Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.. Gọi O là trung điểm của XY ; I là điểm thuộc đường phân giác của góc XAY sao cho OI không vuông góc với XY và I không
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
TỈNH NAM ĐỊNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ VIII - NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN - LỚP 11
Thời gian: 180 phút
2
3 2
1
2 1
2 3 5 7 2
log
x y
x
Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số xn xác định bởi:
1 Với mỗi n *, đặt n 2
n
n y x
Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó
2 Tìm các số để dãy nx n
có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0
Bài 3: (4 điểm)
Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A B, AX AY, lần lượt là
các đường kính của O1 và O2 Gọi O là trung điểm của XY ; I là điểm thuộc
đường phân giác của góc XAY sao cho OI không vuông góc với XY và I không thuộc hai đường tròn Đường thẳng đi qua A vuông góc với AI lần lượt cắt các đường tròn O1 , O2 tại các điểm E F, khác A IX cắt đường tròn O1 tại
điểm thứ hai K, IY cắt đường tròn O2 tại điểm thứ hai L
1 Gọi C là giao điểm của EF với IX Chứng minh rằng OE là tiếp tuyến của đường tròn CEK
2 Chứng minh rằng 3 đường thẳng EK FL OI đồng quy., ,
Bài 4: (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P x x thỏa mãn
Với mọi , ,a b c thỏa mãn ab bc ca 0
Bài 5: (4 điểm) Cho số nguyên dương n 3
Chứng minh rằng tập hợp X 1 2 3; ; ; ;n2 n có thể chia thành hai tập con không giao nhau sao cho không tập nào trong chúng chứa n phần tử , , , n
a a1 2 a với a1 a2 a n và k k
k
2 với mọi k 2 3; ; , n 1 HẾT
-ĐỀ DỮ LIỆU
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
TỈNH NAM ĐỊNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11
1
(4
điểm)
2
3 2
1
2 1
log
x y
x
Điều kiện: 2x y 1 0 Ta có 2 10 1 5 3 7 2 0
x y x y
x y
Đặt t x y ta có phương trình 10 1 5 3 7 2 0
t
(*) Xét hàm số 10 1 5 3 7 2
t
f t
với t
Ta có ' 10 1 ln1 5 3 ln3 7 ln 7 0
t
f t t
Nên hàm số f t nghịch biến trên
Mà f 1 0 suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất t 1
1,0
1,0
Xét hàm số g t log3t3t với t 0 ta có ' 1 3 0 0
ln 3
t
g t
đồng biến trên 0;
Do đó phương trình ** có dạng
2 2
x x
1,0
2
2
2 2
0,5
Trang 3(4
điểm)
Cho dãy số xn xác định bởi:
1 Với mỗi n *, đặt n 2
n
n y x
hữu hạn và tính giới hạn đó.
2 Tìm các số để dãy nx n
có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0.
1 Từ giả thiết suy ra 1 2 1 2 2 2
Do đó limx n
0,5
Xét
2 2
1 2 3 2014 2015 1 2 3 2014 2015
Suy ra 2 2
1
lim x n x n 2
1,0
Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2
x
Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có
2
limx n lim x n x n x n x n x x x 2
Do đó 2 1
lim
2
n
n
1,0
n
n
x
Từ đó:
+) Nếu 2 thì limz n
+) Nếu 2 thì limz n 0
+) Nếu 2 thì 1
lim
2
n
z
Vậy 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài
1,0
Trang 43
(4
điểm)
Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A B, AX AY, lần lượt là các
đường kính của O1 và O2 Gọi O là trung điểm của XY ; I là điểm thuộc
đường phân giác của góc XAY sao cho OI không vuông góc với XY và I
không thuộc hai đường tròn Đường thẳng đi qua A vuông góc với AI lần lượt
cắt các đường tròn O1 , O2 tại các điểm E F, khác A IX cắt đường tròn
O1 tại điểm thứ hai K , IY cắt đường tròn O2 tại điểm thứ hai L
1 Gọi C là giao điểm của EF với IX Chứng minh rằng OE là tiếp
tuyến của đường tròn CEK
