SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC *** KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2015 – 2016 Mơn thi: Tốn - Khối 10 ( Thời gian làm bài: 120 phút) Câu (5.0 điểm) Cho hàm số y x m 1 x Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 4 Tìm m để y với x 1; Câu (8.0 điểm) Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau: x 5 x 3 x 3x 2( x 1) x 7 x x y 1 y x x 1 3 2 x x y y 1 Câu (2.0 điểm) Tam giác ABC có đặc điểm : sin A sin B 2sin C cos B cosC Câu (2.0 điểm) Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D trung điểm MN, NP, PQ, QM Chứng minh rằng: MB NC PD QA 0 Câu (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa đường cao từ B đường trung tuyến từ C có phương trình x + y + = ; 2x - y - = Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác ABC Câu (1.0 điểm) Biết a, b, c ba số thực dương, thỏa mãn a b c 3abc chứng minh rằng: 1 a b3 c …………………Hết………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh ;Số báo danh… ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10 Năm Học 2015- 2016 Câu Đáp án Cho hàm số y x m 1 x (5đ) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 4 xét phương trình: x m 1 x 0 (*) để đồ thị hàm số cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 4 trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt ' x1 ; x2 thỏa mãn x1 ; x2 s 0 p 0 m 1 0 2 m 1 0 0 m 1 x1 x2 2(m 1) m m 1 ; theo định lí viet ta có: x1.x2 4 m x1 x2 4 x1 x2 x1.x2 16 2(m 1) 16 m 5 (TM) Tìm m để y với x 1; Điểm 3.0 1.0 1.0 1.0 2.0 để y với x 1; đồ thị hàm số nằm trục hoành với x 1; ' y (1) y (2) m m 3 2m 4m m m 3 m m 2 m x 5 x 3 x 3x (8đ) Đk : x 3x 0 pt x 3x x 3x 10 0 đặt t x 3x ( đk t 0 ) Ta có phương trình: t 3t 10 0 t 2 kết hợp với điều kiện ta t = t x 1 2 với t =2 x 3x 2 x 3x 0 (TM) x 2( x 1) x 7 x Đk x > bpt x 1 x x x 3x 1.0 1.0 3.0 0.5 0.5 1.0 1.0 3.0 1.0 x > nên vế dương, x 6 bpt 49( x 2) x 24 x 16 x 73x 114 0 19 x 19 2x tập nghiệm bpt là: kết hợp với đk ta x 6 2 19 S = ( 2; ) (6; ) x y y x x 3 2 x x y y 1 ( x y x y x ) y ( x 1) 3 hpt x ( x 1) y ( y 1) a 2b 3 a xy x đặt , ta có hệ: b xy y ab 1 1.0 2.0 ( xy x) 2( xy y ) 3 ( xy x)( xy y ) 1 2 (a 1) (a 2) 0 a a 3 a 3a 0 1 b b b a a a a a 1 b 1 b a 1 xy x 1 1 x y với b 1 xy y 1 a với 1 b 1.0 xy x xy x 1 xy y x y x( x ) x y x 0.5 0.5 0.5 0.5 x x 0 (vô nghiệm) y x Tam giác ABC có đặc điểm : (2đ) sin B 2sin C sin A (1) cos B cosC Ta có: (1) b 2c a c b a b c a 2R 2R a b 2c a c b a b c 2R ac 2ab 2ac 2ab a c b a b c a b2 c a b2 c 2c ) ( b) 0 0 c 2b c 2b 1 a b2 c 0 a b c tam giác ABC vuông A c 2b ( 2.0 1.0 0.5 0.5 Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt trung điểm MN, (2đ) NP, PQ, QN Chứng minh rằng: MB NC PD QA 0 Theo quy tắc trung điểm ta có: 1 MB 1 PD MN MP ; PM PQ ; 1 NC NQ NP ; 1 QA QM QN 2.0 1.0 cộng theo vế đẳng thức ta được: 1 QM MN NQ PM QN NP PQ MP 2 1 = QQ PM QQ MP PP 0 = VP 2 VT = 0.5 0.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) (2đ) đường thẳng chứa đường cao từ B đường trung tuyến từ C có phương trình x + y + = ; 2x - y - = Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác ABC Tọa độ điểm B: B đt: x + y + = B(b; -b - 1) b 3 b 1 ; gọi M trung điểm AB ta có M b 1 0 b B(-1; 0) M đt: 2x - y -2 = b Tọa độ điểm C: AC qua A(3; 0) vng góc với đt: x + y + = nên ta có: pt AC: x - y - = x y 0 x y 0 Tọa độ điểm C nghiệm hệ pt: (1đ) x C ( 1; 4) y Biết a, b, c ba số thực dương, thỏa mãn a b c 3abc 1 chứng minh rằng: a b c từ gt ta có: 2.0 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 1 ab bc ca áp dụng bđt TBC- TBN ta có: 1 1 1 3 3 ; tương tự ta có: a b a b ab 1 b3 c bc 1 c a ca 0.5 cộng theo vế bđt ta được: 3 1 3 3 2.VT + 2.VT VT đpcm ab bc ca 8 0.5