(Đề thi HSG khối 10 khu vực Duyên hải Đồng Bắc Bộ năm học 2015 – 2016) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) 7 x y 3xy x y 12 x x Giải hệ phương trình 2 x y 1 Câu (4 điểm) Cho đường tròn (O) dây AB Các đường trịn (O1) (O2) nằm phía đường thẳng AB, tiếp xúc với ại T đồng thời tiếp xúc với AB tiếp xúc với đường tròn (O) Tiếp tuyến chung T đường (O1) (O2) cắt đường tròn (O) C (với C thuộc nửa mặt phẳng với bờ đường thẳng AB có chứa hai đường trịn (O1) (O2)) Chứng minh T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (4 điểm) Cho m n số nguyên dương thỏa mãn 2016m +1 ước 2016n +1 Chứng minh m ước n Câu (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh rằng: b c a 1 1 a b c a b c Câu (4 điểm) Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn 64 tập X 1, X2, X64 tập X (mỗi tập chứa nhiều 1008 phần tử) Chứng minh tồn tập A X có số phần tử khơng vượt q mà A ∩ X ≠ ∅, với i = 1, 64 Đáp Án 7 x y xy x y 12 x x (1) Câu Giải hệ phương trình 2 x y 1 (2) Điều kiện xác định: y 3 3 Phương trình (1) x y x 1 y 1 x (3) Thế (3) vào (2) ta được: x x2 x 1 x x x 0 x x x 3 2 x x x x x x x 0 x 1 0 2x x2 x 0 x 2 0 2x x2 Ta có hai trường hợp: *TH1:Nếu x = y = Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn x 0 ta có phương trình *TH2: Nếu 2x x2 x 0 x x x (vô nghiệm) 5 x x 0 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 1;0 Câu - Gọi E, F, M, N tiếp điểm (O1), (O2) với đường tròn (O) AB hình vẽ Gọi K giao điểm EF với (O) Ta có điểm E, O1, O thẳng hàng; điểm M, O2, O thẳng hàng FE O F || OK OK AB - Hơn EKO OEF O 1 Vậy K điểm cung AB Như EF qua điểm K cung AB - Chứng minh tương tự ta có MN qua K - Từ MEF nên tứ giác EFNM tứ giác nội tiếp, MNB PK/ ( O1 ) KF KE KN KM PK/ ( O2 ) Vậy điểm K nằm trục đẳng phương (O1), (O2) Suy ba điểm C, T, K thẳng hàng Từ điểm T nằm phân giác ACB (1) - Ta có cặp tam giác đồng dạng KAF KEA ; KBN KMB Từ KA2 KF KE KT KA KT Ta lại có KA = KB, suy KA = KB = KT Vì tam giác KAT KBT cân K Do CAT ATK ACT TAK BAK TAB Suy AT phân giác CAB (2) Từ (1) (2) suy T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (đpcm) Câu Đặt n mq r r m ta viết 2016n 2016 mq r 2016mq.2016r Ta xét trường hợp sau: n m q r r *TH 1: Nếu q số lẻ 2016 2016 1 2016 2016 Kết hợp với (2016m +1) | (2016n +1) thu 2016 m 1 | 2016 n 1 r 0 m | n n m q r r *TH2: Nếu q chẵn 2016 2016 1 2016 2016 m m Kết hợp với (2016m +1) | (2016n +1) 2016 1 | 2016 1 ta thu 2016 m 1 | 2016 r 1 (vơ lí r m) Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 1 Đặt x , y , z ta có x, y, z số dương xy yz zx 1 a b c Ta cần chứng minh 3 x2 y z 2 x y z y z x 2 x2 y z x y z x y z Trước hết ta chứng minh (1) y z x xy yz zx Thật vậy, ta có: (1) xy yz zx xyz x2 x y z x y z y x3 y z x z z y y x xyz x3 z x3 y z x y y xyz xz y x z y xz zy yx (2) y z x Theo bất đẳng thưc AM – GM ta có x3 z y x y3x z3 y x3 z z y 2 x y; 2 y z; 2 z x y z z x y x Cộng theo vế ba bất đẳng thức suy bất đẳng thức (2) chứng minh Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Từ (1) suy 3 x2 y z 3 y z x Vì ta cần chứng minh x y z x2 y2 z x y z x y z x y z x y z x y z x2 y z x y z x y z 1 (3) Do x y z xy yz zx 1 x y z xy yz zx nên ta có bất đẳng thức (3) chứng minh Từ ta có đpcm Câu Tổng số phần tử 64 tập lớn 64.1008 = 32.2016 Vì tồn phần tử a tập X thuộc 33 tập con, giả sử X1, X2, X33 Xét 31 tập cịn lại, lí luận tương tự suy tồn phần tử b tập X thuộc 16 tập con, giả sử X34, X35, X49 Xét 15 tập cịn lại, lí luận tương tự suy tồn phần tử c tập X thuộc tập con, giả sử X50, X51, X57 Xét tập cịn lại, lí luận tương tự suy tồn phần tử d tập X thuộc tập con, giả sử X58, X59, X60, X61 Xét tập cịn lại, lí luận tương tự suy tồn phần tử e tập X thuộc tập con, giả sử X62, X63 Với tập X64 lại ta lấy phần tử f Như tập A chứa phần tử a, b, c, d, e, f thỏa mãn toán Suy điều phải chứng minh