ĐỀ SỐ 02 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ THPT chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm) xy y x y 0 Giải hệ phương trình x xy 0 Giải phương trình 18 x 16 x x 7 x x x x Câu (1,0 điểm) Tìm tất ba số hữu tỷ dương (m; n; p) cho số m p 1 ;n ; np pm số nguyên mn Câu (2,0 điểm) Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn a 2012 b 2012 c 2012 2011 Chứng minh b 2010 c 2010 a 2010 tồn số tự nhiên n cho a n 3 b n 3 c n 3 2011 a n 2 b n 2 c n 2 n n b n 1 c n 1 a n 1 2010 b n c a Cho a, b, c số thực dương Chứng minh với số tự nhiên m ta có bất đẳng thức a m 3 b m 3 c m a m b m c m m m m b m 1 c m 1 a m 1 b c a Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Tiếp tuyến B, C đường tròn O ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm T, đường thẳng TD EF cắt điểm S Gọi X, Y giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng TB, TC; M trung điểm cạnh BC Chứng minh H, M tâm đường tròn nội tiếp DEF XTY Chứng minh đường thẳng SH qua trung điểm đoạn thẳng BC Câu (1,0 điểm) Kí hiệu N tập hợp số tự nhiên Giả sử f : hàm số thỏa mãn điều kiện f 1 f m 2n f m f n với m, n Tính giá trị f f 2011 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ĐỀ SỐ 02 Câu 1 xy y x y 0 x xy 0 xy y 6 y 3x x xy 3 Nhân chéo vế, ta có: xy y y x x xy 3xy y 6 x y 3x xy 3x y x3 xy x y y 0 x xy x y y 0 x y tm x x y y x y 0 x y x y 0 x y l 3 ; ; ; 2 3 Hệ phương trình có nghiệm x; y Chú ý: Học sinh giải tốn tổng qt ax3 bx y cxy dy mx ny 2 a ' x b ' xy c ' y p Nhân chéo vế, ta có phương trình đẳng cấp x y: p ax3 bx y cxy dy mx ny a ' x b ' xy c ' y Chúng ta biến đổi phương trình phương trình tích (trong trường hợp phương trình đơn giản) Trong trường hợp phức tạp, ta làm sau Trường hợp 1: Xét y 0 x y Trường hợp 2: Xét y 0 , chia hai vế cho y đặt t , ta có phương trình bậc ẩn t, từ tính x theo y Tương tự, giải số hệ phương trình dạng sau ax bx3 y cx y dxy ey mx ny 2 a ' x b ' x y c ' xy d ' y p 2 Điều kiện x với điều kiện phương trình đưa dạng 18 x 16 2 x 3 x 1 7 x x 1 x x x 2x 2x x x x 0 Đặt a x x 1; b x thay vào phương trình ta 2a 7ab 6b 0 2a 3b a 2b 0 2a 3b; a 2b http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word +) a 2b x x 2 x phương trình vô nghiệm +) 2a 3b x 2 x 3 x giải phương trình nghiệm x 1 Vậy nghiệm phương trình cho x 1 Câu Giả sử tìm ba số (m; n; p) m, n, p số hữu tỉ dương cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a m 1 ; b n ;c p np pm mn Từ mnp anp bpm cmn Suy abc mnp mnp 1 u v Đặt mnp u , v , u , v 1 ta được: abc u2 u 1 abcu v u v (1) v2 v Do u , v 1 nên p số nguyên tố cho p | u v p | u p | v u v khơng chia hết cho p Do 1 abc u v u 2v abc u v u v 1 Suy u v 1, abc 8, mnp 1 Từ tìm a; b; c 1;1;8 , 1;2;4 , 2;2;2 hoán vị 1 1 m; n; p 1;1;1 ; ; ;4 ; ;1; hoán vị 2 2 Câu Ta chứng minh phản chứng Giả sử không tồn số tự nhiên n thỏa mãn với số tự nhiên n ta ln có a n 3 b n 3 c n 3 2011 a n 2 b n 2 c n 2 n n b n 1 c n 1 a n 1 2010 b n c a Lần lượt cho n 0,1, 2, , 2009 cộng vế 2010 bất đẳng thức ta a 2012 b 2012 c 2012 2011 2010 2010 2010 a b c 2011 2010 b c a 2010 Mâu thuẫn với giả thiết nên ta có ĐPCM Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số Tương tự ta b m2 cm a m 2 m số b ta có: m b a m2 a 2 m 2 b m 2 mb m m a bm b2m mc m m 2 b 2 m 2 c m m b c 2m http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word c m 2 c 2 m 2 a m m 2 ma m m c am a 2m Cộng vế bất đẳng thức ta Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho m số m Tương tự ta có m a m 2 b m 2 c m 2 m m a b c (1) m b c a a m 3 a ta được: b m 1 a m 3 a m m 3 a a m 2 m 1 a m m bm bm b m m 1 c m 3 b m m 3 b b m 2 m b m m m a m 1 c c m m 1 m c m 3 c m m 3 c c m 2 m 1 c m m a m 1 am a m m 1 Cộng vế bất đẳng thức ta a m b m c m 3 a m b m 2 c m 2 a m 2 b m 2 c m m m 1 m 1 m 1 m m m m m m m a b c c a c a b c a b b Kết hợp với (1) ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b c Câu +) Do tứ giác BFHD, DHEC CBFE nội tiếp nên FDH FBH FBE FCE HCE HDE Suy DH phân giác góc EDF Tương tự EH phân giác góc FH phân giác góc EFD Từ DEF H tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF a MCT BAC ; MB MC +) Do MBT d M ; BT d M ; CT a.sin A +) Ta có MEF HEF HEM HAB HEM 90 C A HAB HBM 90 B ME BC a a.sin A d M ; EF 2 a Do d M ;TB d M ;TC d M ; EF sin A nên M tâm đường tròn nội tiếp XTY http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word +) Do tứ giác AFDC nội tiếp TX tiếp xúc với O nên FDB FAC BAC CBT DBT Suy TX || DF Tương tự có TY || DE +) Từ đó, với k DF phép vị tự tâm S tỉ số k biến tam giác DEF thành tam giác TYX Và TX biến H (tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF) thành M (tâm đường tròn nội tiếp tam giác TYX) suy S, H, M thẳng hàng Câu Đặt f a Cho m n 0 f 3 f f 0 Cho m 1; n 0 f 1 f 1 f 1 1 Cho m n 1 f 3 3 2 Cho n 0 f m f m , m nên f a Mặt khác với số tự nhiên 2 k 3 k 1 k k 3 2k 2 2 f k 1 f k f k 3 f k (1) Từ (1) cho k 3 ta có f 4 2 2 f 1 f f a 16 a 2 f 2 Theo ta chứng minh f n n với n 0;1;2;3;4 Ta chứng minh quy nạp f n n Thật vậy, với n 3 từ đẳng thức (1) ta có: 2 2 f n 1 f n f n 3 f n f n 1 n 3 2n n n 1 f n 1 n 2 2 Do f n n, n f 2011 2011 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word