Đề thi HSG khối 10 khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm học 2015 – 2016

(Đề thi HSG khối 10 khu vực Duyên hải Đồng Bắc Bộ năm học 2015 – 2016) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) 7 x + y + xy ( x − y ) = 12 x − x + Giải hệ phương trình  2  x + − − y = Câu (4 điểm) Cho đường tròn (O) dây AB Các đường tròn (O1) (O2) nằm phía đường thẳng AB, tiếp xúc với ại T đồng thời tiếp xúc với AB tiếp xúc với đường tròn (O) Tiếp tuyến chung T đường (O1) (O2) cắt đường tròn (O) C (với C thuộc nửa mặt phẳng với bờ đường thẳng AB có chứa hai đường tròn (O1) (O2)) Chứng minh T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (4 điểm) Cho m n số nguyên dương thỏa mãn 2016m +1 ước 2016n +1 Chứng minh m ước n Câu (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh rằng: + b c a 1 1 + + ≥ + + ÷ + a b c a b c Câu (4 điểm) Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn 64 tập X 1, X2, X64 tập X (mỗi tập chứa nhiều 1008 phần tử) Chứng minh tồn tập A X có số phần tử khơng vượt q mà A ∩ X ≠ ∅, với i = 1, 64 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án 7 x + y + xy ( x − y ) = 12 x − x + (1) Câu Giải hệ phương trình  2  x + − − y = (2) Điều kiện xác định: −3 ≤ y ≤ Phương trình (1) ⇔ ( x − y ) = ( x − 1) ⇔ y = − x (3) 3 Thế (3) vào (2) ta được: x + − + x − x = ⇒ x + − + x − x ⇒ ( x + 3) = x + + x + x − x ⇒ ( x − 1) − x ( )  x  + x − x − = ⇒ ( x − 1)  + =0 + x − x2 +    x −1 = ⇒  x 2+ =0  + 2x − x2 + Ta có hai trường hợp: *TH1:Nếu x = y = Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn x = ta có phương trình *TH2: Nếu + + x − x2 + − x − ≥ + 2x − x2 = − x − ⇔  (vô nghiệm) 5 x + x + = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 1;0 ) Câu - Gọi E, F, M, N tiếp điểm (O1), (O2) với đường tròn (O) AB hình vẽ Gọi K giao điểm EF với (O) Ta có điểm E, O1, O thẳng hàng; điểm M, O2, O thẳng hàng · · · FE ⇒ O F || OK ⇒ OK ⊥ AB - Hơn EKO = OEF =O 1 Vậy K điểm cung AB Như EF qua điểm K cung AB - Chứng minh tương tự ta có MN qua K http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word · · - Từ MEF nên tứ giác EFNM tứ giác nội tiếp, = MNB PK/ (O1 ) = KF KE = KN KM = PK/( O2 ) Vậy điểm K nằm trục đẳng phương (O1), (O2) Suy ba điểm C, T, K thẳng hàng Từ điểm T nằm phân giác ·ACB (1) - Ta có cặp tam giác đồng dạng ∆KAF ∆KEA ; ∆KBN ∆KMB Từ KA2 = KF KE = KT ⇒ KA = KT Ta lại có KA = KB, suy KA = KB = KT Vì tam giác KAT KBT cân K · · · · Do CAT = ·ATK − ·ACT = TAK − BAK = TAB · Suy AT phân giác CAB (2) Từ (1) (2) suy T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (đpcm) Câu Đặt n = mq + r ( ≤ r ≤ m ) ta viết 2016n + = 2016mq + r + = 2016mq.2016r + Ta xét trường hợp sau: n m q r r *TH 1: Nếu q số lẻ 2016 + = ( 2016 ) + 1 2016 + − 2016   Kết hợp với (2016m +1) | (2016n +1) thu ( 2016m + 1) | ( 2016n + 1) ⇒ r = ⇒ m | n n m q r r *TH2: Nếu q chẵn 2016 + = ( 2016 ) − 1 2016 + 2016 +   m m Kết hợp với (2016m +1) | (2016n +1) ( 2016 + 1) | ( 2016 ) − 1 ta thu   ( 2016 + 1) | ( 2016r + 1) (vơ lí ≤ r ≤ m) Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 1 Đặt x = , y = , z ta có x, y, z số dương xy + yz + zx = a b c x2 y2 z 2 + ≥ ( x + y + z) Ta cần chứng minh − + + y z x m 2 x2 y z ( x + y + z ) ( x + y + z ) Trước hết ta chứng minh + + ≥ (1) y z x xy + yz + zx Thật vậy, ta có: x2 ⇔ xy + yz + zx ( ) ∑ ≥ ( x + y + z ) ( x2 + y2 + z ) (1) xyz y ⇔ x3 + y + z + x z + z y + y x + ∑ xyz x3 z ≥ x3 + y + z + ∑ x y y xyz x3 z y x z y + + ≥ xz + zy + yx (2) y z x Theo bất đẳng thưc AM – GM ta có x3 z y x y3 x z3 y x3 z z y + ≥ x y; + ≥ y z; + ≥ 2z2 x y z z x y x Cộng theo vế ba bất đẳng thức suy bất đẳng thức (2) chứng minh ⇔ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh x2 y z − + + + ≥ − + ( x + y + z ) ( x2 + y2 + z ) Từ (1) suy y z x 2 Vì ta cần chứng minh − + ( x + y + z ) ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) ⇔ ( x + y + z ) ( x2 + y2 + z ) ≥ x2 + y + z −1 ⇔ ( x + y + z ) ( x + y + z − 1) ≥ − (3) Do x + y + z ≥ xy + yz + zx = x + y + z ≥ ( xy + yz + zx ) = nên ta có bất đẳng thức (3) chứng minh Từ ta có đpcm Câu Tổng số phần tử 64 tập lớn 64.1008 = 32.2016 Vì tồn phần tử a tập X thuộc 33 tập con, giả sử X1, X2, X33 Xét 31 tập lại, lí luận tương tự suy tồn phần tử b tập X thuộc 16 tập con, giả sử X34, X35, X49 Xét 15 tập lại, lí luận tương tự suy tồn phần tử c tập X thuộc tập con, giả sử X50, X51, X57 Xét tập lại, lí luận tương tự suy tồn phần tử d tập X thuộc tập con, giả sử X58, X59, X60, X61 Xét tập lại, lí luận tương tự suy tồn phần tử e tập X thuộc tập con, giả sử X62, X63 Với tập X64 lại ta lấy phần tử f Như tập A chứa phần tử a, b, c, d, e, f thỏa mãn toán Suy điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... ta viết 2016n + = 2016mq + r + = 2016mq.2016r + Ta xét trường hợp sau: n m q r r *TH 1: Nếu q số lẻ 2016 + = ( 2016 ) + 1 2016 + − 2016   Kết hợp với (2016m +1) | (2016n +1) thu ( 2016m +... 1) | ( 2016n + 1) ⇒ r = ⇒ m | n n m q r r *TH2: Nếu q chẵn 2016 + = ( 2016 ) − 1 2016 + 2016 +   m m Kết hợp với (2016m +1) | (2016n +1) ( 2016 + 1) | ( 2016 ) − 1 ta thu   ( 2016 +... AM – GM ta có x3 z y x y3 x z3 y x3 z z y + ≥ x y; + ≥ y z; + ≥ 2z2 x y z z x y x Cộng theo vế ba bất đẳng thức suy bất đẳng thức (2) chứng minh ⇔ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi –