Đề thi hsg lớp 10, hà tĩnh, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Giải bất phương trình: x  x  2   x  x   x  xy  y10  y Giải phương trình sau:   x   y  6 Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:  x  m  y  x  my    x  y xy Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2;4) đường thẳng d1: 2x – y – = 0, d2: 2x + y – = Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I (C) cắt d1 A, B cắt d2 C, D thỏa mãn AB2 + CD2 + 16 = 5AB.CD Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL CM b   Tính cosA AL c Cho a, b  R thỏa mãn   a    b   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P : 16  a   b Câu Cho f  x   x  ax  b với a, b  Z tỏa mãn điều kiện: Tồn số nguyên m, n, p đôi phân biệt m, n, p 9 cho: f  m   f  n   f  p  7 Tìm tất số (a;b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu a) điều kiện: x  Đặt t  x   t 0  2x = t2 + 2 2 Khi ta có: x – 6x  –  – x  t 0  x  2tx  4t   t 1  0 2   x  t    2t  1 0   x  3t  1  x  t  1 0  x  t (do x  3t   0; x  ; t 0)  x 1  x 2  Với x  t ta có x   x     x  x  2 x  Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S   2;    x  xy  y10  y (1) b)   x   y  6 (2) Điều kiện: x  Trường hợp 1: y = 0, (1)  x 0 (khơng thỏa mãn phương trình (2))  x x Trường hợp 2: y  0, chia hai vế (1) cho y5 , ta có:     y  y y  y 5 5 5 x  x  x x Nếu  y    y  y      y  y (thỏa mãn) y y  y  y x  x  x x Nếu  y    y  y      y  y (loại) y y  y  y x  x  x x Nếu  y    y  y      y  y (loại) y y  y  y x Vậy  y  y x Thay vào (2): y x   x  6  x  37 x  40 23  x 23  x    x 1  y 1  x  42 x  41 0  Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ là: (1;1) (1;-1) Chú ý: Nếu toán có phương trình biến đổi dạng  x a   y m 1  x b   y n 1 ay m 1  by n với a, b  0, m, n  N Thì ta chứng minh x y y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  my  y  m 0 (1) Câu 2: Hệ cho tương đương với:   x  yx  y 0 (2)  y 0 Phương trình (2) (ẩn x) có nghiệm  x  y  y 0    y  Trường hợp 1: m = 0, ta có y = 0, x = Suy m = thỏa mãn Trường hợp 1: m 0 Phương trình (1) (ẩn y) khơng có nghiệm thuộc khoảng   ;  4   0;  (*) (1) vô nghiệm (1) có nghiệm thuộc ( -4; 0), điều kiện   1  4m2      1  4m     1  4m 0     1  4m 0      4m    y         2m     y      4m    0  2m   1 1    m    ;     ;           m      m   8m (A)     m    8m ( B )    (với y1, y2 nghiệm phương trình (1))  1  m    m  (A)   17   m    8m   1   (B)  m    ;     ;   17     Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (1) (ẩn y) có nghiệm thuộc khoảng   ;  4   0;   hay (*) không xảy ra, điều kiện  m  ; m 0 Vậy tất giá trị m 17 m  17 Câu 3: Gọi hình chiếu I d1, d2 E, F Khi IE d 1,d1   ; IF d 1,d2   5 cần tìm    Gọi R bán kính đường trịn (C) cần tìm  R   5  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word AB 2 AE 2 R  36 ;CD 2 CF 2 R  5 4 36  36   R2  Theo giả thiết ta có:  R     R    16 20 R  5  5    R  16 4  5R    R  36   R    5R    R  36        R    R    R  36   R    R 2  R   5 5   2 Vậy phương trình đường trịn (C) cần tìm (C):  x     y   8 Câu 4.1 Ta có: AL  b c CA  CB AB  AC AB  AC ; CM   bc bc 2 Theo giả thiết: AL  CM  AL.CM 0   bAB  c AC   AB  AC  0  bc  bc cos A  2cb cos A  2cb 0   c  2b    cos A  0  c 2b  cos A   1 b  c Khi đó: Vậy b2  a c a  b2   2 1 AL2  AB  AC  AB  AC  AB AC 9 CM      1 b2  c2  a  1 2 2   b  c  2bc    b  c   a   10b  a  9 2bc    a  b2 CM CM  5    5 2 10b  a AL AL 2 a b     2a  2b    10b  a  2 10b  a       a  52  20  b       2a   a 2b  50  20 b   7 2 a 52  20   b 7 Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  b  c  a 5b  a b 35  10  52  20 cos A    2bc 4b 4b      10  17 10  17  28  7   Theo bất đẳgn thức Minkowski, ta có: Dấu xảy khi: a  b2  c2  d   a  c 2   b  d  (1) a b  c d 2  2   Áp dụng (1) ta có: P    a    b    a  b2       Mặc khác:   2a    b   a 4  4b  16  a  2b  ab  (3) 2   a  2a   a  4b  b   b   2a  4b  2ab  a  4b 2 (4) Mà:   2 a  b  2ab  Từ (2) (4) suy ra: P 2 17 Dấu = xảy khi: a = b = Vậy MinP = 17 đạt a =1 b = Câu số f(m), f(n), f(p) dương, âm có số dâu nên: Trường hợp 1: f(m), f(n), f(p) –7 →Loại phương trình f(x) – = có nghiệm phân biệt Trường hợp 2: f(m) = f(n) = f(p) = –7 Khơng tính tổng qt, giả sử m > n cà m  p  n  p ta có: m, n nghiệm phương trình: x  ax  b  0 p nghiệm phương trình x  ax  b  0 nên:   n  p 2  n  m 9 (l )    p  m 7  n  p     n  m  (l )   p  m  Trường hợp 3: f(m) = f(n) = –7 f(p) = 7, hồn tồn tương tự ta có:  m  p   m  p 7  p  n   m  p   14     p  n 2  p  n  Do m, n, p  [1;9] nên tìm là: (a;b)  {(11;17), (13;29), (7;-1), (9;7)}  m  n a   n  p   n  p  a  14   n  p   p  m  14    m  p   m  p  a  14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word