KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04/2014 Câu 1(4 điểm): Giải hệ phương trình: Câu 2 (4 điểm): Cho dãy : . a) Chứng minh dãy hội tụ và tính . b) Chứng minh . Câu 3 (4 điểm): Gọi là ba đường phân giác trong của tam giác vuông ở . Đoạn thẳng cắt tại . Đường thẳng qua song song với cắt lần lượt ở . Chứng minh rằng: Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các hàm số thoả mãn Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100. HẾT 3 3 2x 2y 2x y 2xy 1 1 3y 1 8x 2y 1 x 0 − + + + + = + = − − > 1 ( ) n n a ∞ = 2 1 1 5 10 1; 1 5 n n n n a a a a n a + − + = = ∀ ≥ − ( ) n a lim n a 1 2 5 5 1 2 n a a a n n + + + − < ∀ ≥ , ,AD BE CF ABC A AD EF KK BC ,AB AC ,M N ( ) 2 2 . 2 MN AB AC − ≥ + :f →¡ ¡ ( ) ( ) ( ) 2 2 , , (1)f x y xf x yf y x y+ = + ∀ ∈ ¡ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC LỚP 11 Câu 1(4 điểm): Giải hệ phương trình: (Quảng Trị) (1) ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0 (1) Thay vào (2): (3) Hàm số f(t) = t 3 + t đồng biến trên R (3) NX: x >1 không là nghiệm của phương trình Xét 01: Đặt x = cos với Ta có: (k) Do Vậy hệ có nghiệm 1đ 1đ 1đ 1đ Câu 2 (4 điểm): Cho dãy : . a) Chứng minh dãy hội tụ và tính . b) Chứng minh . (Hải Phòng) a) Bằng phương pháp chứng minh 1,0 3 3 2x 2y 2x y 2xy 1 1 3y 1 8x 2y 1 x 0 − + + + + = + = − − > 3 3 2 2 2 2 1 1 (1) 3 1 8 2 1 (2) x y x y xy y x y − + + + + = + = − − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 1 0x y x y+ − + + + + = ≥ 2 1 0 1 0 x y + > ⇒ + ≥ ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 0x y x y⇔ + − + + + + = 2 1 1 0x y⇔ + − + = 2y x ⇔ = 3 3 6 1 8 4 1x x x+ = − − ( ) ( ) 3 3 6 1 6 1 2 2x x x x⇔ + + + = + 3 6 1 2x x⇔ + = 3 1 4 3 2 x x⇔ − = x< ≤ α 0 2 π α ≤ < 1 cos3 2 α = 2 9 3 2 9 3 k k π π α π π α = + ⇔ = − + Z∈ 0 2 π α ≤ ≤ 9 π α ⇒ = cos ;2cos 9 9 π π ÷ 1 ( ) n n a ∞ = 2 1 1 5 10 1; 1 5 n n n n a a a a n a + − + = = ∀ ≥ − ( ) n a lim n a 1 2 5 5 1 2 n a a a n n + + + − < ∀ ≥ 3 1 2 n a n≤ ≤ ∀ ĐỀ SỐ 1 qui nạp ta có: . Đặt A= và xét hàm . Suy ra , như vậy nghịch biến trên đoạn Dẫn đến . 1,0 Kết hợp công thức xác định dãy ta được Vậy =. 1,0 b) Nhận xét: thì . Dẫn đến (1) Như vậy bất đẳng thức đúng với . Trường hợp , chú ý , kết hợp với (1) thu được: . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 1,0 Câu 3 (4 điểm): Gọi là ba đường phân giác trong của tam giác vuông ở . Đoạn thẳng cắt tại . Đường thẳng qua song song với cắt lần lượt ở . Chứng minh rằng: (Chu Văn An-Hà Nội) Đặt ta có suy ra . 1,0 5 5 2 − 2 5 10 10 ( ) ( 5) 5 5 x x f x x x x x − + = = − ≠ − − ( ) 2 10 3 '( ) 1 0 [1; ] 2 5 f x x x = − < ∀ ∈ − ( )f x 1 [ ;1]. 2 1 3 5 2 1 2 4 6 2 k k a a a a A a a a a A − < < < < < < > > > > > > 2 1 2 lim lim k k a b A a c A − ∃ = ≤ ⇒ ∃ = ≥ 2 2 5 10 5 5 5 2 5 10 5 c c b c b c b b c b − + = − − ⇔ = = − + = − lim n a 5 5 2 − 5 5 [1; ) 2 t − ∀ ∈ ( ) 5 5t f t+ < − 2 1 2 5 5 k k a a − + < − 1k∀ ≥ 1 2 2 1 2 5 5 2 2 k k a a a a k − − ⇒ + + + + < 2n k= 2 1n k= + 2 1 5 5 2 k a + − < 1 2 2 1 2 2 1 5 5 (2 1) 2 k k k a a a a a k − + − + + + + + < + , ,AD BE CF ABC A AD EF KK BC ,AB AC ,M N ( ) 2 2 . 