Đề thi hsg lớp 10, bắc giang, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, Bắc Giang, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Cho hàm số y  f  x   x   m  1 x  m Tìm m để bất phương trình f  x  0 nhận x thuộc R nghiệm Tìm m để bất phương trình f  x  0 có hai nghiệm x1, x2 lớn Câu (4 điểm) Giải phương trình: x   x   x  x   6,  x     x  x y  y x y  x y  x  x, y    Giải phương trình:  x   y   x  y   Câu (4 điểm) Giải bât phương trình: x   x   x3  x  1,  x   Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x A  cos x  sin x  2sin x 3  sin x  cos x    sin x  cos x  Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC ta có GA.GB  GB.GC  GC.GC   AB  BC  CA2  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A (1;2) Đường thẳng chứa canh BC có phương trình: x + y + = Tìm tọa độ B C, biết AB = 2AC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2 (C1):  x  1   y  3 0 (C2):  x     y   5 Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt đường tròn (C1) (C2) M, N (M, N không trùng A) Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c   1 a  b  c b  c  a c  a2  b Đáp Án Câu 1 Ta có: a 1  0,  ' m  3m   3 3  f ( x) 0 x     ' 0  m  3m  0  m   ;  2     ' 0  Yêu cầu toán tương đương với  x1  1  x2  1    x1  1   x2  1   3 3  m m   ' 0 2   3   x1 x2   x1  x2     3  m   m 3  2m    x1  x2     Câu 2.1 Điều kiện: x 3 Phương trình cho tương ứng với  x 1  x   0 x   0     x   0  Điểu kiện x, y ≥   x 10   x 7 2 Phương trình thứ hệ tương đương với  x  y   x  xy   0 (*) nên x2 + 2xy + > Vì (*)  x  y 0  x  y , thay vào phương trình thứ hai hệ: Dox, y ≥  x 2 2 x  3 x      x  1  x  1  Giải ta x =1, x =  5 Vậy nghiệm phương trình (1;1)  ;   9 Câu Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với   x  1 3x  1     3x     x   x3  3x  x  x  1  x  x   x 3     x  1  x  3x     3x  1   0 (1) x 3 2   3x   Ta có: x  x   3x  x  1   0, x  = x2  x  x 3 2 3x  1 x 3 2 Do (1)  x  0  x 1 Vậy  x 1 Ta có: A  cos x  sin x  2sin x 3   2sin x cos x     3sin x cos x  A  cos x  sin x  2sin x 3  6sin x cos x   6sin x cos x A  cos x  sin x  2sin x 1 Vậy A = 1, suy A không phụ thuộc vào biến x 4ma2 4mb2   AB GA  GB  AB Câu 4.1 Ta có 9 GA.GB   2 Tương tự với đẳng thức cịn lại, sau cơng đẳng thức lại ta được: 2  ma2  mb2  mc2  GA.GB  GB.GC  GC GA    AB  BC  CA2  Sử dụng công thức trung tuyết suy điều phải chứng minh Ta có: d(A; BC) = 2 ∆ABC vuông A nên 1 1    2 AB AC d  A; BC  Kết hợp với điều kiện AB = 2AC ta AC2 = 10 Mà C  BC nên C(a; – a – ) 2   a  1   a  3 10  2a  4a  10 10  a 0 a = - +) Với a = suy C(0; - 1)  Phương trình AB qua A, vecto pháp tuyến AC   1;  3 x + 3y –7=0 Từ tìm tọa độ điểm B (-5;4) +) Với a = -2 suy C(-2;1)  Phương trình AB qua A, vecto pháp tuyến AC   1;  3 x + 3y – = Từ tìm tọa độ điểm B (3;-4) Đường trịn (C1) có tâm I1 (1;3) bán kính R1 = 3, (C2) có tâm I2 (2;-2) bán kính R2 = Ta có A điểm chung hai đường tròn   Gọi n  a; b  0 vecto pháp tuyến đường thẳng    : ax  by  a 0  3b  d  I1 ;    a  b2    d I ;   a  2b    a  b2 Ta có:   36a 2 MA  R  d I ;       1  a  b2   2  MB 4 R  d I ;  16a  16ab  4b     2  a  b2 2 Do MA = 2MB nên MA2 = 4MB2  36a 4  16a  16ab  4b  7a +) với a  2n , ta chọn b  1, a 2  phương trình ∆: 2x – y – = 7a +) với b  , ta chọn a 2, b   phương trình ∆: 2x –7y – = 2 1  Câu 5: Ta có    c   a  b  c   a  b  c  9 a   a  2n b  1  a  1  c  a a  1  a  ac   a b c 9 Do ta chứng minh   a  b  c    ab  bc  ac  a b c    a  b  c b3  c  a c  a  b Mà  ab  bc  ac   a  b  c  9   ab  bc  ac  3 Vậy a b c 333    1 (điều phải chứng minh) 2 a b c b c a c a b