KỲ THI CH N H C SINH GI I Ọ Ọ Ỏ KHU V C DUYÊN H I VÀ Đ NG B NG B C B Ự Ả Ồ Ằ Ắ Ộ
NĂM H C 2013 - 2014 Ọ
Đ THI MÔN: TOÁN H C L P 10 Ề Ọ Ớ
Th i gian 180 phút (không k th i gian giao đ ) ờ ể ờ ề
Ngày thi: 19/04/2014 (Đ thi co 01 trang) ề
Câu 1 (4 đi m ể ):
Gi i ph ng trình sau trên t p s th c ả ươ ậ ố ự
.
Câu 2 (4 đi m ể ):
Cho tam giác ( ) G i ọ là trung đi m c a ể ủ , vuông góc v i ớ
t i ạ , vuông góc v i ớ t i ạ Gi s đ ng th ng ả ử ườ ẳ c t đ ng ắ ườ
th ng ẳ t i ạ Ch ng minh r ng ứ ằ , trong đó là tr c tâm tam giác ự
Bài 3 (4 đi m ể ): Cho hàm s ố ( là t p s th c) th a mãn ậ ố ự ỏ
v i m i ớ ọ Ch ng minh r ng t n t i 3 s th c phân bi t ứ ằ ồ ạ ố ự ệ
Bài 4 (4 đi m) ể :
Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ đ b t đ ng th c sau đúng v i m i giá tr ể ấ ẳ ứ ớ ọ ị :
Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để chia hết cho
-HẾT -Đ CHÍNH TH C Ề Ứ
Trang 2KỲ THI CH N H C SINH GI I Ọ Ọ Ỏ KHU V C DUYÊN H I VÀ Đ NG B NG B C B Ự Ả Ồ Ằ Ắ Ộ
NĂM H C 2013 - 2014 Ọ ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN H C L P 10 Ọ Ớ
Câu 1 (4 đi m ể ):
Gi i ph ng trình sau trên t p s th cả ươ ậ ố ự
(Qu c h c Hu ) ố ọ ế
Đi u ki n: ề ệ
1,0
1,0
Th l i th a mãn V y nghi m ph ng trình là ử ạ ỏ ậ ệ ươ ho c ặ
1,0
Câu 2 (4 đi m ể ):
Cho tam giác ( ) G i ọ là trung đi m c a ể ủ , vuông góc v i ớ t iạ , vuông góc v i ớ t i ạ Gi s đ ng th ng ả ử ườ ẳ c t đ ng th ng ắ ườ ẳ t i ạ
Ch ng minh r ng ứ ằ , trong đó là tr c tâm tam giác ự
(B c Ninh) ắ
Đ S 1 Ề Ố
Trang 3G i ọ t i ạ Khi đó đ ng quy nên ồ là hàng đi m đi u hòa (ể ề
)
Xét hai đ ng tròn ngo i ti p hai tam giác ườ ạ ế và ngo i ti p t giác ạ ế ứ , tâm c a haiủ
đ ng tròn này đ u n m trên ườ ề ằ
Nh ng ư và nên n m trên tr c đ ng ph ng c aằ ụ ẳ ươ ủ hai đ ng tròn nói trên.ườ
Do đó ta có (ĐPCM)
Bài 3 (4 đi m ể ): Cho hàm s ố ( là t p s th c) th a mãn ậ ố ự ỏ
v i m i ớ ọ Ch ng minh r ng t n t i 3 s th c phân bi t ứ ằ ồ ạ ố ự ệ sao cho
(Vĩnh Phúc)
D th y ễ ấ là đ n ánh nên t ơ ừ suy ra cũng là đ n ánh.ơ 1,0
G i ọ là m t đi m c đ nh c a hàm ộ ể ố ị ủ 1,0
Ta có , suy ra cũng là m t đi m c đ nh c a hàmộ ể ố ị ủ
1,0
là m t song ánh trên t p ộ ậ nên
T đó ta có đi u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứ
1,0
Q
H B
C
A
T
D P
M
Trang 4Bài 4 (4 đi m) ể :
Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ đ b t đ ng th c sau đúng v i m i giá tr ể ấ ẳ ứ ớ ọ ị :
(Lê Quí Đôn - Đà N ng) ẵ
Vì b t đ ng th c đúng v i m i ấ ẳ ứ ớ ọ giá tr ị nên ph i đúng v iả ớ
Ta ch ng minh ứ là gtln
1,0
(1)
1,0
Áp d ng bđt AM – GM ta cóụ
M t khác ặ
(3)
T (2) và (3) suy ra (1) đ c ch ng minh ừ ượ ứ
V y s ậ ố k l n nh t ớ ấ
1,0
(Nam Định)
Xét với k, t là các số tự nhiên và t là số lẻ.
Đặt
Do t là số lẻ nên
Ta có
a chia 4 dư 1 nên chia 4 dư 2
Do đó
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của n cần tìm là