Đề thi hsg lớp 10, vĩnh phúc, hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

A- PHẦN ĐỀ ĐỀ SỐ 01 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm)  x  y m  Cho hệ phương trình  2  x  y  x  y  m  (trong m tham số, x y ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A xy   x  y   2011 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lớn −3 Câu (1,5 điểm)  x  y  Giải hệ phương trình  xy 1 2  x   y  4 Câu (1 điểm) Chứng minh x, y số thực dương 1  x  1  y    xy Câu (3,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A  1;2  B  4;3 Tìm tọa độ điểm M trục hồnh cho AMB 45 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết  17  D  2;1 , E  3;4  , F  ;  5  Cho tam giác ABC, có a BC , b CA, c  AB Gọi I, p tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh IA2 IB IC   2 c  p  a a  p  b b  p  c B- ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu 1 a) Đặt S x  y; P xy  S m   S m    S  P  S  m   P m  m  Khi hệ phương trình trở thành  2 2 2 Để hệ có nghiệm S 4 P   m   4  m  m    m 4   m 2 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word b) Ta có A P  S  2011 m2  m  2005 Lập bảng biến thiên ta max A 2011 m 2 ; A 2004,75 m  0,5 m −2 A 200  2 201 200 4,75  t 2 2 Đặt t x 0 , thay vào phương trình ta được: t   3m  1 t  6m  0    t 3m  3m    phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt  3m  2  m    m 1 Khi phương trình cho có bốn nghiệm  2;  3m  Để nghiệm lớn −3  3m     3m    m  10  10   \  1 3  Vậy giá trị m m   ; Điều kiện xy 0 , đặt t  xy , t 0 Câu Ta có xy t x  y t   x  y  2t t  2t   x  y  t  2t  x   y  4  x  y  x y   x  y   16   t  2t   t    t  2t  1  16 t  2t  0 t  3t  6t  12 t  2t    2   t  3t  6t  12   t  2t   2  3t  4t  34t  60t  33 0    t   3t  7t  27t  33 0 2 Với t 0  3t  7t  27t  33 7t  27t  33   a  0,     xy 1  t 1    x  y 1  x  y 2 Kết luận nghiệm hệ  x; y   1;1 Câu Cách 1: Do x, y  nên bất đẳng thức cho tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word    x     y     xy    x    y       x  y  x  y    xy    x  x    y  y  2  xy   y    xy  1 0 , bất đẳng thức Dấu xảy x  y 1 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-x-ki, ta có  12    x  1      x   y    x    xy    x  (1)   y     xy   12        Tương tự, ta có   y  Từ (1) (2), ta có  y   xy     (2) x  1  x  1  y     1        xy    x  y   xy  y x   Ta có điều phải chứng minh Câu M  x;0  Khi  MA   x;  ; MB   x;3   Theo giả thiết ta có MA.MB MA.MB cos 45  Giả sử tọa độ    x    x      x     x  x  x  10  x  x  x  x  25  2 2 (do x  x  10  )   x  x  10   x  x    x  x  25  http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word  x  10 x3  44 x  110 x  75 0   x  1  x    x  x  15  0  x 1; x 5 Vậy ta có hai điểm cần tìm M  1;0  M  5;0  Gọi A ', B ', C ' chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Do tứ giác BCB ' C ' nội tiếp nên   FDA FCA  ABE  ADE  H nằm đường phân giác hạ từ D DEF , tương tự ta H nằm đường phân giác hạ từ đỉnh E DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp DEF Ta lập phương trình đường thẳng DE, DF DE : 3x  y  0 ; DF : 3x  y  0 Do phương trình phân giác đỉnh D 3x  y  3x  y    x  0; y  0 10 10 Kiểm tra vị trí tương đối E, F với hai đường ta phân giác kẻ từ đỉnh D d : x  0 Tương tự ta lập phương trình phân giác kẻ từ đỉnh E d ' : x  y  0 Mặt khác H giao d d ' nên H  2;3 Ta có AC trung trực HE nên AC qua  7 trung điểm B '  ;  có vectơ pháp tuyến  2  HE  1;1  AC : x  y  0 Cách 1: Gọi M tiếp điểm AC với đường tròn nội tiếp ABC Khi ta có AM  p  a; IM r Gọi S diện tích tam giác ABC, theo cơng thức Heron ta có S  p  p  a   p  b   p  c  Áp dụng định lí Pitago AIM ta có 2 2 IA  AM  MI  p  a   r  p  a   p  a    S    p  p  a   p  b   p  c   p  a  bc p p IA2 b  c p  a p IB c IC a  ;  Tương tự ta có a  p  b p b  p  c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word IA2 IB IC a b c    2 Do c p  a a  p  b b p  c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word Cách 2: Theo tính chất đường phân giác “Giả sử đường phân giác góc A cắt cạnh BC điểm A ' Khi BA ' AB c   A ' C AC b ”, ta có: A ' I BA ' CA ' BC a     IA AB AC AB  CA b  c Suy p AA ' a  b  c 2p   AI bc bc (với a b c AA '  b  c  )  AI  a b c  Mặt khác theo công thức tính đường phân giác “Cho ABC có đường phân giác B   b 2  lb Ta có lb2 ac      ”   a  c    AA '  bc  p  a  bc  p  a  bcp  p  a   AI   bc p p Tương tự ta có BI  Vậy ca  p  b  p ; CI  ab  p  c  p IA2 IB IC a b c    2 c p  a a  p  b b p  c p http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word