Đề thi hsg lớp 10, vĩnh phúc, hệ chuyên, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (3 điểm)    Giải phương trình sau:     1   x  y   3x  y  x y 1  2  y  x  x y  x, y    Tìm tất giá trị a, b cho phương trình x  ax  bx  3a 0 có nghiệm số nguyên dương Câu (2 điểm) Giả sử a, b, c, d số nguyên cho a – b + c – d số nguyên lẻ chia hết a2 – b2 + c2 – d2 Chứng minh với số nguyên dương n có a – b + c – d chia hết an – bn + cn – dn Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC khơng cần, ngoại tiếp đường trịn tâm I Lấy E F đường thẳng AC AB dao cho CB = CE = BF, đồng thời chúng nằm phía với A đường thẳng BC Các đường thẳng BE CF cắt G Chứng minh bốn điểm C, E, I G nằm đường tròn Trên đường thẳng qua G song song với AC lấy điểm H cho HG = AF đồng thời H khác phía với C đới với đường thẳng BG 1   CAB Chứng minh EHG Câu (1 điểm) Kí hiệu R* để tập hợp số thực khác Tìm tất hàm số f xác định R* nhận giá trị thực thỏa mãn  1 y 1 x xf  x    yf  y    y    xf  x   x, y 0 y x x y  Câu (1 điểm) Một số nguyên dương gọi dễ thương biểu diễn thập phân khong có chứa chữ số tổng bình phương chữ số số phương Tìm số dễ thương lớn có hai chữ số Hỏi có hay khơng số dễ thương có 2013 chữ số? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu 1 Điều kieenh: x, y > Đặt y = b > viết hệ cho dạng x = a > 0, 1 2 2 (1)  a  2b  a  3b   3a  b     2  b  a  (2)  a 2a 2 Lấy (1) + (2) thu a  10a b  5b  a  10a b  5ab 2 a 2 4 Lấy (2) – (1) thu 5a  10a b  b  5a b  10a b  b 1 b (3) (4) Từ (3) (4) thu  a  b  3  a  b  1 Từ đó, tìm a  5 1 3 b  2 Và đó, tìm x    1  ,y   3 Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương , ,     Ta có     a,    b,   3a 1 1    Ta có                1 3       2 9    1; 2;3      Xét  1      1           12     3;   3    12;1 ,  6;  ,  4;3     ;      15;  ,  9;5  ,  7;6     ; ;     15; 4;1 ,  9;5;1 ,  7;6;1    a; b      20;79  ,   15;59  ,   14;55   Xét  2        2   2  3  2   21   2  3; 2      21;1 ,  7;3     ;      12;  ,  5;3     ; ;     12; 2;  ,  5;3;     a; b      16;52  ,   10;31  Xét  3      3 3     1    1 4   3  2,   3  2     1;   1  2;    ;     3;3    ; ;    3;3;3    a; b    9; 27  Câu Chứng minh nhận xét: “Với a, b, x, y, z, t số nguyên cho a – b ước x – y ước cảu z – t a – b | xz – yt” Mặt khác do:  a  b 2   b  d   a  b  c  d   a  b  c  d   a  b  c  d  nên suy a  b  c  d | a  b  c  d   ac  bd  Từ đó, giẩ thiết nên thu a  b  c  d | ac  bd (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta chứng minh kết luận toán phương pháp quy nạp toán học Với n = 1, 2: kết luận hiển nhiên Giả thiết khẳng định tới n, tức a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với n  N , n 2 Ta cần chứng minh a  b  c  d | a n 1  b n 1  c n 1  d n 1 (2) Thật vậy, a  b  c  d |  a  c    b  d  nhận xét suy a  b  c  d ước  a  c   a n  c n    b  d   b n  d n  a n1  bn1  c n 1  d n 1  ac  a n 1  c n1   bd  bn 1  d n 1  Nhưng, (1), giả thiết quy nạp nhận xét suy a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với số ngun dương n Câu Khơng tính tổng quát, xét trường hợp AB < BC < CA, trường hợp khác xét tương tự Khi đó, E nằm đoạn CA, F nằm tia đối tia AB, (hình vẽ) Từ giả thiết, suy F đối xứng với C qua phân giác ABC ABC   Do CFA CFB 900     AIC 1800  CAB  BCA 900  ABC 2 Suy tứ giác AFCI nội tiếp   BCA CAB    Từ AFI  ACI  IAC IFC ICF 2 Do I tâm đường tròng nội tiếp CB = CE = BF nên CI  BE , BI  CG  CAB     Vậy IBE (cùng phụ gốc CGB ) Do ta có IEB  ICF     Hơn nữa, tính đối xứng nên IEB suy tứ giác CIEG nội tiếp IBE 900  MGC ICG  BCA   Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên EGI ECI   AFI     Hơn nữa, IAB nên GEI suy GEI ~ FAI FAI IEB EG EG AF HG AF AI      BI EI AI GE GE BI  BCA  Nhưng HGE  AEB 900   AIB suy HGE ~ AIB 1   BAI  CAB Từ EHG Chú ý: Nếu khơng có giả sử AB < BC < CA để có thứ tự điểm hình vẽ, u cầu phải sử dụng góc định hướng chứng minh hai phần (với cách giải trên) Câu 4: Đặt f  x   x  g  x  , phương trình làm cho viết lại dạng Suy  1 1  xg  x    yg  y   yg  y    xg  x  x, y 0 y x   (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  1 (2) Cho y = thu xg  x  1  yg  x   yg     xg  x  x 0 x  Trong (2), thay x , ta được: x 1 1 1 g (  1)  g  1  g   x   g ( )  g(1  ) xg  x  1  g ( )  xg(1)  x 0 (3) x x x x x x (4) Từ (2) (3) suy xg  x   g ( )  x  1 g  1 x 0 x Trong (1), cho y = -1 , lập luận tương tự xg  x   g ( )  g   1  x  1 x 0 (5) x Từ (4) (5) suy xg  x  ( g  1  g   1 ) x  ( g  1  g   1 x 0 hay g  x  a  b x 0, a, b x b hai số Suy f  x  a   x x 0 x b Thử lại ta thấy f  x  a   x x 0 thỏa mãn phương trình cho x Câu Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn ab ,1 a, b 9 Theo giả thiết ta có a  b c 2 số phương Nếu a, b khơng chia hết cho a  b 2  mod 3 , vơ lý a  b số phương suy ab 0  mod 3 +) Nếu a 9  81  b c  c  b 81 khơng có nghiệm ngun dương với b 9 +) Nếu a 8  b 3  b   3;6;9 , thứ tự trực tiếp ta thấy b = thỏa mãn Vậy số dễ thương lớn có chữ số 86 2 2 2 11 12 2025 452    Khi      1    Xét số A = 2222 2009 so1 2009 so 11    số dễ thương Suy A = 2222 2009 so1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word