A- PHẦN ĐỀ ĐỀ SỐ 01 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) x y m Cho hệ phương trình 2 x y x y m (trong m tham số, x y ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A xy x y 2011 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lớn −3 Câu (1,5 điểm) x y Giải hệ phương trình xy 1 2 x y 4 Câu (1 điểm) Chứng minh x, y số thực dương 1 x 1 y xy Câu (3,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 B 4;3 Tìm tọa độ điểm M trục hồnh cho AMB 45 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết 17 D 2;1 , E 3;4 , F ; 5 Cho tam giác ABC, có a BC , b CA, c AB Gọi I, p tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh IA2 IB IC 2 c p a a p b b p c B- ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu 1 a) Đặt S x y; P xy S m S m S P S m P m m Khi hệ phương trình trở thành 2 2 2 Để hệ có nghiệm S 4 P m 4 m m m 4 m 2 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word b) Ta có A P S 2011 m2 m 2005 Lập bảng biến thiên ta max A 2011 m 2 ; A 2004,75 m 0,5 m −2 A 200 2 201 200 4,75 t 2 2 Đặt t x 0 , thay vào phương trình ta được: t 3m 1 t 6m 0 t 3m 3m phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt 3m 2 m m 1 Khi phương trình cho có bốn nghiệm 2; 3m Để nghiệm lớn −3 3m 3m m 10 10 \ 1 3 Vậy giá trị m m ; Điều kiện xy 0 , đặt t xy , t 0 Câu Ta có xy t x y t x y 2t t 2t x y t 2t x y 4 x y x y x y 16 t 2t t t 2t 1 16 t 2t 0 t 3t 6t 12 t 2t 2 t 3t 6t 12 t 2t 2 3t 4t 34t 60t 33 0 t 3t 7t 27t 33 0 2 Với t 0 3t 7t 27t 33 7t 27t 33 a 0, xy 1 t 1 x y 1 x y 2 Kết luận nghiệm hệ x; y 1;1 Câu Cách 1: Do x, y nên bất đẳng thức cho tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word x y xy x y x y x y xy x x y y 2 xy y xy 1 0 , bất đẳng thức Dấu xảy x y 1 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-x-ki, ta có 12 x 1 x y x xy x (1) y xy 12 Tương tự, ta có y Từ (1) (2), ta có y xy (2) x 1 x 1 y 1 xy x y xy y x Ta có điều phải chứng minh Câu M x;0 Khi MA x; ; MB x;3 Theo giả thiết ta có MA.MB MA.MB cos 45 Giả sử tọa độ x x x x x x 10 x x x x 25 2 2 (do x x 10 ) x x 10 x x x x 25 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word x 10 x3 44 x 110 x 75 0 x 1 x x x 15 0 x 1; x 5 Vậy ta có hai điểm cần tìm M 1;0 M 5;0 Gọi A ', B ', C ' chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Do tứ giác BCB ' C ' nội tiếp nên FDA FCA ABE ADE H nằm đường phân giác hạ từ D DEF , tương tự ta H nằm đường phân giác hạ từ đỉnh E DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp DEF Ta lập phương trình đường thẳng DE, DF DE : 3x y 0 ; DF : 3x y 0 Do phương trình phân giác đỉnh D 3x y 3x y x 0; y 0 10 10 Kiểm tra vị trí tương đối E, F với hai đường ta phân giác kẻ từ đỉnh D d : x 0 Tương tự ta lập phương trình phân giác kẻ từ đỉnh E d ' : x y 0 Mặt khác H giao d d ' nên H 2;3 Ta có AC trung trực HE nên AC qua 7 trung điểm B ' ; có vectơ pháp tuyến 2 HE 1;1 AC : x y 0 Cách 1: Gọi M tiếp điểm AC với đường tròn nội tiếp ABC Khi ta có AM p a; IM r Gọi S diện tích tam giác ABC, theo cơng thức Heron ta có S p p a p b p c Áp dụng định lí Pitago AIM ta có 2 2 IA AM MI p a r p a p a S p p a p b p c p a bc p p IA2 b c p a p IB c IC a ; Tương tự ta có a p b p b p c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word IA2 IB IC a b c 2 Do c p a a p b b p c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word Cách 2: Theo tính chất đường phân giác “Giả sử đường phân giác góc A cắt cạnh BC điểm A ' Khi BA ' AB c A ' C AC b ”, ta có: A ' I BA ' CA ' BC a IA AB AC AB CA b c Suy p AA ' a b c 2p AI bc bc (với a b c AA ' b c ) AI a b c Mặt khác theo công thức tính đường phân giác “Cho ABC có đường phân giác B b 2 lb Ta có lb2 ac ” a c AA ' bc p a bc p a bcp p a AI bc p p Tương tự ta có BI Vậy ca p b p ; CI ab p c p IA2 IB IC a b c 2 c p a a p b b p c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word