Thí dụ Viết phơng trình Parabol (P) có đỉnh gốc toạ độ ®i qua ®iĨm A(2, 2) 150 Gi¶i Parabol (P) có đỉnh O có phơng trình (P): y2 = 2px (P): x2 = 2py Trờng hợp 1: Nếu phơng tr×nh cđa (P): y2 = 2px V× A∈(P), suy = 4p p = Khi phơng trình Parabol (P1): y2 = 2x Trờng hợp 2: Nếu phơng trình (P): x2 = 2py Vì A(P), suy = 4p ⇔ p = Khi ®ã phơng trình Parabol (P2): x2 = 2y Vậy tồn hai Parabol (P1) (P2) thoả mãn điều kiện đầu Thí dụ Cho điểm F(3, 0) a Lập phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F đỉnh gốc toạ độ b Một điểm nằm Parabol (P) có hoành độ x = Hãy tính khoảng cách từ điểm tới tiêu điểm c Qua I(2, 0) dựng đờng thẳng (d) thay đổi cắt Parabol (P) hai điểm A, B Chứng minh tích số khoảng cách từ A B tới Ox số Giải a Parabol (P) có tiêu ®iĨm F(3, 0) vµ ®Ønh O(0, 0) suy ra: (P): y2 = 2px p Ta cã = ⇒ p = Vậy, phơng trình Parabol (P): y2 = 12x b Với điểm M(2, y) (P) có: p FM = x + = + = c Đờng thẳng (d): a(x 2) + by = qua I Toạ độ giao điểm A(xA, yA) vµ B(xB, yB) cđa (P) vµ (d) lµ nghiÖm hÖ: y2 = 12x a(x − 2) + by = Phơng trình tung độ giao điểm (P) (d) có dạng: ay2 12by + 24a = (1) Tõ ®ã, ta cã 151 12b yA + yB = a y y = 24 A B Khoảng cách từ A B đến trục Ox theo thứ tự lµ: h1 = | yA| , h2 = | yB| NhËn xÐt tÝch h1.h2 = | yA.yB| = 24 không đổi Dạng toán 3: Vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng Parabol Phơng pháp thực Xét vị trí tơng đối điểm M(x0, y0) víi Parabol (P) : y2 = 2px, ta thùc hiƯn theo bớc: Bớc 1: Xác định phơng tích M Parabol (P) : PM /(P) = y20 − 2px0 Bíc 2: KÕt luËn: NÕu PM /(P) 0 ⇔ M n»m ngoµi Parabol Chó ý: Ta có kết sau: M(x, y) miền (P) qua M kẻ đợc tiếp tuyến tới (P) M(x, y) miền (P) qua M kẻ đợc tiếp tuyến tíi (P) M(x, y) n»m trªn (P) ⇒ qua M kẻ đợc tiếp tuyến tới (P) Xét vị trí tơng đối đờng thẳng với Parabol việc xét hệ phơng trình tạo (P) (d), số nghiệm phơng trình số giao ®iĨm cđa (d) vµ (P) ThÝ dơ Cho Parabol (P): y2 = 4x vµ (d): 2x − y − = Tìm điểm M(d) để từ đó: a Không kẻ đợc tiếp tuyến tới (P) b Kẻ đợc tiếp tuyến tới (P) c Kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P) Giải Với điểm M(x0, y0)∈(d), ta cã: 2x0 − y0 − = ⇔ y0 = 2x0 − 152 PM /(P) = y20 − 4x0 = (2x0 − 4)2 − 4x0 = x20 − 20x0 + 16 a §Ĩ tõ M không kẻ đợc tiếp tuyến tới (P) PM /(P) ⇔ m > (C) phơng trình Elíp m < m < (C) phơng tr×nh cđa Hypebol m >1 Víi: m > ⇔ m = ⇒ (C) phơng trình Parabol điểm m =1 (có dạng y2 = 0) Cách 2: Ta xét dựa tính chất đại số: a Víi m2 − m = ⇔ m = ∨ m = Víi m = 0, ta ®ỵc: (C): − x2 = ⇔ (C): x = phơng trình trục Oy Với m = 1, ta đợc: (C): y2 = (C): y = phơng trình trục Ox 158 ... bán kính R = OA có phơng trình: (C): x2 + y2 = a12a 22 (b 12 b 22 ) + b12b 22 (a 22 − a 12 ) a22b 12 a12b 22 Thí dụ Cho điểm M(1, 1) Elíp (E) có phơng trình: x y2 + (E): = a Chøng minh r»ng mäi ®êng... A2B2 = 4c ⇔ a2 + b2 = 4c ⇔ a2 + b2 = 16c2 B2 b 15c2 ⇔ c2 + b2 + b2 = 16c2 ⇔ b2 = a O A2 suy ra: c c c2 c2 34 e= ⇔ e = = 2 = 15c2 = ⇔e = +c a 17 a b +c 2 Dạng toán 2: 124 Lập phơng trình Elíp (E)... − x2 )2 + (y − y2 )2 Suy MF 12 − MF 22 MF1 − MF2 = MF1 + MF2 (3) (x 12 − x 22 ) + (y 12 − y 22 ) − 2x(x1 − x2 ) − 2y(y1 − y2 ) (4) 2a Lấy (1) + (4) ta đợc MF1, thay vào (2) ta đợc phơng trình (E) =