Đề thi HSG lớp 10 duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm học 2014 – 2015

(Đề thi HSG, lớp 10,Duyên hải Đồng Bắc Bộ, năm học 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) 2 � �y  xy  y   x  x  Giải hệ phương trình sau: � 2 �  x  y 1  x  x  y  Câu (4 điểm) Cho đường tròn (w1) (w2) cắt P Q, đường thẳng d thay đổi qua B Cắt w1 A (w2) B cho P nằm a b; C, D hai điểm cố định thuộc (w1) (w2) cho P thuộc tia đối tia DC tia BD đoạn AC cắt X, điểm y thuộc (w1) cho đường thẳng PY song song với đường thẳng BD, điểm Z thuộc (w2) cho đường thẳng PZ song song với đường thẳng AC Gọi I J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABQ CDQ a) chứng minh đường thẳng IJ vng góc với đường thẳng XQ b) chứng minh đường thẳng YZ qua điểm cố định d thay đổi Câu (4 điểm) Cho số nguyên tố p ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x < y < z < p Chứng minh x �y �z (mod p) x  y  z chia hết cho x + y + z Câu (4 điểm) Xét số thực dương x,y z thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P x y y z z x    x y z Câu (4 điểm) Có 42 học sinh tham iga buổi giao lưu Biết học sinh bất kỳ, có cặp đơi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với Kí hiệu k số cặp đơi Tìm giá trị nhỏ cuả k     http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án 2 � (1) �y  xy  y   x  x  Câu Xét hệ phương trình � 2 �  x  y   x  x  y  (2) Điều kiện xác định: x ≤ � y2  x 1 2 Ta có phương trình (1) �  y  x    y  x    � �2 y  x 8 � Vì x ≤ nên x – < 0, khơng thể xảy trường hợp y  x  Vậy y  x  Thay vào (2) ta có:  x  x   x  x  x  (điều kiện x ≥ - 2) � x3  x  x    x     x  �  x _   x    x  1  x2 x2  0 x   1  x 1 � � �  x  2 �   x    x  1  � x   1  x � � 1 1� � �  x  2 �   �  x    x  1   x   1  x 3� � � �  x  2 �  x    x  1  � �  x 1 x22  � �  x    x  1 �  x  2  � x22 � �  x    x  1  (Điều kiện x �2)     3 x  1   3 x  1   x 1   x 1   x 1 Từ ta thu nghiệm hệ cho  1;0  2; 2;  � � 3 x 2 � �  � � 3 x 2 � �   Câu 2.a) Vì ACQP PDQB tứ giác nội tiếp nên ta có: � �  CPQ �  DPQ �  DBQ �  XBQ � nên AXQB nội tiếp (1) XAQ  CAQ Vì AXQB BPDQ tứ giác nội tiếp nên ta có: � � �  CDQ � nên tứ giác XDQC nội tiếp (2) QXC ABQ  PBQ Từu (2) suy QX trục thẳng phương hai đường tròng (ABQ) avf (CDQ) IJ  XQ b) Ta chứn gminh đường thẳng YZ qua điểm Q cố định đường thẳng qua điểm X �  DCX �  PCA � Vì XDQC nội tiếp nên DQX (3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �  CPZ �  DPZ � Từ PZ || AC nên PCA �  DPZ � Từ (3) (4) suy DQX (4) �  DQZ �  1800 , DQX �  DPZ �  1800 hay Z, Q, X thẳng hàng Mặt khác PDQZ nội tieeso nên DPZ Chứng minh tương tự ta Y, Q, X thẳng hàng Từ suy điều phải chứng minh Câu Từ giả thiết ta có y  x �0 (modulo p) 2 Suy  y  x   y  yx  x  �0 (modulo p) (1) Ta có y – xx số nguyên dương bé p p số nguyên tố nên y – x p nguyên tố Do (1) ta x  y  z �0 (modulo p) (2) Chứng minh tương tự ta có: y  yz  z �0 (modulo p) (3) Và z  zx  x �0 (modulo p) (4) Từ (2) (3) ta có: z  x  yx  xy �0 (modulo p) Suy  z  x   x  y  z  �0 (modulo p) Do x + y + z chia hết cho p, mà < x + y + x< 3p � x + y + z p 2p (5) �xy (modulo p) Sử dụng (2) ta có (x + y) , kết hợp với x + y � z (modulo p) ta z �xy (modulo p) , thay trở lại (2) ta có x  y  z �0(modulo p) (6) Nếu x + y + z = p (6) có x  y  z chia hết cho x + y + z Nếu x + y + z = 2p (6) có x  y  z chia hết cho x + y + z Câu 4.Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có 1 x  y � y z z x xyz P xyz x y z Cũng theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta     4 1 1 �1 � �1 � �1 � xyz    �1313 xyz � � � � � �  1313 21 x y z �4 x � �4 y � �4 z � xyz  xyz  �x  y  z � Và xyz �� �� Suy P ≥ 13 � � Mà khí x = y = z = P = 13, suy giá trị P 13 Câu Ta giải thích tốn tổng quát: Bài toán Cho m số gnuyeen dương lớn Có 2m học sinh tham gia buổi giao lưu Biết học sinh bất kỳ, có cặp đơi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với Kí hiệu k số cặp đơi Tìm giá trị nhỏ k Lời giải Với số nguyên dương m > 1, rõ ràng tồn giá trị nhỏ k, ta kí hiệu giá trị k(m) Ta thấy k(2) = Bây giả sử m > Xét buổi giao lưu gồm 2m học sinh cho cớ học sinh bất kỳ, có cặp đơi gồm hai học sinh có trao đổi học tập với k(m) Tồn hai học sinh (kí hiệu A B) không trao đổi học tập với nhau, loại A B khỏi buổi giao lưu ta có buổi giao lưu gồm 2(m – 1) học sinh mà học sinh bất kỳ, có cặp đơi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với Số cặp dôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với buổi liên hoan khơng k(m – 1), mà học sinh buổi liên hoan trao đổi kinh nghiệm học tập với A B (vì A khơng trao đổi học tập với nhau) Suy k(m)≥k(m – 1) + 2(m – 1) Do k(m) ≥ m(m – 1) với số nguyên dương m > (1) Với số nguyên dương m > , ta xét mội buổi giao lưu gồm 2m học sinh sau: Các học sinh buổi giao lưu thuộc hai nhốm (gọi X Y) Nhóm X gồm m học sinh có trao đổi học tập đơi một, nhóm Y gồm m học sinh có trao đổi học tập đơi Mỗi học sinh nhóm khơng có trao đổi học tập với học sinh nhóm Rõ ràng buổi giao lưu này, học sinh bất kỳ, có cặp đơi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với số cặp đôi trao đổi học tập với m(m – 1) Suy k(m) ≤ m(m – 1) với số nguyên dương m > (2) Từ (1) (2) suy k(m) = m(m – 1) với số nguyên dương m > Trở lại tốn ban đầu Theo ta có giá trị k bé k(21) = 420 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... 2(m – 1) học sinh mà học sinh bất kỳ, có cặp đôi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với Số cặp dơi gồm hai học. .. nghiệm học tập với buổi liên hoan khơng k(m – 1), mà học sinh buổi liên hoan trao đổi kinh nghiệm học tập với A B (vì A khơng trao đổi học tập với nhau) Suy k(m)≥k(m – 1) + 2(m – 1) Do k(m) ≥ m(m –. .. học tập với học sinh nhóm Rõ ràng buổi giao lưu này, học sinh bất kỳ, có cặp đơi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với số cặp đôi trao đổi học tập với m(m – 1) Suy k(m) ≤ m(m –