chơng phơng pháp toạ độ mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ I Đờng thẳng vectơ phơng đờng thẳng r r Định nghĩa 1: Một vectơ a khác gọi vectơ phơng (viết r tắt vtcp) đờng thẳng (d) giá cđa a song song hc trïng víi (d) NhËn xÐt: r r Nếu a vtcp đờng thẳng (d) vectơ k a với k ®Ịu lµ vtpt cđa (d) r NÕu a (a1; a2) vtcp đờng thẳng (d) với a1 ta gäi a2 k= lµ hƯ sè gãc đờng thẳng (d) a1 Một đờng thẳng đợc hoàn toàn xác định biết vtcp điểm mà qua phơng trình tham số đờng thẳng Ta có kết quả: Qua M (x0,y0 ) � �x x0 a1t � (d): � r (d): � , t vtcpa(a1,a2) y y0 a2t Phơng trình (1) với điều kiện a12 + a22 > đợc gọi phơng trình tham số đờng thẳng Các trờng hợp riêng: Nếu a1 = 0, ta đợc: x x0 (d): � ,t � �y y0 a2t r đờng thẳng có vtcp a (0; a2) vuông góc với Ox, cắt Ox ®iĨm cã hoµnh ®é x0 NÕu a2 = 0, ta đợc: x x0 a1t (d): ,t y y0 r đờng thẳng có vtcp a (a1; 0) vuông góc với Oy, cắt Oy điểm có tung độ y0 phơng trình tắc đờng thẳng Ta có kết quả: 81 Qua M (x0,y0 ) � x x0 y y0 � (d): � r (d): = a1 a2 vtcpa(a1,a2) Từ đó, đờng thẳng (d) qua hai điểm M 1(x1; y1) M2(x2; y2), ta cã: Qua M 1(x1,y1) � x x1 y y1 (d): � (d): = x2 x1 y2 y1 Qua M (x2,y2 ) � vectơ pháp tuyến đờng thẳng r r Định nghĩa 2: Một vectơ n khác gọi vectơ pháp tuyến (viết r tắt vtpt) đờng thẳng (d) giá n vuông góc với (d) Nhận xét: r r Nếu n vtpt đờng thẳng (d) vectơ k n với k vtpt (d) Một đờng thẳng đợc hoàn toàn xác định biết vtpt điểm mà qua phơng trình tổng quát đờng thẳng Ta có kết quả: Qua M (x0 ,y0 ) � � (d): � r (d): A(xx0) + B(yy0) = vtptn(A,B) Phơng trình tổng quát đờng thẳng: (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > vµ nã cã: r r vtpt n (A; B), vtcp a (B; A) A hÖ sè gãc k = , với B B Các trờng hợp riêng: Nếu A = 0, ta đợc: C (d): By + C = (d): y = B r đờng thẳng có vtpt n (0; B) vuông góc với Oy, cắt Oy điểm có tung C độ B Lu ý: Bản thân trục Ox có phơng trình y = Nếu B = 0, ta đợc: 82 y n C / B y O (d ) n O C/A x ( d )x C (d): Ax + C = (d): x = A r đờng thẳng có vtpt n (A; 0) vuông góc với Ox, cắt Ox điểm có hoành C y độ (d A ) Lu ý: Bản thân trục Oy có phơng trình x = Nếu C = 0, ta đợc (d): Ax + By = O x r đờng thẳng có vtpt n (A; B) qua gốc toạ độ O Nếu A2 + B2 = 1, (4) đợc gọi phơng trình pháp dạng đờng thẳng Lu ý: Để đa phơng trình tổng quát đờng thẳng (d): Ax + By + C = vỊ ph¬ng trình pháp dạng ta cần chia hai vế phơng trình cho A B2 , đặt: A B C A0 = , B0 = vµ C0 = 2 2 A B A B A B2 Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d1) (d2) có phơng trình (d1): A1x + B1y + C1 = vµ (d2): A2x + B2y + C2 = việc xét hệ phơng trình tạo (d1) (d2), ta cã kÕt qu¶: A1 B1 C1 a NÕu = (d1) // (d2) A2 B2 C2 A1 B1 C1 b NÕu = = (d1) (d2) A2 B2 C2 A1 B1 c NÕu (d1) cắt (d2) điểm I A2 B2 trờng hợp đờng thẳng qua I có dạng: (A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0, (3) víi 2 + 2 > Phơng trình (3) đợc gọi phơng trình chùm đờng thẳng, điểm I gọi tâm chùm Ta thờng dùng phơng trình chùm đờng thẳng để giải toán dạng: " Viết phơng trình đờng thẳng ®i qua giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng ®· cho thoả mãn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm 83 góc hai đờng thẳng Gọi = g((d1),(d2)), 900 r r Gäi a , b theo thứ tự vtcp (d1), (d2), đó: rr |a.b| cos = r r (4) |a|.