2 MN AB AC − ≥ + , ,BC a CA b AB c= = = ( ) 2 2 2 2 2 b c a b c + = + ≥ 2 b c a + ≤ Dùng tính chất đường phân giác tính được . 0,5 Dùng phương pháp diện tích, hoặc công thức đường phân giác trong tính được . 1,0 Từ đó . 1,0 Suy ra: . 0,5 Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các hàm số thoả mãn (Thái Bình) Đáp án: Cho , từ suy ra Cho , từ suy ra . Do đó (1) trở thành: thay bởi từ ta được : , chứng tỏ là hàm số lẻ. Do đó với mọi ta có Với mọi ta có Kết hợp và ta được . tínhtheo hai cách. Ta có Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được một số số có tổng bằng 100. (Yên Bái) Đáp án: Nếu tất cả các số bằng nhau thì tất cả các số là 2. Khi đó ta lấy 50 số 2 sẽ có tổng là 100. 1,0 Giả sử ta xét 100 số có dạng 1,0 , bc bc AF AE a b a c = = + + 2 2 . 2 , 2 bc AE AF bc AD AK b c AE AF a b c = = = + + + + 2 2 AK b c MN b c AD a b c a a b c + + = → = + + + + ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 MN b c b c AB AC b c a − = + ≥ + = + + + + :f →¡ ¡ ( ) ( ) ( ) 2 2 , , (1)f x y xf x yf y x y+ = + ∀ ∈¡ 0x = ( ) 1 ( ) ( ) 2 ,f y yf y y= ∀ ∈¡ 0y = ( ) 1 ( ) ( ) 2 ,f x xf x x= ∀ ∈¡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , , , , 0 *f x y f x f y x y f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈ ⇒ + = + ∀ ≥¡ y y− ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , f x y xf x yf y yf y yf y y f x f x x + = − − ⇒ − − = ∀ ∈ ⇒ − = − ∀ ∈¡ ¡ ( ) ( ) ( ) ( ) , ,yf y yf y y f x f x x− − = ∀ ∈ ⇒ − = − ∀ ∈¡ ¡ f 0, 0x y≥ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 0 ** f x y f x y f x f y f x f y f x f x y f y f x y y f x y f y f x y f x f y x y − = + − = + − = − ⇒ = − + ⇒ − + = − + ⇒ + = + ∀ ≥ ∀ ≤ 0, 0x y≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ***f x y f x y f x f y f x f y f x f y+ = − − − = − − + − = − − − = + ( ) ( ) * , ** ,(***) ( ) ( ) ( ) , ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈¡ ( ) ( ) 2 1f x + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 , , , f x f x x x f x f x f x f x f x f xf x f x f f x xf x f x ax x a + = + + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + + ⇔ = ∀ ∈ ⇔ = ∀ ∈ ∈ ¡ ¡ ¡ 1 2 a a≠ 1 2 1 2 1 2 3 1 2 99 0 a ,a ,a a ,a a a , ,a a a 200< + + + + + + < Nếu có một số chia hết cho 100 thì số đó bằng 100 vì số đó bé hơn 200. 1,0 Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì trong 100 số phải có hai số đồng dư trong phép chia cho 100 (vì các số dư nhận giá trị từ 1 đến 99) suy ra hiệu của chúng chia hết cho 100 và hiệu hai số đó chính là tổng cần tìm 1,0 HẾT . KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/04 /2014 Câu. (1)f x y xf x yf y x y+ = + ∀ ∈ ¡ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC LỚP 11 Câu 1(4 điểm): Giải hệ phương trình:. điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100. HẾT 3 3 2x 2y 2x y 2xy 1 1 3y 1 8x 2y 1 x