Đề thi hsg lớp 10, vĩnh phúc, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 03 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Giải phương trình:  x   3 x   x 3 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  2b  5c 0 Chứng minh phương trình ax  bx  c 0 có nghiệm Câu 2  x  xy  x  y 0 2  x  x y  3x  y 0 Giải hệ phương trình:  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A  1;3 , B   5;  3 Xác định tọa độ điểm M   đường thẳng d : x  y  0 cho 2MA  MB đạt giá trị nhỏ Câu Tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: cot A  cot C  cot B Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác ABC   Tìm giá trị lớn góc B  2 Câu Ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1   1 a b2 c Tìm giá trị lớn biểu thức: P 5a  2ab  2b  5b  2bc  2c  5c  2ca  2a http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ĐỀ SỐ 03 Câu 1 Ta có:  x   3 x   x  (*) Điều kiện x 5 Khi (*)    x   x   x     x     x    x   x  48  x  x 0 (1)  x   x  4   x     x   x  4 (2)  Từ (1)  x 6 thỏa mãn điều kiện Từ (2) 29  x   29  x 0 17  5    x  3  x   29  x     x  x  17 x  61 0  x 17 3  17  Nghiệm phương trình x 6, x  Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a  2b  5c 0 Chứng minh phương trình ax  bx  c 0 (1) có nghiệm Trường hợp 1: a 0 suy 2b  5c 0 phương trình (1) trở thành bx  c 0 (2) +) Nếu b 0  c 0 : Phương trình (2) có nghiệm (vơ định) +) Nếu b 0 phương trình (2) có nghiệm (duy nhất) Trường hợp 2: a 0 Ta có b  a  5c 2  b2  4ac  4 4b2  16ac  a  5c   16ac a  6ac  25c  a  3c   16c 0 Vậy phương trình (1) ln có nghiệm  x  xy  x  y 0 (1) 2  x  x y  3x  y 0 (2) Câu Ta có:   x  xy  x  y 0   2  x  x y  x  y 0  x  y 4 xy  x  2 2  x  y  12 x y  x  x 2 y 4 xy  x  x  y 4 xy  x   2 2 2  x  y  1 3 x  y  1  xy  x  12 x y  x  x  y 4 xy  x   x  y  1  y   0 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word Trường hợp 1: x 0  y 0   x; y   0;0  nghiệm hệ Trường hợp 2: y 1  x  3x  0   x; y   1;1   x; y   2;1 Trường hợp 3: y   x  0 (loại) Vậy hệ có nghiệm  0;0  ,  1;1 ,  2;1 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A  1;3 , B   5;  3 Xác định tọa độ điểm   M đường thẳng d : x  y  0 cho 2MA  MB nhỏ Gọi I  x0 ; y0     điểm thỏa mãn IA  IB 0   2   x0  x0   IA BI    2   y0   y0   x0    y0 1 Vậy I   1;1 Ta có       MA  MB  MI  IA  MI  IB      3MI  IA  IB 3 MI 3MI   Như 2MA  MB nhỏ MI nhỏ Suy M hình chiếu I   d  x 2t  Gọi tọa độ M  2t0  1; t0   y t Phương trình tham số d    Suy IM  2t0 ; t0  1 Ta có IM ud 0  2.2t0  t0  0  t0   3 1 Vậy M  ;   5 Câu Ta có: cot A  b2  c2  a a  c2  b2 b2  a  c ;cot B  ;cot C  4s 4s 4s Khi   Ta có: cot A  cot C  cot B  b2  c  a a  b2  c c  a  b   4s 4s 4s  5b a  c Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word 4  b2  c a  4  a2  b2 c2  2 AG  AA12      ; CG  CC1    9  9 4 4 9 2 Suy AG  CG   b  a  c   5b  4b     b  AA1  CC1  9  Vậy góc AA1 CC1 90° cot A  cot C 2cot B  Ta có cos B  b2  c2  a a  b2  c c  a  b2  2  a  c 2b 4s 4s 4s a  c  b a  c 2ac  60    Suy B 2ac 4ac 4ac Dấu = xảy tam giác ABC 1   1 a b c Câu Cho a, b, c số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức: P 5a  2ab  2b  5b  2bc  2c  5c  2ca  2a 2 Ta có: 5a  2ab  2b  2a  b    a  b   2a  b  Suy (vì 5a  2ab  2b  1 1     2a  b  a b  (1) 1 1 9       ) a b a a b a  a  b 2a  b 1 1     9 b c  5b  2bc  2c Tương tự 2 (2) 5c  2ca  2a  1      2c  a  c a  1 (3) 1 Cộng theo vế (1), (2) (3) suy P      3 a b c  Mặt khác 1 1 1 1 1 1 1 1             1     a b2 c  a b c  3 a b c  a b c Suy P  Dấu = xảy a b c  http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word