|b| NhËn xÐt r»ng (d1) (d2) a1b1 + a2b2 = Gäi k1, k2 theo thø tù lµ hƯ sè gãc cđa (d1), (d2) , ®ã: k1 k2 tg = (5) 1 k1k2 NhËn xÐt r»ng (d1) (d2) k1.k2 = khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(x M, yM) đờng thẳng (d) có phơng trình (d): Ax + By + C = Khi khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d) đợc cho bởi: |AxM ByM C | d(M, (d)) = A B2 Chú ý: Khoảng cách đại số từ M(x M, yM) tới đờng thẳng (d) đợc định nghĩa: tM = HM = AxM ByM C A B2 Phơng trình đờng phân giác Định lý 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đờng th¼ng (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = Khi phơng trình hai đờng phân giác (1) (2) góc tạo (d1) (d2) là: A 1x B1y C1 A 2x B2y C2 = A 12 B12 A 22 B22 Chú ý: Nếu (d1) (d2) không vuông góc với (d1) tạo với (d2) hai góc nhọn hai góc tù, ta xác 84 đinh phơng trình đờng phân giác góc nhọn góc tù nhờ kết bảng sau: Dấu Phơng trình đờng Phơng trình đờng r r phân giác góc phân giác góc n n nhän t¹o bëi (d1), tï t¹o bëi (d1), (d2) (d2) øng víi øng víi t1 = t2 t1 = t2 + t1 = t2 t1 = t2 ®ã: r r n 1(A1, B1), n 2(A2, B2) theo thø tù lµ vtpt cđa (d1), (d2) t1, t2 theo thứ tự khoảng cách đại số từ M(x, y) tới (d1), (d2) II Đờng tròn phơng trình tắc đờng tròn Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, đờng tròn (C) có tâm I(a, b) bán kính R có phơng trình: (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 (1) Vậy, ta đợc: m I(a;b) T (C): � (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 Bk� nhR Chú ý: Ta có: Đờng tròn tâm O bán kính R có phơng trình x2 + y2 = R2 Đờng tròn đơn vị có phơng trình x2 + y2 = phơng trình tổng quát đờng tròn Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đờng cong (C) có phơng trình (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c (2) phơng trình đờng tròn tâm I(a, b) bán kính R = a2 b2 c Phơng trình tiếp tuyến đờng tròn Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, phơng trình tiếp tuyến (d) điểm M(x0; y0) đờng tròn (C): (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 85 có phơng trình: (d): (xa)(x0a) + (yb)(y0b) = R2 (5) Chó ý: Phơng trình (5) đợc gọi phơng trình phân đôi toạ độ theo quy tắc (xa)2 = (xa).(xa) thay b»ng (xa).