Đề thi hsg lớp 10, hà nam, năm học 2013 – 2014

(Đề thi HSG lớp 10, Hà Nam, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (5 điểm) Cho Parabol (P) có phương trình y 4 x  , đường thẳng d có phương trình y x  Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cho ∆ cắt (P) hai điểm phân biệt A, B AB = Gọi I đỉnh (P); A, B hai điểm phân biệt thuộc (P) khơng trùng với I cho IA vng góc với IB Tìm quỹ tích trung điểm N đoạn AB A, B thay đổi Câu (5 điểm) Giải phương trình: x   x  x x  x  21  y   y  Giải hệ phương trình:   y  21  x   x Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a) Gọi D, E trung điểm AB, AC Đường phân gisc góc C cắt DE P Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC N, M      a) Tính BM , BN , BP theo hai vecto BA, BC theo a, b, c b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c độ dài ba cạnh tam giác; ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C Gọi R, S bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích tam giác ABC Chứng minh 1    tam giác abmc bcma camb RS ABC Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, đường thẳng BC có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua điểm M(1;6) Tìm tọa độ đỉnh A tính diện tích tam giác ABC Câu (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 12 Chứng minh rằng: 1 8      a  b b  c c  a a  28 b  28 c  28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu a) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d cho ∆ cắt (P) điểm phân biệt A, B AB = Đường thẳng ∆ song song với d có dạng y = x + m (m ≠ 3) (1) Phương trình hồnh độ giao điểm x  x   m 0 15 Để ∆ cắt (P) hai điểm phân biệt A, B (1) có nghiệm phân biệt, điều kiện    m  16 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt (1) Theo định lý Viet ta có 1 m x1  x2  ; x1 x2  4 A  x1 ; x1  m  , B  x2 ; x2  m  2 AB 1   x2  x1  1    x2  x1   x1 x2  1   1 m  23      1  m   16  16 23 Kết hợp điều kiện ta m  16 b) Goi I đỉnh (P); A, B hai điểm phân biệt, không trùng với đỉnh nằm (P) cho IA vng góc với IB Tìm quỹ tích điểm N AB A, B thay đổi Gọi A  a; 4a  1 nằm (P), đỉnh I  0;1  Đường thẳng IB qua I (0;1), nhận IA  a; 4a  vecto pháp tuyên Phương trình đường thẳng IB x  4ay  4a 0  y 4 x   1   B ;  1 Tọa độ B nghiệm hệ phương trìn:   16a 64a   x  4ay  4a 0 1 a  ; 2a   1 N trung điểm AB, suy N   128a  32a  5 2 Nhận xét yN 8 xN  quỹ tích điểm N Parabol y 8 x  4 Câu Ta có x   x   x x Điều kiện x 1 pt  x  x x   x x  x  0 x 1   x   x  x   x x  x  x 1   x  x  1  x  x  1  0  x  x  1 1 1   x  x 1 1 Vậy phương trình có nghiệm x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x  21  y   y (1)  Ta có:   y  21  x   x (2) Điều kiện: x 1; y 1 Trừ vế với vế (1) cho (2) ta có x  21   y  21  y   x2  y 2 x  21  y  21  x   y  x2 y x   y  x  y  x y 1 x   x y   x  y    x  y  0  x  21  y  21  y 1 x   x y   x  y  x 1; y 1  x  y y 1 x x  21  y  21 Thay x = y vào (1) ta có x  21  x   x   x2  x  21   x  21   x    x  x   x  2  x  2 x  1  x2   x  2   x 2  x  21    0 x  1     x  21     x  2   x  2    x  21         0 x      x  21     x 2  x     x  21     Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;2) Câu 0 x  1 Gọi Q giao điểm AP BC, suy P trung điểm AQ, tam giác ACQ cân C CQ = CA = b suy BQ = BC – CQ = a – b  a c  b  a   c  b  1  a b  BN  BA, BM  BC ; BP   BA  BC  2c 2c 2 a  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word    a  c  b a c  b MN  BN  BM  BA  BC b) 2c 2c     1 c PM BM  BP  BA  BC 2a    c  PM  MN suy PM phương với MN ddos P, M, N thẳng hàng a c  b Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c độ dài ba cạnh tam giác; ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C Gọi R, S bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích tam giác ABC Chứng minh 1    tam giác abmc bcma camb RS ABC 1 1        abmc bcma camb RS abmc bcma camb abc  c a b   2 3mc 3ma 3mb a  3ma Vì Nên a2 3a 2b  2c  a 3a 2b  2c  a   2a 3a 2b  2c  a 3a  2b  2c  a a  b  c 2 a 2a  2 3ma a  b  c Chứng minh tương tự ta có b 2b c 2c  ,  2 Vậy 2 3mb a  b  c 3mc a  b  c a b c   2 3ma 3mb 3mc 3a 2b  2c  a  2 2 Dấu xảy 3a 2b  2c  a  a b c  2 2 3a 2b  2c  a Hay tam giác ABC Câu 4.Vì tam giác ABC cân A nên hóc CBH góc BCK Suy cos(BC, BH) = cos(BC, CK)  Đường thẳng BC có vecto pháp tuyến n BC  1;   Đường thẳng CK có vecto pháp tuyến nCK  4;3  2 Gọi vecto pháp tuyến đường thẳng BH n BH  a; b   a  b   cos(BC, BH) = cos(BC, CK) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word     n BC n BH n BC nCK       n BC n BC n BC nCK a  2b a  b  10 5.5   a  2b  4  a  b   3a  4ab 0 +) Nếu b = a = (loại) +) Nếu b ≠ 0, chọn b = suy a = a =    +) Nếu a = 4; b= n BH = (4;3) suy n BH = nCK (loại) +) Nếu b = 3, a = suy phương trình BH y – =  x  y  17 0  C  1;8 Tọa độ C nghiệm hệ phương trình  4 x  y  28 0 Phương trình AC: x =1 B giao điểm BH BC suy B(5;6) Phương trình BA: 3x – 4y + = A giao điểm AB AC suy A(1;3) Diện tích tam giác ABC: BC  20 d  A, BC     17 2 SABC  BC.d  A, BC  10 1   Câu Ta có: a  b b  c a  2b  c 1 1     Chứng minh tương tự ta có , b  c a  c a  2c  b a  b a  c b  2a  c 1 1 1     2    Suy  a b b c a c  b  2a  c a  2b  c b  2c  a   b  2a  c a  28  b  2a  c a  28  a  28 4b  8a  4c  2a  b  c  16  4b  8a  4c 0 Ta chứng minh 2   a     b     c   0 (điều đúng) 1 4      b  2a  c a  2b  c b  2c  a a  28 b  28 c  28 1 8      Suy a  b b  c c  a a  28 b  28 c  28 Dấu xảy a = b = c = Vậy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word