Đề thi hsg lớp 10, vĩnh phúc, hệ thpt chuyên, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 02 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ THPT chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm)  xy  y  x  y 0 Giải hệ phương trình   x  xy  0 Giải phương trình 18 x  16  x  x  7 x  x   x  x  Câu (1,0 điểm) Tìm tất ba số hữu tỷ dương (m; n; p) cho số m  p 1 ;n  ; np pm số nguyên mn Câu (2,0 điểm) Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn a 2012 b 2012 c 2012    2011 Chứng minh b 2010 c 2010 a 2010 tồn số tự nhiên n cho a n 3 b n 3 c n 3 2011 a n 2 b n 2 c n 2      n  n b n 1 c n 1 a n 1 2010 b n c a Cho a, b, c số thực dương Chứng minh với số tự nhiên m ta có bất đẳng thức a m 3 b m 3 c m  a m  b m  c m     m  m  m b m 1 c m 1 a m 1 b c a Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Tiếp tuyến B, C đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm T, đường thẳng TD EF cắt điểm S Gọi X, Y giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng TB, TC; M trung điểm cạnh BC Chứng minh H, M tâm đường tròn nội tiếp DEF XTY Chứng minh đường thẳng SH qua trung điểm đoạn thẳng BC Câu (1,0 điểm) Kí hiệu N tập hợp số tự nhiên Giả sử f :    hàm số thỏa mãn điều kiện f  1  f  m  2n   f  m     f  n   với m, n   Tính giá trị f   f  2011 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ĐỀ SỐ 02 Câu 1  xy  y  x  y 0    x  xy  0  xy  y 6 y  3x   x  xy 3 Nhân chéo vế, ta có:  xy  y   y  x   x  xy   3xy  y 6 x y  3x  xy  3x y  x3  xy  x y  y 0  x  xy  x y  y 0  x  y  tm   x  x  y   y  x  y  0   x  y   x  y  0    x  y  l   3  ; ;  ;    2  3   Hệ phương trình có nghiệm  x; y   Chú ý: Học sinh giải tốn tổng qt ax3  bx y  cxy  dy mx  ny  2 a ' x  b ' xy  c ' y  p Nhân chéo vế, ta có phương trình đẳng cấp x y: p  ax3  bx y  cxy  dy   mx  ny   a ' x  b ' xy  c ' y  Chúng ta biến đổi phương trình phương trình tích (trong trường hợp phương trình đơn giản) Trong trường hợp phức tạp, ta làm sau Trường hợp 1: Xét y 0 x y Trường hợp 2: Xét y 0 , chia hai vế cho y đặt t  , ta có phương trình bậc ẩn t, từ tính x theo y Tương tự, giải số hệ phương trình dạng sau ax  bx3 y  cx y  dxy  ey mx  ny  2 a ' x  b ' x y  c ' xy  d ' y  p 2 Điều kiện x  với điều kiện phương trình đưa dạng 18 x  16  2   x  3  x  1 7  x    x  1   x    x    x   2x   2x    x   x    x   0 Đặt a  x   x  1; b  x  thay vào phương trình ta 2a  7ab  6b 0   2a  3b   a  2b  0  2a 3b; a 2b http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word +) a 2b  x   x  2 x  phương trình vô nghiệm +) 2a 3b  x   2 x  3 x  giải phương trình nghiệm x 1 Vậy nghiệm phương trình cho x 1 Câu Giả sử tìm ba số (m; n; p) m, n, p số hữu tỉ dương cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a m  1 ; b n  ;c p  np pm mn Từ mnp  anp bpm cmn Suy abc  mnp   mnp  1 u v  Đặt mnp  u , v   ,  u , v  1 ta được: abc u2  u    1  abcu v  u  v  (1) v2  v  Do  u , v  1 nên p số nguyên