Đề thi hsg lớp 10,vĩnh phúc, hệ không chuyên, năm học 2014 – 2015

(Đề thi HSG lớp 10,Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2,0 điểm) 2014 2015  Tìm tập xác định hàm số: f  x    x2  2x  x2  2x Câu (1,0 điểm) x a) Chứng minh hàm số f  x   đồng biến khoảng   1;   x 1 b) Chứng minh hàm số f  x   2015  x  2015  x hàm số lẻ Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 19  x   x  x  6  x  12  x Câu (1,0 điểm)  x  y  xy  y  0 Giải hệ phương trình:  2  x  y  y  0 Câu (1,0 điểm) Tìm tất giá trị m cho bất phương trình  m  1 2  m    2m  0 vô nghiệm (x ẩn, m tham số) Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn tâm O G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, G’ trọng tâm tam giác MNP Chứng minh O, G, G’ thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC khơng vng có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn a  b 2c tanA + tanC = tanB tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không tam giác vuông nội tiếp đường trịn (I) (đường trịn (I) có tâm I); điểm H(2;2) trực tâm tam giác ABC kẻ đường kính AM, BN đường trịn (I) tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết M (5;3) N (1;3) đường thẳng BC qua điểm P (4;2) Câu (1,0 điểm) Cho a b c số thực dương thỏa mãn điều kiện A + B + C = 2015 chứng minh  2015  a 2015a  a 2015b  b 2015c  c 2015  b 2015  c     2     bc ca ab a b c   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Hàm số f(x) xác định   x   2  x 3  x  2x     x     1 x   x   x  x   Vậy tập xác định cảu hàm số f(x) S =   1;0    2;3 Câu a) Với x1.x2    1;   , x1  x2 ta có: K  f  x1   f  x2  x1  x2 x1 x2  x  x2   x1  x2 x1  x2  1  x2  x1  1 x1  x2   0  x1  x2   x1  1  x2  1  x1  x2   x1  1  x2  1  x1  1  x2  1 (Do x1.x2    1;   ) Do K >  f(x) đồng biến khoảng   1;   b) Tập xác định hàm số alf D   2015; 2015 Với x  D , ta có  x  D , f   x   2015  x  2015  x    2015  x  2015  x  f  x  Suy f(x) hàm số lẻ  x  x  0     x 2 Câu Điều kiện:   x 0 3  x 0  Bất phương trình cho tương đương với 19  x    x   x 6  2 x 2 3 x  Đặt t   x   x , t  ta có: t 2  x    x     x   x 14  x    x   x  t 1 2 Thay vào phương trình ta được:  t 6t  t  6t  0    t 5 +) t 1   x   x 1   x    x     x    x  1  x  13   x  x  0 vô nghiệm   x 2 +) t 5   x   x 5   x    x     x    x  25 16   x  x    11  x    x  x  11  3x   11  x 0 25 x  50 x  25 0    11  x 1 thỏa mãn điều kiện x   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {1}  x  y  3xy  y  0 (1) Câu Ta có:  (I) (2)  x  y  y  0  x y  Ta có (1)   x  y  1  x  y  1 0    x 2 y   y 2 Với x  y  thay vào (2) ta y  y  0    y   +) y 2  x 1 +) y   x  2  y  Với x 2 y  thay vào (2) ta y  y  0    y 2  +) y   x  2 +) y   x  5  1  2 Vậy (I) có nghiệm (x;y) là:  1;  ,   1;  1 ,   ;   ,  ;   2  5 Câu Bất phương trình cho vô nghiệm  m  1 x   m   x  2m   x   , x   vơ lí Trường hợp 2: Nếu m ≠  m  1 x   m   x  2m   x   Trường hợp 1: Nếu m = 6x + < 0, x    x    m       '  m     m  1  2m      m      m  4m   Vậy tập hợp giá trị cua rm S =  ;  10 m     m   10  m   10    m   10  Câu Cách 1: Kết bản: cho tam giác ABC trọng tâm G     Khi với điểm O ta có OA  OB  OC 3.OG Do M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB nên:          OB  OC 3.OM , OC  OA 3.ON , OA  OB  3.OP       Cộng vế hệ thức ta được: OA  OB  OC 3 OM  ON  OP      2.3.OG 3.3.OG '  2.OG 3.OG '  O, G, G' thẳng hàng     Cách 2: Vì M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB nên ta có OM ON OP    OA ' OB' OC ' ( A ', B ', C ' lần kuowtj trung điểm BC, CA, AB) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3 Xét vị tự V : MNP  A ' B ' C ' Vậy trọng tâm G’ tam O giác MNP biến thành trọng tâm G tam giác A ', B ', C ' Mà tâm G tam giác A ', B ', C ' trọng tâm G tam giác ABC Vậy O, G, G' thẳng hàng Câu Theo định lí hàm số sin cơsin ta có: a sin A abc tan A   2R  2 cos A b  c  a R  b  c2  a2  2bc abc abc , tan C  Tương tự ta có tan B  2 2 R c a  b  R  a  b2  c2   tan A  tan C 2.tan B   abc abc abc  2 2 2 2 R b c  a  R a b  c  R  a  c2  b2  1  2 2 2 2 b c  a a b  c a c  b   c2  a2  b2   a2  b2  c2    b2  c2  a   a  c2  b2  2  2  b  c  a   a  b  c   a   b  c   c   a  b  2 b   a  c    a  a  b  2c    c  b   c  2b  0  b c (do a  b 2 c ) Kết hợp với a  b 2 c  a b c Vậy tam giác ABC Câu 8.Nhận xét.Các tứ giác BHCM, AHCN hình bình hành suy gọi E, F trung điểm BC, CA E, F tương tựng trung điểm HM, HN  5  5 Do E  ;  , F  ;   2  2  5 Đường thẳng BC qua điểm P(4;2), E  ;  nên:  2 x y BC :   x  y  0 4 2 2 AH vng góc với BC suy AH co vecto pháp tuyến  n AH  1;  1 kết hợp với AH qua điểm H (2;2) suy ra: AH: 1(x – 2) – 1(y – 2) =  x – y = A  AH  A  a; a  , C  BC  C  b;6  b  , Do F trung điểm AC nên: x A  xC   xF   a  b 3    a   b 5  y  y A  yC  F a 1  A  1;1 , C  2;   b 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do E trung điểm BC nên: xB  xC   xE   xB 2 xE  xC  xB 5    B  5;1   yB 1  yB 2 yE  yC  y  yB  yC  E Vậy A  1;1 , B  5;1 , C  2;  Câu Thay 2015 = a + b+ c bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:  b c a  b  c b  c  a c  a  b c a a b     2     bc ca ab a b c   Ta có  a  b  c b  c  a c  a b a a b b c c   6       6 bc ca ab b c a c a b bc ca a b b c ca a b 2 2  2  2  2 a b c a b c  b c ca a b  2     a b c   Dấu xảy a = b = c = 2015 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word