Đề thi hsg lớp 10, duyên hải và đồng bằng bắc bộ, năm học 2013 – 2014

(Đề thi HSG lớp 10, Duyên hải Đồng Bắc Bộ, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Giải phương trình sau tập số thực:  x  3  3x   15  x  x  2  x  27 x  14  11 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC (BC < AC) Gọi M trung điểm AB, AP vng góc với BC P, BQ vng góc với AC Q.Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB T chứng minh TH  CM, H trực tâm tam giác ABC Câu (4 điểm) 3 Cho hàm số f :    ( tập số thực) thỏa mãn f  f  x    x  x với x   Chứng minh rằn tồn số thực phân biệt a, b, c cho f(a)+f(b)+f(c)=0 Câu (4 điểm) Giả sử m, n số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 + m = 12m3 + n Chứng minh m – n lập phương số nguyên Câu (4 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ để 2013n – chia hết cho 22014 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Điều kiện: x  3 Đặt a   x , b  x   a, b 0  Suy  a  b 5  2  2b  1 a   2a  1 b 2ab  11  s  p 5   2 sp  s 2 p  11 2 p s    2  s  s    s s   11  p s    s  s  s  0  s a  b, p ab   a 2  2 p s   p 2  x 1  b 1        a 1  s 3 x  s  3  s  s   0    b 2 Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình x = x = Câu Gọi CD  AB D Khi AP, BQ, CD đồng quy nên T, B, D, A hàng điểm điều hòa   TDBA  1 Do ta có TM.TD = TA.TB Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CDM ngoại tiếp tứ giác ABPQ, tâm hai đường tròn nằm CM Nhưng TM.TD = TA.TB HP.HA = HQ.HB nên H, T nằm trục đẳng phương hai đường trịn nói Vậy HT  CM 3 Câu Đặt g  x  x  x f  f  x   g  x  Suy   f  g  x    f f  f  x   g  f  x   Dễ thấy g  x  đơn ánh nên từ f  f  x   g  x  suy f(x) đơn ánh 1  Gọi x0 điểm cố định hàm g  x   g  x0  xo  x0  0;  ;  2  Ta có f  x0   f  g  x0   g  f  x0   Suy f  x0  điểm cố định hàm g  x  , f  x  1  song ánh tâp D 0;  ;  nên: 2  1  1 1 f     f    f      0 2  2  2 Từ ta có điều phải chứng minh Câu Ta có: a  b  c  abc  a  b  c  k  ab  bc  ca  Vì bất đẳng thức với giá trị a,b,c nên với a = b = c =  k  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 Ta chứng minh k  giá trị lớn 2 4 Xét k  bất đẳng thức trở thành a  b  c  abc  a  b  c    ab  bc  ca  3 4 2 2 2   a  b  c   a b  b c  c a   abc  a  b  c  (1) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  a  b4    b4  c4    a4  c4  2a 2b2  2b2c2  2c2 a2 4 2 2 2 Suy   a  b  c  3  a b  b c  c a  (2) Mặt khác  a 2b2  b2c2  c2a   abc  a  b  c   12  ab  bc   12  bc  ca   12  ca  ab  0 (3) Từ (2) (3) suy (1) chứng minh Vậy số k lớn k  k Câu Xét n 2 t với k,t cac số tự hiên t số lẻ Đặt 2013n  a n  k t     a k a n  a t   a 2k k   a    t k   a  1  k Do t số lẻ nên a n  122014  a  122014 k  k  k 2 k Ta có a   a  1  a  1  a  1 a  a chia dư nên a  chia dư n 2014   k  1  2014 Do a  12 Từ suy giá trị nhỏ n cần tìm n 22012 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word