Tải Đề thi học sinh giỏi lớp 11 khu vực Duyên Hải và đồng bằng Bắc Bộ năm 2013 - 2014 - Môn: Toán - có đáp án

[r]

KỲ THI CH N H C SINH GI IỌ Ọ Ỏ

KHU V C DUYÊN H I VÀ Đ NG B NG B C BỰ Ả Ồ Ằ Ắ Ộ NĂM H C 2013 - 2014Ọ

Đ THI MƠN: TỐN H C L P 11Ề Ọ Ớ

Th i gian 180 phút (không k th i gian giao đ )ờ ể ờ ề Ngày thi: 19/04/2014

Câu 1(4 mể ):

3

2x 2y 2x y 2xy 1

3y 8x 2y 1

x 0

      

 

   

   

 Gi i h phả ệ ương trình:

1 ( )an n



2

1

5 10

1; 1

5

n n

n

n

a a

a a n

a



 

   

 Câu (4 mể ): Cho dãy : ( )a limn ana) Ch ng minh dãy h i t tính ứ ộ ụ

1 5 5 1

2

n

a a a

n n

   

  

b) Ch ng minh ứ

, ,

AD BE CF ABC A AD EF K K BC AB AC, M N, Câu (4 mể ): G i ba đọ ường phân giác c a tam giác vuông Đo n th ng c t t i Đủ ẳ ắ ường th ng qua song song v i c tẳ ắ l n lầ ượ ởt Ch ng minh r ng:ứ ằ

 

2

MN   AB AC

:

f  Câu 4(4 m)ể : Tìm t t c hàm s tho mãnấ ả ố ả

 2    , , (1)

f x y xf x yf y x y 

Câu (4 m)ể : Cho 100 s t nhiên không l n h n 100 có t ng b ng 200 Ch ng minh r ngố ự ổ ằ ứ ằ t s có th ch n đừ ố ể ọ ược nh t m t b s có t ng b ng 100.ấ ộ ộ ố ổ ằ

H T Ế

KỲ THI CH N H C SINH GI IỌ Ọ Ỏ

KHU V C DUYÊN H I VÀ Đ NG B NG B C BỰ Ả Ồ Ằ Ắ Ộ NĂM H C 2013 - 2014Ọ

ĐÁP ÁN MƠN TỐN H C L P 11Ọ Ớ Câu 1(4 mể ):

3

2x 2y 2x y 2xy 1

3y 8x 2y 1

x 0

      

 

   

   

 Gi i h phả ệ ương trình:

(Qu ng Tr )ả ị

3

2 2 2 2 1 (1)

3 1 8 2 1 (2)

x y x y xy

y x y

      

 

   

 

 2x1 2y1 2x1 y1 0(1)



2 1 0

1 0

x y

  

 

 

 ĐK: (2x + 1)(y + 1) Mà x >

 2x 1 y 1  2x 1 2 y 1 0

         2x 1 y 1 0

2

y x

  (1)

3 6x 1 8x 4x 1

       

3

6x 1 6x 1 2x 2x

      Thay vào (2): (3) Hàm s f(t) = tố 3 + t đ ng bi n Rồ ế

3 6x 1 2x

  

3 1

4 3

2

x x

  

(3) NX: x >1 không nghi m c a phệ ủ ương trình

x

  0 2

 

  cos3 1

2  

2

9 3

2

9 3

k k

 



 

 

 

  

  

 Z 0 2

   

9

 

 

Xét 01: Đ t x = cos v i Ta có: (k) Do ặ

cos ;2cos

9 9

 

 

 

 V y h có nghi m ậ ệ ệ

1đ

1đ

1đ

1đ

1 ( )an n

 1 5 10 1; 1 5 n n n n a a

a a n

a



 

   

 Câu (4 mể ): Cho dãy : ( )a limn ana) Ch ng minh dãy h i t tính ứ ộ ụ

1 5 5 1

2

n

a a a

n n

   

  

b) Ch ng minh ứ

(H i Phòng)ả 3

1an  2n

a) B ng phằ ương pháp ch ng minh qui n p ta có: ứ

2 5 10 10

( ) ( 5)

5 5

x x

f x x x

x x         5 5 2 

Đ t A= xét hàm ặ

( )

f x  2

10 3

'( ) 1 0 [1; 2]

5

f x x

x

    

 Suy , nh v y ngh ch bi n

ư ậ ị ế

1 [ 2;1].

đo n

1,0

1

2

k k

a a a a A

a a a a A

                2 lim lim k k

a b A

a c A



  

  

  

 D n đ n ẫ ế 1,0

K t h p công th c xác đ nh dãy ta đế ợ ứ ị ược

2 5 10 5 5 5 2 5 10 5 c c b

c b c

b b c b                    liman

5 5

2 

V y =.ậ

1,0

5 5

[1; )

2

t 

  t f t( ) 5  5

b) Nh n xét:ậ

2k 2k 5 5

a  a    k 1D n đ n ẫ ế

1 2

5 5

2

2

k k

a a a  a k 

     

(1)

2

n kNh v y b t đ ng th c v i ư ậ ấ ẳ ứ ớ

2 1

n k 

5 5

2

k

a   

Trường h p , ý , k t h p v i (1) thu đợ ế ợ ược:

1 2 2

5 5

(2 1)

2

k k k

a a  a  a a   k  

V y b t đ ng th c đậ ấ ẳ ứ ược ch ng minh.ứ

, ,

AD BE CF ABC A AD EF K K BC AB AC, M N, Câu (4 mể ): G i ba đọ ường phân giác c a tam giác vuông Đo n th ng c t t i Đủ ẳ ắ ường th ng qua song song v i c tẳ ắ l n lầ ượ ởt Ch ng minh r ng:ứ ằ

 

2

MN   AB AC

(Chu Văn An-Hà N i)ộ

, ,

BC a CA b AB c  

 2

2 2

2

b c

a b c   b c

a

 

Đ t ta có suy ặ

1,0

,

bc bc

AF AE

a b a c

 

  Dùng tính ch t đấ ường phân giác tính được

0,5 Dùng phương pháp di n tích, ho c cơng th c đệ ặ ứ ường phân giác tính

2

,

2

bc AE AF bc

AD AK

b c AE AF a b c

  

    .

1,0

2

AK b c MN b c

AD a b c a a b c

 

  

    T ừ

1,0

 

1 2

( ) ( )

2

2

2

MN b c b c AB AC

b c a



     

 



Suy ra:

0,5

:

f  Câu 4(4 m)ể : Tìm t t c hàm s tho mãnấ ả ố ả

 2    , , (1)

f x y xf x yf y x y 

(Thái Bình)

Đáp án:

0

x   1 f y 2 yf y ,  y Cho , t suy ừ

y   1 f x 2 xf x ,  x

Do (1) tr thành:ở

 2  2  2 , ,      , , 0 * 

f x y f x f y x y f x y f x  f y x y

y y  1 thay b i t ta đở ừ ược :

     

       

2

, ,

f x y xf x yf y

yf y yf y y f x f x x

   

         

   ,    ,

yf y yf y y f x f x x

         f x0,y0, ch ng t hàm s l

ứ ỏ ố ẻ Do

đó v i m i ta cóớ ọ

                  

 

     

     , 0,  **

f x y f x y f x f y f x f y

f x f x y f y

f x y y f x y f y

f x y f x f y x y

        

   

     

       

0,

x y V i m i ta cóớ ọ

                  ***

f x y  f x y  f x  f  y   f x  f y f x  f y

   * , ** , (***) f x y   f x  f y ,x y,  K t h p ta đế ợ ược

 

 2

f x 

 

   

                     

     

2 2

2

1

1

1

1 ,

, ,

f x f x x

x f x f x f x f

x f x f xf x f x f

f x xf x

f x ax x a

   

     

     

   

    



  tínhtheo hai cách Ta có

Câu (4 m)ể : Cho 100 s t nhiên không l n h n 100 có t ng b ng 200 Ch ng minh r ngố ự ổ ằ ứ ằ t s có th ch n đừ ố ể ọ ược m t s s có t ng b ng 100.ộ ố ố ổ ằ

(Yên Bái)

Đáp án:

N u t t c s b ng t t c s Khi ta l y 50 s cóế ấ ả ố ằ ấ ả ố ấ ố

t ng 100.ổ 1,0

1

a a Gi s ta xét 100 s có d ngả ử ố ạ

1 2 99

0 a ,a ,a a ,a a a , ,a a  a 200 1,0 N u có m t s chia h t cho 100 s b ng 100 s bé h n 200.ế ộ ố ế ố ằ ố 1,0 N u khơng có s chia h t cho 100 100 s ph i có hai s đ ng dế ố ế ố ả ố

trong phép chia cho 100 (vì s d nh n giá tr t đ n 99) suy hi u c aố ậ ị ế ệ ủ chúng chia h t cho 100 hi u hai s t ng c n tìmế ệ ố ổ ầ

1,0