Đề thi HSG lớp 10, duyên hải và đồng bằng bắc bộ, năm học 2013 – 2014

(Đề thi HSG lớp 10, Duyên hải Đồng Bắc Bộ, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: ( x − 3) − x + ( 15 − x ) x − = −9 x + 27 x − 14 + 11 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC (BC < AC) Gọi M trung điểm AB, AP vng góc với BC P, BQ vng góc với AC Q.Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB T chứng minh TH ⊥ CM, H trực tâm tam giác ABC Câu (4 điểm) x với x ∈ ¡ Chứng minh rằn tồn số thực phân biệt a, b, c cho f(a)+f(b)+f(c)=0 Câu (4 điểm) Giả sử m, n số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 + m = 12m3 + n Chứng minh m – n lập phương số nguyên Câu (4 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ để 2013n – chia hết cho 22014 Cho hàm số f : ¡ → ¡ (¡ tập số thực) thỏa mãn f ( f ( x ) ) = x + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án ≤x≤ 3 Đặt a = − x , b = 3x − ( a, b ≥ ) Suy Câu Điều kiện:  a + b =  2 ( 2b + 1) a + ( 2a + 1) b = 2ab + 11 2  s − p = 2 p = s −  p = s − ⇔ ⇔ ⇔  2 sp + s = p + 11  s ( s − ) + s = s − + 11  s − s − s − = ( s = a + b, p = ab )  a =  2 p = s − p = x =1  b = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    a =1 s = x − ( s − 3) ( s + s + ) =    b = Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình x = x = Câu Gọi CD ⊥ AB D Khi AP, BQ, CD đồng quy nên T, B, D, A hàng điểm điều hòa ( ( TDBA ) = −1) Do ta có TM.TD = TA.TB Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CDM ngoại tiếp tứ giác ABPQ, tâm hai đường tròn nằm CM Nhưng TM.TD = TA.TB HP.HA = HQ.HB nên H, T nằm trục đẳng phương hai đường tròn nói Vậy HT ⊥ CM 3 Câu Đặt g ( x ) = x + x f ( f ( x ) ) = g ( x ) Suy f ( g ( x) ) = f f ( f ( x) ) = g ( f ( x) ) ( ) Dễ thấy g ( x ) đơn ánh nên từ f ( f ( x ) ) = g ( x ) suy f(x) đơn ánh 1  Gọi x0 điểm cố định hàm g ( x ) ⇒ g ( x0 ) = xo ⇒ x0 ∈ 0; − ;  2  Ta có f ( x0 ) = f ( g ( x0 ) ) = g ( f ( x0 ) ) Suy f ( x0 ) điểm cố định hàm g ( x ) , f ( x ) 1  song ánh tâp D = 0; − ;  nên: 2  1  1 1 f  − ÷+ f ( ) + f  ÷ = − + + = 2  2 2 Từ ta có điều phải chứng minh Câu Ta có: a + b + c + abc ( a + b + c ) ≥ k ( ab + bc + ca ) Vì bất đẳng thức với giá trị a,b,c nên với a = b = c = ⇒ k ≤ Ta chứng minh k = Xét k = giá trị lớn 2 4 bất đẳng thức trở thành a + b + c + abc ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) 3 (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( a 2b + b c + c a ) + abc ( a + b + c ) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ( a + b4 ) + ( b4 + c ) + ( a + c ) ≥ 2a 2b2 + 2b2c + 2c a 4 2 2 2 Suy ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( a b + b c + c a ) (2) Mặt khác ( a 2b2 + b2c + c 2a ) − abc ( a + b + c ) = 12 ( ab − bc ) + 12 ( bc − ca ) + 12 ( ca − ab ) ≥ (3) Từ (2) (3) suy (1) chứng minh Vậy số k lớn k = k Câu Xét n = t với k,t cac số tự hiên t số lẻ Đặt 2013n − = a n − k k t k k t −1 k a n − = a t − = a − = a −  a + + a + 1   n 2014 2k 2014 Do t số lẻ nên a − 1M2 ⇔ a − 1M2 ( ) ( )( ) ( ) k −1 2 k Ta có a − = ( a − 1) ( a + 1) ( a + 1) a + a chia dư nên a + chia dư k k −1 ⇔ ( k − 1) + ≥ 2014 Do a − 1M2 Từ suy giá trị nhỏ n cần tìm n = 22012 n 2014 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chia dư nên a + chia dư k k −1 ⇔ ( k − 1) + ≥ 2014 Do a − 1M2 Từ suy giá trị nhỏ n cần tìm n = 22012 n 2014 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... bc + ca ) 3 (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( a 2b + b c + c a ) + abc ( a + b + c ) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ( a + b4 ) +... k Câu Xét n = t với k,t cac số tự hiên t số lẻ Đặt 2013n − = a n − k k t k k t −1 k a n − = a t − = a − = a −  a + + a + 1   n 2014 2k 2014 Do t số lẻ nên a − 1M2 ⇔ a − 1M2 ( ) ( )( ) (