ĐỀ SỐ 03 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Giải phương trình: x 3 x x 3 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a 2b 5c 0 Chứng minh phương trình ax bx c 0 có nghiệm Câu 2 x xy x y 0 2 x x y 3x y 0 Giải hệ phương trình: Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1;3 , B 5; 3 Xác định tọa độ điểm M đường thẳng d : x y 0 cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ Câu Tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: cot A cot C cot B Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác ABC Tìm giá trị lớn góc B 2 Câu Ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1 1 a b2 c Tìm giá trị lớn biểu thức: P 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word ĐỀ SỐ 03 Câu 1 Ta có: x 3 x x (*) Điều kiện x 5 Khi (*) x x x x x x x 48 x x 0 (1) x x 4 x x x 4 (2) Từ (1) x 6 thỏa mãn điều kiện Từ (2) 29 x 29 x 0 17 5 x 3 x 29 x x x 17 x 61 0 x 17 3 17 Nghiệm phương trình x 6, x Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2b 5c 0 Chứng minh phương trình ax bx c 0 (1) có nghiệm Trường hợp 1: a 0 suy 2b 5c 0 phương trình (1) trở thành bx c 0 (2) +) Nếu b 0 c 0 : Phương trình (2) có nghiệm (vơ định) +) Nếu b 0 phương trình (2) có nghiệm (duy nhất) Trường hợp 2: a 0 Ta có b a 5c 2 b2 4ac 4 4b2 16ac a 5c 16ac a 6ac 25c a 3c 16c 0 Vậy phương trình (1) ln có nghiệm x xy x y 0 (1) 2 x x y 3x y 0 (2) Câu Ta có: x xy x y 0 2 x x y x y 0 x y 4 xy x 2 2 x y 12 x y x x 2 y 4 xy x x y 4 xy x 2 2 2 x y 1 3 x y 1 xy x 12 x y x x y 4 xy x x y 1 y 0 http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word Trường hợp 1: x 0 y 0 x; y 0;0 nghiệm hệ Trường hợp 2: y 1 x 3x 0 x; y 1;1 x; y 2;1 Trường hợp 3: y x 0 (loại) Vậy hệ có nghiệm 0;0 , 1;1 , 2;1 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1;3 , B 5; 3 Xác định tọa độ điểm M đường thẳng d : x y 0 cho 2MA MB nhỏ Gọi I x0 ; y0 điểm thỏa mãn IA IB 0 2 x0 x0 IA BI 2 y0 y0 x0 y0 1 Vậy I 1;1 Ta có MA MB MI IA MI IB 3MI IA IB 3 MI 3MI Như 2MA MB nhỏ MI nhỏ Suy M hình chiếu I d x 2t Gọi tọa độ M 2t0 1; t0 y t Phương trình tham số d Suy IM 2t0 ; t0 1 Ta có IM ud 0 2.2t0 t0 0 t0 3 1 Vậy M ; 5 Câu Ta có: cot A b2 c2 a a c2 b2 b2 a c ;cot B ;cot C 4s 4s 4s Khi Ta có: cot A cot C cot B b2 c a a b2 c c a b 4s 4s 4s 5b a c Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word 4 b2 c a 4 a2 b2 c2 2 AG AA12 ; CG CC1 9 9 4 4 9 2 Suy AG CG b a c 5b 4b b AA1 CC1 9 Vậy góc AA1 CC1 90° cot A cot C 2cot B Ta có cos B b2 c2 a a b2 c c a b2 2 a c 2b 4s 4s 4s a c b a c 2ac 60 Suy B 2ac 4ac 4ac Dấu = xảy tam giác ABC 1 1 a b c Câu Cho a, b, c số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức: P 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a 2 Ta có: 5a 2ab 2b 2a b a b 2a b Suy (vì 5a 2ab 2b 1 1 2a b a b (1) 1 1 9 ) a b a a b a a b 2a b 1 1 9 b c 5b 2bc 2c Tương tự 2 (2) 5c 2ca 2a 1 2c a c a 1 (3) 1 Cộng theo vế (1), (2) (3) suy P 3 a b c Mặt khác 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b2 c a b c 3 a b c a b c Suy P Dấu = xảy a b c http://dethithpt.com – Website chuyên Đề thi – Tài liệu file Word