Đề thi hsg lớp 10, kon tum, năm học 2013 – 2014

(Đề thi HSG lớp 10, Kon Tum, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2 điểm) Cho hàm số y  x  2mx  3m hàm số y = –2x + Tìm m để đồ thị hàm số cắt điểm phân biệt hồnh độ chúng dương Giải phương phương trình:  x  x  12  10  x Câu (2 điểm) 3 Giải phương trình:  x  x  3  x  2 Giải phương trình: x  11x  23 4 x  Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A (hoành độ A dương), d cắt trục tung B (tung độ B dương) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):  x     y  3 9 điểm A (1;-2) Đường ∆ qua A, ∆ cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN Câu (3 điểm) Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành AB  BC  CD  AC  BD 1 Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn:   AB = c; AC = b; đường cao qua A b c ha) Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2  a  b   b  c   c  a  2a 2b 2c   3  b c c  a a b  a  b  c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án 2 Câu Ta có: x  2mx  3m  x   x   m  1 x  3m  0   '   Điều kiện   3m    m       m  1  Ta có  x  x  12  10  x Tập xác định:  x  x  12 0   x 6 Nếu  x 6  x  x  12 0  10  x , bất phương trình nghiệm với  x 6 10  x 0 Nếu  x 6   bất phương trình cho   x  x  12 0   x  x  12  x  40 x  100  x  48 x  112   a  x  28 Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có:  x 5 Tập nghiệm bất phương trình cho:  4;6 3 Câu Ta có  x  x  3  x  (1)  y  x 3 (I ) Đặt y 4 x  x  (1) có dạng:  x  x   y  Khi nghiệm (1) x ứng với (x;y) nghiệm (I) 3 2 y  x3 3 2 y  x 3 (2)  Từ (I)   2 x  y  x  y      x  y   x  xy  y  1 0 (3) Trường hợp 1: y = x kết hợp (2), có nghiệm (1): x  3 2 ' Trường hợp 2: x  xy  y  0;  x 2  y Nếu có nghiệm y  3  2 2  chứng tỏ trường hợp vơ nghiệm Tương tự có x  Khi VT (2) 4    3 3   phương trình (1) có nghiệm x  3 Cách 1: Ta có x  11x  23 4 x    Điều kiện x   1   x  x    x   x   0 2  x  3   x 1   0  *  x  0  x 3 Do a 0  a  nên phương trình (*)    x   0 Vậy phương trình cho có nghiệm x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x  u  u 0  ta có u   x Cách 2: Đặt Vậy x  11x  23 4 x    u  1  11 u  1  23 4u  2u  15u  4u  36 0   2u  16u  32    u  4u   0 2   u     u   0   u   2   u   1 0  u 2  x 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 1) M(1;4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A; d cắt trục tung B Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giấc OAB  x A ; yH   x y Giả sử A(a;0); B(0;b), a > 0; b > Phương trình đường thẳng AB:  1 a b Vì AB qua M nên  4 16  1  2  1 a b ab ab ab 8;" "     a b  a 2  b 8 Diện tích tam giác vng OAB (vuông O) S = 1 OA, OB  ab 8 2 Vậy S nhỏ d qua A(2;0) , B(0;8) 2  C  :  x     y  3 9; A  1;   ∆qua A, ∆ cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN (C) có tâm I(2;-3), bán kính R = Có A nằm đường trịn 2 (C) IA2        3 2  Kẻ IH vng góc với MN H ta có IH  HN IN 9  MN 4 HN 4   IH  Mà IH  AH  IH IA   MN 4    28  MN 2 Vậy MN nhỏ nhấn H trùng A hay MN vng góc với IA A Câu 4.1) Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành AB  BC  CD  DA2  AC  BD      Tứ giác lồi ABCD hình bình hành  AB DC  AB  DC 0     2    AB  DC 0  AB  DC  AB.DC 0    2  AB  DC  AB AC  AD 0      AB  DC   AB  AC  BC    AB  AD  BD  0   2   2   2 2   (vì a  b a  2a.b  b  2a.b a  b  a  b )    (*)  (*)  AB  BC  CD  DA2  AC  BD (điều phải chứng minh) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2) Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: Có a.ha 2 S bc sin A  1  2 2 b c (1) a2 4R2   ha2 b 2c sin A b c  b  c 4 R  sin B  sin C 1   cos  B  C  cos  B  C  0     B  C  hay A     B  C  ;0  B  C     B  C    Vậy tam giác ABC vuông A có B  C  Câu 2a 2b 2c a  b a  c b  c b  a c  a c  b  1  1  1   Xét M = b c ca a b b c ca a b 1 1 1 (a  b)(  )  (b c)(  )  (c a)(  ) bc c a c  a a b a b b c 1 2  a  b    b  c   c  a  b  c  c  a  c  a  a b  a b  b  c Từ (1) 4   Vì b  c c  a  2     a  b  2c   2a  2b  2c   a  b  c   a  b 0   a  b    a  b  b  c  c  a  a  b  c ; Dấu “=” xảy  a b Làm hoàn toàn tương tự với biểu thức lại Suy M  a  b  2   b  c   c  a  a  b  c 2 (điều phải chứng minh) Dấu “=” xảy  a b c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word