(Đề thi HSG lớp 10, Hà Nam, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (5 điểm) Cho Parabol (P) có phương trình y 4 x , đường thẳng d có phương trình y x Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cho ∆ cắt (P) hai điểm phân biệt A, B AB = Gọi I đỉnh (P); A, B hai điểm phân biệt thuộc (P) khơng trùng với I cho IA vng góc với IB Tìm quỹ tích trung điểm N đoạn AB A, B thay đổi Câu (5 điểm) Giải phương trình: x x x x x 21 y y Giải hệ phương trình: y 21 x x Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a) Gọi D, E trung điểm AB, AC Đường phân gisc góc C cắt DE P Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC N, M a) Tính BM , BN , BP theo hai vecto BA, BC theo a, b, c b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c độ dài ba cạnh tam giác; ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C Gọi R, S bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích tam giác ABC Chứng minh 1 tam giác abmc bcma camb RS ABC Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, đường thẳng BC có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua điểm M(1;6) Tìm tọa độ đỉnh A tính diện tích tam giác ABC Câu (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c 12 Chứng minh rằng: 1 8 a b b c c a a 28 b 28 c 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu a) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d cho ∆ cắt (P) điểm phân biệt A, B AB = Đường thẳng ∆ song song với d có dạng y = x + m (m ≠ 3) (1) Phương trình hồnh độ giao điểm x x m 0 15 Để ∆ cắt (P) hai điểm phân biệt A, B (1) có nghiệm phân biệt, điều kiện m 16 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt (1) Theo định lý Viet ta có 1 m x1 x2 ; x1 x2 4 A x1 ; x1 m , B x2 ; x2 m 2 AB 1 x2 x1 1 x2 x1 x1 x2 1 1 m 23 1 m 16 16 23 Kết hợp điều kiện ta m 16 b) Goi I đỉnh (P); A, B hai điểm phân biệt, không trùng với đỉnh nằm (P) cho IA vng góc với IB Tìm quỹ tích điểm N AB A, B thay đổi Gọi A a; 4a 1 nằm (P), đỉnh I 0;1 Đường thẳng IB qua I (0;1), nhận IA a; 4a vecto pháp tuyên Phương trình đường thẳng IB x 4ay 4a 0 y 4 x 1 B ; 1 Tọa độ B nghiệm hệ phương trìn: 16a 64a x 4ay 4a 0 1 a ; 2a 1 N trung điểm AB, suy N 128a 32a 5 2 Nhận xét yN 8 xN quỹ tích điểm N Parabol y 8 x 4 Câu Ta có x x x x Điều kiện x 1 pt x x x x x x 0 x 1 x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 0 x x 1 1 1 x x 1 1 Vậy phương trình có nghiệm x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x 21 y y (1) Ta có: y 21 x x (2) Điều kiện: x 1; y 1 Trừ vế với vế (1) cho (2) ta có x 21 y 21 y x2 y 2 x 21 y 21 x y x2 y x y x y x y 1 x x y x y x y 0 x 21 y 21 y 1 x x y x y x 1; y 1 x y y 1 x x 21 y 21 Thay x = y vào (1) ta có x 21 x x x2 x 21 x 21 x x x x 2 x 2 x 1 x2 x 2 x 2 x 21 0 x 1 x 21 x 2 x 2 x 21 0 x x 21 x 2 x x 21 Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;2) Câu 0 x 1 Gọi Q giao điểm AP BC, suy P trung điểm AQ, tam giác ACQ cân C CQ = CA = b suy BQ = BC – CQ = a – b a c b a c b 1 a b BN BA, BM BC ; BP BA BC 2c 2c 2 a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a c b a c b MN BN BM BA BC b) 2c 2c 1 c PM BM BP BA BC 2a c PM MN suy PM phương với MN ddos P, M, N thẳng hàng a c b Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c độ dài ba cạnh tam giác; ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C Gọi R, S bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích tam giác ABC Chứng minh 1 tam giác abmc bcma camb RS ABC 1 1 abmc bcma camb RS abmc bcma camb abc c a b 2 3mc 3ma 3mb a 3ma Vì Nên a2 3a 2b 2c a 3a 2b 2c a 2a 3a 2b 2c a 3a 2b 2c a a b c 2 a 2a 2 3ma a b c Chứng minh tương tự ta có b 2b c 2c , 2 Vậy 2 3mb a b c 3mc a b c a b c 2 3ma 3mb 3mc 3a 2b 2c a 2 2 Dấu xảy 3a 2b 2c a a b c 2 2 3a 2b 2c a Hay tam giác ABC Câu 4.Vì tam giác ABC cân A nên hóc CBH góc BCK Suy cos(BC, BH) = cos(BC, CK) Đường thẳng BC có vecto pháp tuyến n BC 1; Đường thẳng CK có vecto pháp tuyến nCK 4;3 2 Gọi vecto pháp tuyến đường thẳng BH n BH a; b a b cos(BC, BH) = cos(BC, CK) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word n BC n BH n BC nCK n BC n BC n BC nCK a 2b a b 10 5.5 a 2b 4 a b 3a 4ab 0 +) Nếu b = a = (loại) +) Nếu b ≠ 0, chọn b = suy a = a = +) Nếu a = 4; b= n BH = (4;3) suy n BH = nCK (loại) +) Nếu b = 3, a = suy phương trình BH y – = x y 17 0 C 1;8 Tọa độ C nghiệm hệ phương trình 4 x y 28 0 Phương trình AC: x =1 B giao điểm BH BC suy B(5;6) Phương trình BA: 3x – 4y + = A giao điểm AB AC suy A(1;3) Diện tích tam giác ABC: BC 20 d A, BC 17 2 SABC BC.d A, BC 10 1 Câu Ta có: a b b c a 2b c 1 1 Chứng minh tương tự ta có , b c a c a 2c b a b a c b 2a c 1 1 1 2 Suy a b b c a c b 2a c a 2b c b 2c a b 2a c a 28 b 2a c a 28 a 28 4b 8a 4c 2a b c 16 4b 8a 4c 0 Ta chứng minh 2 a b c 0 (điều đúng) 1 4 b 2a c a 2b c b 2c a a 28 b 28 c 28 1 8 Suy a b b c c a a 28 b 28 c 28 Dấu xảy a = b = c = Vậy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word