(x0a) (yb)2 = (yb)(yb) thay b»ng (yb)(y0b) NÕu (C) có phơng trình tổng quát: (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c tiếp tuyến (d) có phơng trình: (d): x.x0 + y.y0a(x + x0)b(y + y0) + c = dùa theo quy t¾c: x2 = x.x thay b»ng x.x0 y2 = y.y thay b»ng y.y0 2ax = a(x + x) thay b»ng a(x + x0) 2by = b(y + y) thay b»ng a(y + y0) Trong trêng hỵp tỉng quát, đờng thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đờng tròn (C) có tâm I bán kính R khi: d(I, (d)) = R phơng tích điểm đờng tròn Cho đờng tròn (C) có phơng trình: (C): x2 + y22ax2by + c = 0, víi a2 + b2c Phơng tích điểm M(x0, y0) đờng tròn (C) đợc xác định bởi: p M/(C) 2 = x0 + y0 2ax02by0 + c Từ giá trị dÊu cđa ®èi víi (C) p NÕu p Nếu p Nếu p M/(O) ta xác định đợc vị trí điểm M M/(C) > M đờng tròn (C) M/(C) = M đờng tròn (C) M/(C) < M đờng tròn (C) Trục đẳng phơng hai đờng tròn Cho hai đờng tròn không đồng tâm (C1) (C2) có phơng trình: 86 (C1): x2 + y22a1x2b1y + c1 = 0, víi a12 b12 c1 (C2): x2 + y22a2x2b2y + c2 = 0, víi a22 b22 c2 Khi tập hợp điểm có phơng tích với hai đờng tròn (C1) (C2) đờng thẳng (d), gọi trục đẳng phơng hai đờng tròn (C1), (C2) có phơng trình: (d): 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)yc1 + c2 = III Elíp phơng trình tắc elíp Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Elíp (E) có hai tiêu điểm F1(c; 0), F2(c; 0) có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với ®iĨm t ý M(x; y)(E) lµ 2a (a > c) có phơng trình: x2 y2 (E): 1, víi b2 = a2c2 a b y M F1 x yb O F2 x Chó ý: §iĨm M(x, y)(E) có: F1M = a + cx cx F2M = a a a phơng trình tham số elíp Elíp (E) có phơng trình tắc: x2 y2 a2 b2 đợc chuyển d¹ng tham sè: �x sint � �x asint �a (E): � , t [0, 2) (E): � , t [0; 2) �y bcost �y cost b (*) Phơng trình (*) đợc gọi phơng trình tham số dạng lợng giác Elíp (E) t Ta biết rằng, đặt z = tan thì: 2 2z 1 z sint = , vµ cost = 1 z 1 z2 ®ã (*) cã thể đợc viết dới dạng: (E): 87 2az x � � 1 z2 (E): � , z � (**) �y b(1 z ) � 1 z2 Phơng trình (**) đợc gọi phơng trình tham số dạng đại số (E) hình dạng elíp y Với Elíp (E) có phơng trình: (E): M x y 1, víi a > b > a2 b2 ta xét tính chất hình học (E) cách xét tính chất đại số tơng ứng phơng trình A1 a F1 b B2 O b x y F2 A2 a x B1 a Phơng trình (E) có bậc chẵn x y nên: Nếu điểm M(x; y)(E) điểm M1(x; y), M2(x; y) M3(x; y) còng thc (E) (E) nhËn c¸c trơc täa độ trục đối xứng gốc O làm tâm đối xứng b (E) cắt trục toạ độ ®iĨm: (E) Ox = {A1, A2} cã toạ độ A1(a; 0), A2(a; 0) đoạn thẳng A1A2 gọi trục lớn (E) có độ dài b»ng 2a (E) Oy = {B1, B2} cã toạ độ B1(0; b); B2(0; b) đoạn thẳng B1B2 gọi trục nhỏ (E) có độ dài b»ng 2b Bèn ®iĨm A1, A2, B1, B2 gäi bốn đỉnh Elíp (E) Lu ý: Hai tiêu điểm Elíp (E) trục lớn c Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có đỉnh giao điểm đờng thẳng x = a đờng thẳng y = b đợc gọi hình chữ nhật sở (E) Vậy Elíp (E) nằm hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có kích thớc 2a, 2b d Từ M(x; y) (E) ta đợc: x2 |x |�a � �a �x �a �a2 � � �2 |y |�b � � b �y �b �y �1 � �b2 T©m sai cđa elÝp T©m sai cđa ElÝp lµ sè thùc e b»ng tØ sè tiêu cự độ dài trục lớn Elíp 88 §èi víi ElÝp (E): c x2 y2 1, víi a > b th× e = a a b §èi víi ElÝp (E): c x2 y2 1, víi a < b th× e = b a b Chú ý: Mọi Elíp có tâm sai nhỏ Tâm sai e = suy