(Đề thi HSG lớp 10 THPT Hoàn Kiếm – Hà Nội, năm học 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) Cho hàm số y x x a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b) Tìm m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB khoảng cách từ O đến ∆ Câu (6 điểm) xy x 10 y 10 81 a) Giải hệ phương trình: 2 x y 10 x 10 y 18 0 b) Giải phương trình: x x 3 x 1 x c) Tìm m để phương trình: x x 16 x m có nghiệm Câu (4 điểm) a) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c 1 ab ac bc ba ca cb a b b c c a b) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y z Câu (3 điểm) a) Cho tam giác ABC có diện tích S cạnh BC = a, CA = b thỏa mãn điều kiện a2 b2 Chứng minh tam giác ABC vuông 2S b) Cho tam giác ABC, O trọng tâm tam giác M điểm nằm tam giác M khác O.Gọi D E F hình chiếu vng góc m lên cạnh BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng OM qua trọng tâm tam giác DEF cotA + cotB= Câu (3 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC Gọi a b đường trung tuyến đường phân giác tam giác đường thẳng AD có phương trình x - y - = 0, y = Giả sử B(1;3), Viết phương trình đường thẳng AC xác định tọa độ điểm C b) Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE CD đường cao tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) đường thẳng bc có phương trình x + y - = Tìm tọa độ điểm B biết B có hồnh độ dương Đáp Án Câu b , 2a 4a 1 đồng biến ; 2 a) Tập xác định hàm số R a = > , 1 Hàm số nghịch biến ; 2 b) Phương trình hồnh độ giao điểm x x x m x x m 0 Đường thẳng cắt đồ thị hai điểm phân biệt ' m m : x y m 0, d O, A x1 ; x1 m , B x2 ; x2 m AB x2 x1 2 x2 m x1 m AB x2 x1 x2 x1 x1 x2 2.22 m 8m 24 AB d O, m m 16m 48 0 m 8 4 (thỏa mãn điều kiện) Câu a) x 10 x y 10 y 81 HPT 2 x 10 x y 10 y 18 Đặt u x 10 x, v y 10 y Ta có u.v 81, u v 18 Suy u, v nghiệm cảu phương trình x 18 x 81 0 Suy u = v = -9 2 Hệ cho tương đương với hệ phương trình sau: x 10 x x 10 x 0 x 1 x 9 y 10 y y 10 y 0 y 1 y 9 Hệ cho có nghiệm 1;1 , 1;9 , 9;1 , 9;9 b) Đặt t x x 7, t 0 x 1 x t Phương trình trở thành 2t 3 t 3 2t 3 t 3 3t 2t 0 t 1 t t 1 1 không thỏa mãn điều kiện Với t = 1, ta có x x 1 x x 0 x 2 x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm 2;3 c) x x 16 x m (điều kiện x 4) Điều kiện cần Giả sử hệ có nghiệm x0 Ta có x0 x0 16 x02 m x0 x0 16 x0 m x0 nghiệm phương trình Vì phương trinh nên x0 x0 x0 0 m 12 Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình cho trở thành 16 x 2 16 8 4 x 4 x 8 16 x 12 x x 16 x 16 x x 16 x 4 12 Đẳng thức xảy x 0 Phương trình có nghiệm x = 0, m = 12 Câu a) a b a c b c b a c a c b 4 a b c BĐT a b c bc ca ab a b c a b c a b c 4 a b c a b c bc ca ab a b c a b c bc ca ca ab ab bc 2c, 2a, 2b, Áp dụng BĐT CoSi, ta có: a b b c c a bc ca ab 2 a b c c a b bc ca ab a b c a b c 1 4(a b c ab ac bc ba ca cb a b b c c a Đẳng thức xảy a = b = c b) S x y z x y z x y y z z x S x y z x y z y z x z x y Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có y z y z x x x y z z 2 Chứng minh tương tự y z x y , z x y z 2 2 Vì S 2 x y z Thay x y z 8 S 16 S 4 Dấu xảy ra, x, y , z 2; 2;0 hoán vị, ta có S = Vậy S = Câu 4.a) cos A b c a b c a cos B c a b c a b , cot B sin A 2bc sin A 4S sin B 2ca sin B 4S c2 cot A cot B 2S 2 c a b 2S 2S 2 c a b tam giác ABC vuông C b) Ta chứng minh MD ME MF MO Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC A1, A2; kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC, AB B1, B2; kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC, AC C1, C2 Các tam giác MB1C1, MA2C2, MA1B2 đều, cot A MD MB1 MC1 ME MA2 MC2 , MF MA1 MB2 2 1 MD ME MF MB2 MC2 MA1 MC1 MA2 MB1 2 MA MB MC MO (1) 2 Gọi G trọng tâm tam giác DEF Ta có MD ME MF 3MG 3 Từ (1), (2) ta có MO 3MG MO 2 MG M, O, G thẳng hàng Vậy OM qua trọng tâm tam giác DEF Câu a) y 0 A: A 2;0 x y 0 Gọi E điểm đối xứng B qua AD: y = 0, ta có E ∈ AC, E(1;-3) x y x y 0 Phương trình đường thẳng AC 1 c 3c C c;3c , M ; c 3c 0 c 0 C 0; 2 b) Gọi M trung điểm BC, ta có MD = ME Gọi M m; 2m 1 , ta có MD ME nên 5m 8m 5m 10m m 0 M 0;1 , Ta có B b; 2b 1 , b 0.MB MB MD b 0 2 2b 1 5b 5b 5, b b 1 B 1; 1