Đề thi hsg lớp 10,hải dương , năm học 2015 – 2016

(Đề thi HSG lớp 10,Hải Dương , năm học 2015 – 2016) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2,0 điểm) Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giải sử A, B có hồn độ x1;x2 1) Tìm k để trung điểm đoạn AB nằm trục tung 2) Chứng minh x1  x2 2  k  R  Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình: x   x  3x  x   x  x y  xy  xy  y 1 2) Giải hệ phương trình:   x  y  xy  x  1 1 Câu (4,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác kẻ tử 3  đỉnh A điểm D  2;   tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm 2  trình đường thẳng BC   I   ;1 Viết phương   2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c (b ≠ c) diện tích S Kí hiệu ma ; mb ; mc 2 độ dài cảu đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma mb  mc a) Chứng minh a 4S cotA b) Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm  BC Chứng minh góc MGO khơng nhọn Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  thức M  3 Tìm giá trị lớn biểu 1  2  2 a  b  b  c  c  a2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giải sử A, B có hồn độ x1;x2 1) Tìm k để trung điểm đoạn AB nằm trục tung +) Đường thẳng (d) có pt: y kx  +)PT tương giao (d) (P):  x kx   x  kx  0(*) + (*) ln có nghiệm phân biệt x1 ; x2  k   0(k ) + Trung điểm M AB có hoành độ M nằm trục tung  x1  x2  k  ; 2 k 0  k 0 2 2) Chứng minh x1  x2 2  k  R  Theo Vi et có: x1  x2  k ; x1 x2  2 Ta có x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2   x1  x2  x1  x2   x1 x2 2 Có x1  x2  x1  x2   x1 x2 k   x12  x23  k   k  1 2, k  R Đẳng thức xảy k = Câu 1) Giải phương trình: Điều kiện: x  (1)    x   x  3x  x  (1)   3x 1    x   3 x  x 3x 5x  x  x  1 3x   x    x 0 (TM )   3 x  (*)  x   x   Với x =1: VT (*) = = VP (*) nên x =1 nghiệm (*) Nếu x > VT (*) < < VT (*) Nếu x < VT (*) > > VP (*) Vậy (1) có nghiệm x = 0; x =  x  x y  xy  xy  y 1 2) Giải hệ phương trình:   x  y  xy  x  1 1  x  y   xy  x  y   xy 1  (*)    x  y   xy 1  a x  y Đặt  Hệ trở thành: b xy  a  a  a   0  b 1  a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Từ tìm (a;b) ∈ {(0;1);(1;0);(-2;-3)}  x  y 0  x  y 1 Với (a;b) = (0;1) ta có hệ   xy 1  x  y 1   x; y   0;  1 ;  1;0  ;   1;0  Với (a;b) = (1;0) ta có hệ   xy 0 Với (a;b) = (-2;-3) ta có hệ    x  y   y   y  x x    x  1; y 3   xy   x  x  0  x  1  x  x  3 0   Kết luận: Hệ có nghiệm  x; y     1;1  0;  1 ;  1;0    1;0  ;   1;3   Câu 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác kẻ tử 3  đỉnh A điểm D  2;   tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm 2  trình đường thẳng BC Đường trịn (C) ngồi tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA  15   Đường thẳng AD qua A có VTCP AD  0;   2    n  1;0  vecto pháp tuyến AD   I   ;1 Viết phương   Phương trình đường thẳng AD là: x = A '  AD   C  ; A '  A  A ' thuộc AD IA’ = IA Tìm A’(2; -4)  không chứa A nên IA’  BC A’ điểm cung BC    Đường thẳng BC qua D vào có A ' I   ;5  vecto pháp tuyến   Từ viết phương trình đường thẳng BC : x  y  0 2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c (b ≠ c) diện tích S Kí hiệu ma ; mb ; mc 2 độ dài cảu đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma mb  mc a) Chứng minh a 4S cotA Viết công thứ trung tuyến a c2  a2 b2 a  b2 c     2 4 2  b  c 2a (**) (*)  b  c  Ta có a 4S cotA 2 bc.sinA cos A sin A 2bc.cosA b  c  a Từ (**)  b  c  a a hay a 4S cotA a b) Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm  BC Chứng minh góc MGO khơng nhọn http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word   Ta chứng minh GO.GM 0  OG.GM 0 Ta có          3OG OA  OB  OC ; 6GM 2 AM  AB  AC OB  OC  2OA          3OG.6GM  OA  OB  OC , OB  OC  2OA    OB  OC  2OA2  2OB.OC  OA.OC  OA.OB    2OB.OC  OA.OC  OA.OB Mặt khác ta có    2 2 BC  OC  OB OB  OC  2OB.OC (trong R = OA = OB = OC)   2OB.OC 2 R  a     Tương tự có 2OA.OC 2 R  b ; 2OA.OB 2 R  c   b2  c2 Vậy 18 2OG.GM   a 0  OG.GM 0 (do (**))      Câu Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  3 Tìm giá trị lớn biểu thức 1  2  2 a  b  b  c  c  a2  *Bđt phụ: Cho số thực x, y, z > 0, a, b, c số thực Khi M 2 a2 b2 c2  a  b  c     (*) x y z xyz a b c   x y z + Dễ thấy bđt suy từ bđt Bunhia *Vào Ta chứng minh 1 M  2  2 a  b  b  c  c  a2  1 1  1  1       2     2  a b 3  b c 3  c a 3 Dấu xảy a2  b2 b2  c2 c2  a2    2 2 2 a b 3 b c 3 c a 3 Giả sử a ≥ b ≥ c  P 2  a  b   a  b a  b2  Biến đổi 2 a  b   a  b  3  a  b  3 Biến đổi tương tự với số hạng lại P Sau áp dụng bđt (*) ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  a b b  c  c  a P  a  b  c   18  a  b b  c  a  c   a  b  c   18  P 4 a  b  c  4 a  c  a  b  c   18 2  P 2 a b  c  2 a  c 2  a  b2  c   Ta chứng minh 2 a  b  c   a  c 2 a b  c   2 2 2    a  b  c    a  c  6  a  b  c   27 2 2   a  b  c    a  c  6  a  b  c    a  b  c    a  b  c    a  c  3  a  b  c    a  b  c  2   b  ab  bc  ca 0   a  b   b  c  0 Bất đẳng thức cuối cùng, suy điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word