c = a = b Khi ®ã: x2 y2 x2 y2 x2 + y = a a2 b2 a2 a2 Elíp trở thành đờng tròn tâm O, bán kính a IV Hypebol phơng trình tắc Hypebol Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F1(c; 0), F2(c; 0) có hiệu hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuú ý M(x; y) (H) lµ 2a (a > c) có phơng trình: (H): x2 y2 , víi b2 = c2a2 a2 b2 Chó ý: §iĨm M(x; y) (H) lu«n cã: cx cx + a vµ F2M = a víi x > a a cx cx b F1M = a vµ F2M = + a víi x < a a a F1M = hình dạng Hypebol Với Hypebol (H) có phơng trình: y Q B2 P x2 y2 A2 F x F1 A1 O a2 b2 ta xét tính chất hình học (H) B1 R S b»ng c¸ch xÐt c¸c tÝnh chÊt đại số tơng ứng phơng trình c Phơng trình (H) có bậc chẵn x y nên: Nếu điểm M(x; y) (H) điểm M1(x; y), M2(x; y) M3(x; y) thuộc (H) (H): 89 (H) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc O làm tâm đối xứng d (H) cắt trục toạ độ hai ®iĨm: (H) Ox = {A1, A2} cã to¹ độ A1(a; 0), A2(a; 0) đoạn thẳng A1A2 gọi trụ c thực (H) có độ dài 2a (H) không cắt Oy, đặt B1(0; b); B2(0; b) đoạn thẳng B1B2 gọi trục ảo (H) có độ dài 2b Vậy trục thực Hyperbol trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo trục đối xứng không cắt Hyperbol Bốn ®iĨm A1, A2, B1, B2 gäi lµ ®Ønh cđa Hypebol (H) Lu ý: Hai tiêu điểm Hypebol (H) trục thực e Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có đỉnh giao điểm đờng thẳng x = a đờng thẳng y = b đợc gọi hình chữ nhật sở (H) f Từ M(x; y) (H) suy ra: x �a � x2 x a � x �a a Nh Hyperbol (H) tập hợp hai tËp kh«ng giao - TËp cđa (H) chứa điểm M(x; y) thoả mãn x a gọi nhánh bên phải Hyperbol - Tập (H) chứa điểm M(x; y) thoả mãn x a gọi nhánh bên trái Hyperbol - Hai nhánh đối xứng qua trục ảo hai nhận trục thực làm trục đối xứng b 2 x a a Tõ M(x; y) (H) y = a b - Khi x +: (H) cã tiÖm cËn y = x a b - Khi x : (H) cã tiÖm cËn y = x a b VËy Hyperbol (H) cã ®êng tiƯm cËn lµ: y = x a b Cách dựng Hyperbol (H) -Xác định vị trí điểm A1(a; 0) ;A2(a; 0), B1(0; b), B2(0; b) trªn hƯ toạ độ -Dựng đờng thẳng x = a y = b cắt P, Q, R, S 90 a 3 2a 4b c 5 � � 10a 4b c 29 b 1/ , thoả mãn điều kiện � 2a 6b c 10 c Vậy phơng trình đờng tròn (C): x2 + y26x + y 1 = C¸ch 2: NhËn xét AB AC ABC vuông A Do ®ã: tamI (3, ) tamI latrungdiemBC (C): (C): BC R R 41 41 (C): (x3)2 + (y + )2 = Thí dụ Lập phơng trình đờng tròn (C) có tâm I(5, 6) x y tiếp xúc với đờng thẳng (d): = Giải Ta giải hai cách sau: Cách 1: Chuyển phơng trình (d) dạng tham số, ta đợc: x 4t (d): , t R y 3t Đờng tròn (C) cã: tamI (5,6) (C): (C): (x5)2 + (y6)2 = R2 (1) bkinh R Thay x, y từ phơng trình tham số (d) vào (C), ta đợc: 25t260t + 45R2 = (2) (C) tiếp xúc với (d) phơng trình (2) có nghiệm kép ' = R2 = (khi ta đợc t = ) Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x5)2 + (y6)2 = Cách 2: Chuyển phơng trình (d) dạng tổng quát, ta đợc: (d): 3x4y6 = Gọi R bán kính đờng tròn (C) (C) tiếp xúc với (d) chØ khi: | 3.5 4.6 | R = d(I, (d)) = = 16 VËy, phơng trình đờng tròn (C): (x5)2 + (y6)2 = 113 Thí dụ Lập phơng trình đờng tròn (C) tiếp xúc với trục toạ độ qua điểm M(2, 1) Giải Giả sử đờng tròn (C) có tâm I(a, b) bán kính R Đờng tròn (C) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy a = b = R Trêng hỵp 1: NÕu a = b th×: (C): (x a)2 + (y a)2 = a2 §iĨm M (C) suy ra: a 1 (2 a)2+(1 a)2 = a2 a2 6a + = a 5 Víi a = 1, suy b = 1, R = 1, ta đợc (C1): (x 1)2 + (y 1)2 = Víi a = 5, suy b = 5, R = 5, ta đợc (C2): (x 5)2 + (y 5)2 = 25 Trờng hợp 2: Nếu a = b thì: (C): (x a)2 + (y + a)2 = a2 §iĨm M (C) suy ra: (2 a)2 + (1 + a)2 = a2 a2 4a + = vô nghiệm Vậy, tồn hai đờng tròn (C1) (C2) thoả mãn điều kiện đầu Chó ý: NÕu gi¶ thiÕt cho (C) tiÕp xóc víi (d): Ax + By + C = t¹i điểm M(x0, y0), ta có đợc điều kiện sau: a Tâm I thuộc đờng thẳng () có phơng trình cho bëi: quaM (x0 , y0 ) x x0 At (): (): , tR vtcpn(A , B) y y0 Bt I(x0 + At, y0 + Bt) b (C) tiÕp xóc víi (d) vµ chØ IM = R Thí dụ Lập phơng trình đờng tròn (C) tiếp xúc với đờng thẳng (d): xy2 = điểm M(3; 1) tâm I thuộc đờng thẳng (d1): 2xy2 = Giải Vì (C) tiếp xúc với (d) điểm M, suy tâm I (C) thuộc đờng thẳng () có phơng trình cho bởi: 114 �qua M(3,1) (): � r (): x + y4 = �vtptn(1,1) Khi ®ã I = (d1) (), toạ độ điểm I nghiệm hệ phơng trình: x y I(2, 2) � 2x y � (C) tiÕp xóc víi (d) vµ chØ IM = R R2 = IM2 = Vậy phơng trình đờng tròn (C): (x2)2 + (y2)2 = Dạng toán 3: Vị trí tơng đối điểm, đờng thẳng đờng tròn Phơng pháp thực Để xét vị trí tơng đối điểm với đờng tròn, ta thực theo bớc: Bớc 1: Bớc 2: Xác định phơng tích M đờng tròn (C) (C) KÕt luËn: p NÕu p NÕu p Nếu M/(C) < M nằm đờng tròn M/(C) = M nằm đờng tròn M/(C) > M nằm đờng tròn p M/ Chú ý: Ta có kết sau: Nếu M nằm (C) không tồn tiếp tun cđa (C) ®i qua M nhng ®ã mäi đờng thẳng qua M cắt (C) điểm phân biệt Nếu M nằm (C) tồn tiếp tuyến (C) qua M (phơng trình tiếp tuyến có đợc phơng pháp phân đôi toạ độ) Nếu M nằm (C) tồn hai tiếp tuyến (C) qua M Để xét vị trí tơng đối đờng thẳng với đờng tròn, ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tíi (d), råi so s¸nh víi b¸n kÝnh R cđa đờng tròn, ta đợc: Nếu h > R (d)(C) = {} NÕu h = R (d) tiÕp xóc víi (C) NÕu h < R (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B 115 Cách 2: Xét hệ phơng trình tạo (C) (d), số nghiệm phơng trình số giao điểm (d) (C) Để xét vị trí tơng đối hai đờng tròn, ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Tính khoảng cách I1I2 (I1, I2 hai tâm hai đờng tròn), so sánh với tổng hiệu hai bán kính R 1, R2 hai đờng tròn, ta đợc: NÕu I1I2 > R1 + R2 (C1) vµ (C2) không cắt Nếu I1I2 < R1R2 (C1) (C2) không cắt vµ nång NÕu I1I2 = R1 + R2 (C1) vµ (C2) tiÕp xóc ngoµi víi NÕu I1I2 = R1R2 (C1) vµ (C2) tiÕp xóc víi NÕu R1R2< I1I2 < R1 + R2 (C1) (C2) cắt hai điểm phân biệt Phơng pháp thờng đợc sử dụng để xác định số nghiệm toán tiếp tuyến chung hai đờng tròn (C1) (C2) Cách 2: Xét hệ phơng trình tạo (C1) (C2), số nghiệm phơng trình số giao điểm (C 1) vµ (C2) NhËn xÐt quan träng: B»ng việc xét vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn ứng dụng để giải hệ đại số, dạng: Dạng 1: Giải biện luËn hÖ: x2 y2 2a(m)x 2b(m)x c(m) 0 Ax By C Dạng 2: Giải biện luận hệ: x2 y2 2a(m)x 2b(m)x c(m) Ax By C Bằng việc xét vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn ứng dụng để giải hệ đại số, dạng: Dạng 1: Giải biện luận hệ: x2 y2 2a1 (m)x 2b1 (m)x c1 (m) 0 x y2 2a2 (m)x 2b2 (m)x c2 (m) Dạng 2: Giải biện luËn hÖ: 116 x2 y2 2a1(m)x 2b1(m)x c1(m) x y2 2a2 (m)x 2b2 (m)x c2 (m) Thí dụ Cho điểm M(6; 2) đờng tròn (C) có phơng trình: (C): x2 + y22x2y + = Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho: a AB = b AB = Giải Đờng tròn (C) có tâm I(1; 1) bán kính R = a Gọi H hình chiếu vuông góc I lên AB, ta cã: AB2 IH2 = IA2AH2 = R2 = 1 = IH = 4 Đờng thẳng (d) qua M có dạng: I (d): A(x6) + B(y2) = M (d): Ax + By6A2B = B H Đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện đầu khi: A |A B 6A 2B | d(I, (d)) = IH = 50A2 + 10AB + B2 = A B2 (1) A Giải phơng trình (1) cách đặt t = ta tìm đợc mối liên B hệ A B Từ đó, thấy tồn hai đờng thẳng (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu b Vì (d) qua M cắt đờng tròn (C) hai điểm A, B cho: AB = = 2R �quaM(6;2) x1 y1 (d2): � (d): = (d): x 5y + = quatamI(1 ;1) 6 Thí dụ Cho đờng thẳng (d) đờng tròn (C) có phơng trình: (d): x + y1 = vµ (C): x2 + y21 = a Chứng tỏ (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B b Lập phơng trình đờng tròn qua hai điểm A, B tiếp xúc với đờng thẳng (): 2xy2 = Giải a Đờng tròn (C) có tâm O(0, 0) bán kính R = 117 Ta cã: d(O, (d)) = | 1| = 0 lµ tiÕp tun chung cđa (C1) vµ (C2) Bíc 2: ThiÕt lËp ®iỊu kiƯn tiÕp xóc cđa (d) víi (C1) vµ (C2) 123 Bíc 3: d(I1, (d)) = R1 & d(I2, (d)) = R2 KÕt luËn vÒ tiÕp tuyến chung (d) Thí dụ Cho hai đờng tròn (C1) (C2) có phơng trình: (C1): (x1)2 + (y1)2 = 1, (C2): (x2)2 + (y + 1)2 = Lập phơng trình tiếp tuyến chung hai đờng tròn Giải Đờng tròn (C1) có tâm I1(1, 1) bán kính R1 = Đờng tròn (C2) có tâm I2(2, 1) bán kính R2 = Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phơng trình: (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > Ta cã (d) tiÕp xóc víi (C1) vµ (C2) vµ chØ d(I 1, (d)) R d(I , (d)) R (1) |A B C | 1 | A B C | A B A B2 | 2A B C | 2 | 2A B C |2 | A B C | 2 A B C 3B | A B C | A B | A B 3B | A B C 3B C (4A B) C (4A B) | A B (4A B) | A B C 3B & B 0 C 3B & A 3B Khi ta đợc hai tiếp tuyến chung: (d1): Ax = (d1): x = 0, 3B x + By3B = (d2): 3x + 4y12 = 0, VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn chung (d1), (d2) cđa (C1) vµ (C2) (d2): ThÝ dơ Cho hai đờng tròn (C) (Cm) có phơng trình: (C): x2 + y2 = 1, (Cm): x2 + y22(m + 1)x + 4my = 124 a Chøng minh có đờng tròn (Cm1), (Cm2) tiếp xúc với đờng tròn (C) ứng với giá trị m1, m2 m b Xác định phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng tròn (Cm1), (Cm2) Giải a Ta có: Đờng tròn (C) có tâm O(0, 0) bán kính R = Đờng tròn (Cm) có tâm Im(m + 1, 2m) bán kính Rm = 5m 2m NhËn xÐt r»ng: (C) vµ (Cm) tiÕp xóc m1 1 � OI m R R m � � � � OI m | R R m | m � �2 b TiÕp tun chung cđa (C1) vµ (C3/5) lµ (d1): 2x + y + 2 = vµ (d2): 2x + y3 = Dạng toán 6: Điểm đờng tròn Phơng pháp thực Để tìm ®iĨm M thc ®êng trßn (C): (xa)2 + (yb)2 = R2 thoả mãn điều kiện K, ta thực theo bớc : Bớc 1: Lấy điểm M(x0, y0) (C), suy ra: (x0a)2 + (y0b)2 = R2 Bíc 2: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x0, y0 ThÝ dơ Cho ®iĨm F(4, 2) đờng tròn (C) có phơng trình: (C): (x3)2 + (y2)2 = 5, (): xy2 = a Tìm điểm có toạ độ nguyên thuộc (C) b Tìm (C) điểm E cho OEF vuông Giải a Xét phơng trình đờng tròn (C) với ẩn y là: y24y + x26x + = Phơng trình có nghiÖm 3+ ' 4x2 + 6x8 x26x + 3 x 125 Suy điểm M(x, y)(C) có hoành độ nguyên là: 1, 2, 3, 4, 5, ta cã: x y y 3 y 4 y 4 yZ y 1 y 0 y Vậy tồn điểm M1(1, 3), M2(1, 1), M3(2, 4), M4(2, 0) , M5(4, 4), M6(4, 0) thuộc (C) b OEF vuông gồm khả sau: Khả 1: OEF vuông O E = (dO)(C), với (dO) đờng thẳng qua O vuông gãc víi OF Ta cã : quaO (d): (d): 2xy = vtptOF(4, 2) Khi ®ã toạ độ điểm E nghiệm hệ : E1(2,4) (x 3)2 (y 2)2 5 E ( , 8) x y 5 Khả 2: OEF vuông F E = (dF)(C), với (dF) đờng thẳng qua F vu«ng gãc víi OF Ta cã : quaF(4 2) (d): (d): 2xy10 = vtptOF(4, 2) Khi toạ độ điểm E nghiệm hÖ : (x 3)2 (y 2)2 5 v« nghiƯm 2x y 10 Khả 3: OEF vuông E E = (C1)(C), với (C1) đờng tròn đờng kính OF Ta cã : (C1): (x2)2 + (y + 1)2 = Khi toạ độ điểm E nghiệm hÖ : (x 3)2 (y 2)2 5 (x 2)2 (y 1)2 5 (x 3)2 (y 2)2 5 E (4,0) E (1,1) x 3y Thí dụ Cho hai đờng tròn (C) (Cm) có phơng trình: (C): x2 + y2 = 1, (Cm): x2 + y22mx2y + m2 = a X¸c định m để (C) (Cm) tiếp xúc với 126 b Với m tìm đợc câu a), xác định vị trí điểm A (C) B (Cm) để diện tích OAB lớn trờng hợp đó, tính diện tích hình Giải Ta có: Đờng tròn (C) có tâm O(0, 0) bán kính R = Đờng tròn (Cm) có tâm Im(m; 1) bán kính Rm = a Để (C) (Cm) tiếp xúc với điều kiện là: OIm = R + Rm m2 = m + = m = b Ta cã: SOAB = uuur uuur uuur � � |OA |.|OB |.sinAOB = |OB |.sinAOB 2 Tõ ®ã, suy diƯn tÝch OAB lín nhÊt vµ chØ khi: OB l� n nh� t � � � � sinAOB � � O,B,I m th� ngh� ng � OA OB � B¹n đọc giải tiếp lần lợt với m = Thí dụ Cho đờng tròn (C) có phơng tr×nh : (C): x2 + y24x6y + = a Tìm điểm có toạ độ nguyên thuộc (C) b Xác định toạ độ đỉnh B, C ABC nội tiếp đờng tròn (C), biết điểm A(4; 5) 127 ... = (2t 1) 2 (t 2)2 + 5t2 + 4t2 (t 5)2 5t2 10 t 25 = [ t2 + t 1 4] Xét điểm A1(0; 1) ; B1 (1; 2) M1(t; 0) Khi ®ã: MA + MB = (M1A1 + M1B1) Vì M1 chạy trục hoành A1, B1 n»m vỊ... thẳng (d1) (d2) có phơng trình (d1): A1x + B1y + C1 = vµ (d2): A2x + B2y + C2 = b»ng việc xét hệ phơng trình tạo (d1) (d2), ta cã kÕt qu¶: A1 B1 C1 a NÕu = (d1) // (d2) A2 B2 C2 A1 B1 C1 b NÕu... = (2 2t)2 (2 t)2 5t2 + 12 t 17 = t1 = vµ t2 = 17 Víi t1 = 1, suy ®iĨm M1(4, 4) 17 24 Víi t2 = , suy ®iĨm M2( , ) 5 24 Vậy, tồn hai điểm M1(4, 4) M2( , ) thoả mãn điều