1 Chứng minh rằng 3 đường thẳng EK FL OI đồng quy., ,
S
D
L K
O
Y
X
B
A
O 1
O 2
I
1 Không mất tính tổng quát giả sử I là điểm thuộc đường phân giác trong của
góc XAY
Ta có tứ giác AO OO1 2 là hình bình hành nên suy ra OO1 ||HY
Lại có EA EO, 1 AO AE1, AF AO, 2 mod EO1 ||HY
Do đó ,O O E1, thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có ,O O F2, thẳng hàng
0,5
Mặt khác
2 1
2 2
Do đó OE là tiếp tuyến của đường tròn CEK
0,5
2 Ta có AKI ALI 90 nên 4 điểm 0 A I K L, , , cùng thuộc đường tròn đường 0,5
Trang 5kính AI
Mà EF AI nên suy ra EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
Do đó AE AK, LA LK, mod (1)
Mặt khác KE KA, XE XA, XE EA, AE AX, AE AX, mod
2
AY AF, AF FY, AY AF, AY FY, LA LF, mod
Từ (1) và (2) suy ra
EF EK, EA AK, AK EK, LA LK, LF LA, LF LK, mod
Vậy 4 điểm E F L K, , , cùng thuộc một đường tròn
0,5
Gọi S là giao điểm của EK và FL
Vì 4 điểm E F L K, , , cùng thuộc một đường tròn nên ta có
0,5
Ta có IC IK ID IL IA 2 P I CEK/ P I DFL/ (4) 0,5 Gọi D là giao điểm của EF với IY
Chứng minh tương tự câu 1) ta có OF là tiếp tuyến của đường tròn DFL
Mặt khác tứ giác EFYX là hình thang vuông tại E F, và O là trung điểm của
XY nên suy ra OE OF Do đó P O CEK/ OE2 OF2 P O DFL/ (5)
0,5
Từ (3), (4), (5) suy ra S O I, , cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn
CEK , DFL nên S O I, , thẳng hàng Vậy 3 đường thẳng EK FL OI đồng, ,
quy tại S
0,5
*) Chú ý: Nếu HS không sử dụng góc định hướng thì phải xét các trường hợp vị trí của
4
(4
điểm)
Tìm tất cả các đa thức P x x thỏa mãn P a P b P c P a b c2 2 2 2 1
với mọi , , a b c thỏa mãn ab bc ca 0.
Giả sử P x là đa thức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong (1) cho a b c 0 ta được P 0 0
Với mọi x , ta có bộ 6 ; 3 ; 2x x x thỏa mãn điều kiện ab bc ca 0
Do đó thay vào (1) ta được P26xP23x P22x P27 ,x x (2)
1,0
*) Nếu P x là hằng số thì suy ra P x 0, x
*) Nếu P x khác hằng số Giả sử
0
0
n i
i
i
1,0
4 So sánh hệ số cao nhất ở cả 2 vế ta được: 1,0
Trang 6điểm)
(do vế trái là hàm nghịch biến trên )
Do đó degP x Kết hợp với 1 P 0 0 ta suy ra P x mx, x 0,5
Thử lại thấy đa thức P x mx, x thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy tất cả các đa thức cần tìm là P x mx, x (mlà hằng số bất kì) 0,5
5
(4
điểm)
; ; ; ;
X 1 2 3 n2 n có thể chia thành hai tập con không giao nhau sao cho không tập nào trong chúng chứa n phần tử , , , a a1 2 a n với a1a2 a n và
k
2 với mọi k 2 3; ; , n 1.
Đặt S k k2 k 1;k2 k 2; ;k2; T k k21;k2 2; ;k2 k
;
Ta chứng minh S T, là các tập con cần tìm của X
Dễ dàng thấy S T và S T X
1,0
Ta chứng minh phản chứng Giả sử S gồm các phần tử , , ,a a1 2 a n với
n
k
2 với mọi k 2 3; ; ,n 1 Khi đó ta có a k a k1a k1 a k, với mọi k 2 3; ; ,n 1 (1)
Nếu a1S i., ta có i n 1 do S n1 n Suy ra tồn tại ít nhất n S i n i
phần tử thuộc a a1; ; ;2 a n S i1S i2 S n1
1,0
Áp dụng nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất một tập S j,i j n chứa ít nhất 2
phần tử trong số các phần tử , , ,a a1 2 a n.
Tức là tồn tại a sao cho , k a a k k1S j và a k1S1S2 S j1
Khi đó ta có a k1 a k S j 1 j 1; a k a k1 T j1 1 j
Suy ra a k1 a k a k a k1 Điều này, mâu thuẫn với (1)
Vậy S không chứa các phần tử , , ,a a1 2 a n với a1a2 a n và
k
2 với mọi k 2 3; ; , n 1
1,0
Chứng minh tương tự ta cũng có tập T không chứa các phần tử , , ,a a1 2 a n với
n
k
2 với mọi k 2 3; ; ,n 1 Vậy S T, là các tập con cần tìm của X
1,0
Người ra đề: Nguyễn Hoàng Cương ĐT: 0914521894