tố cho p | u v p | u p | v u  v khơng chia hết cho p Do  1  abc   u  v u 2v abc  u  v   u v 1 Suy u v 1, abc 8, mnp 1 Từ tìm  a; b; c   1;1;8  ,  1;2;4  ,  2;2;2  hoán vị 1  1   m; n; p   1;1;1 ;  ; ;4  ;  ;1;  hoán vị 2  2  Câu Ta chứng minh phản chứng Giả sử không tồn số tự nhiên n thỏa mãn với số tự nhiên n ta ln có a n 3 b n 3 c n 3 2011 a n 2 b n 2 c n 2      n  n b n 1 c n 1 a n 1 2010 b n c a Lần lượt cho n 0,1, 2, , 2009 cộng vế 2010 bất đẳng thức ta a 2012 b 2012 c 2012 2011  2010  2010  2010  a  b  c  2011 2010 b c a 2010 Mâu thuẫn với giả thiết nên ta có ĐPCM Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số Tương tự ta b m2 cm a m 2 m số b ta có: m b a m2 a 2 m 2 b m 2  mb  m   m   a   bm b2m  mc  m   m 2 b 2 m  2 c m  m   b c 2m http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word c m 2 c 2 m  2 a m m 2  ma  m   m   c   am a 2m Cộng vế bất đẳng thức ta Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho m số m Tương tự ta có m a m 2 b m 2 c m 2  m  m a  b  c (1) m b c a a m 3 a ta được: b m 1 a m 3 a m m 3 a a m 2 m 1  a  m   m      bm bm b m m 1 c m 3 b m m 3 b b m 2 m   b  m   m      m a m 1 c c m m 1 m c m 3 c m m 3 c c m 2 m 1  c  m   m      a m 1 am a m m 1 Cộng vế bất đẳng thức ta  a m  b m  c m 3   a m  b m 2 c m 2  a m 2 b m 2 c m  m  m 1  m 1  m 1  m  m  m  m   m  m  m  a  b  c c a  c a  b c a b  b Kết hợp với (1) ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy  a b c Câu +) Do tứ giác BFHD, DHEC CBFE nội tiếp nên       FDH FBH FBE FCE HCE HDE  Suy DH phân giác góc EDF Tương tự EH phân giác góc   FH phân giác góc EFD Từ DEF H tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF a    MCT BAC ; MB MC  +) Do MBT  d  M ; BT  d  M ; CT   a.sin A +) Ta có      MEF HEF  HEM HAB  HEM     90  C   A HAB  HBM 90  B ME  BC a a.sin A   d  M ; EF   2 a Do d  M ;TB  d  M ;TC  d  M ; EF   sin A nên M tâm đường tròn nội tiếp XTY http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word      +) Do tứ giác AFDC nội tiếp TX tiếp xúc với  O  nên FDB FAC BAC CBT DBT Suy TX || DF Tương tự có TY || DE +) Từ đó, với k  DF phép vị tự tâm S tỉ số k biến tam giác DEF thành tam giác TYX Và TX biến H (tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF) thành M (tâm đường tròn nội tiếp tam giác TYX) suy S, H, M thẳng hàng Câu Đặt f   a Cho m n 0  f   3  f     f   0 Cho m 1; n 0  f  1  f  1   f  1 1 Cho m n 1  f  3 3 2 Cho n 0  f  m   f  m   , m   nên f   a Mặt khác với số tự nhiên 2 k 3   k  1   k    k  3  2k 2 2   f  k  1    f  k     f  k  3    f  k   (1) Từ (1) cho k 3 ta có  f  4  2 2   f  1   f      f     a 16  a 2  f   2 Theo ta chứng minh f  n  n với n 0;1;2;3;4 Ta chứng minh quy nạp f  n  n Thật vậy, với n 3 từ đẳng thức (1) ta có: 2 2  f  n  1    f  n     f  n  3    f  n     f  n  1   n  3  2n   n    n  1  f  n  1 n  2 2 Do f  n  n, n    f  2011 2011 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word