(Đề thiHSGlớp10,HảiDương,nămhọc2015– 2016) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2,0 điểm) Cho parabol (P): y x đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giải sử A, B có hồn độ x1;x2 1) Tìm k để trung điểm đoạn AB nằm trục tung 2) Chứng minh x1 x2 �2 k �R Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3x x x x 3 � �x x y xy xy y 2) Giải hệ phương trình: � �x y xy x 1 Câu (4,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác kẻ tử � 3� �1 � 2; �tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm I � ;1� Viết phương đỉnh A điểm D � � 2� �2 � trình đường thẳng BC 2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c (b ≠ c) diện tích S Kí hiệu ma ; mb ; mc 2 độ dài cảu đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma �mb mc a) Chứng minh a 4S cotA b) Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm � BC Chứng minh góc MGO không nhọn Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c thức M 3 Tìm giá trị lớn biểu 1 2 2 a b b c c a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đềthi– tài liệu file word Đáp Án Câu Cho parabol (P): y x đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giải sử A, B có hồn độ x1;x2 1) Tìm k để trung điểm đoạn AB nằm trục tung +) Đường thẳng (d) có pt: y kx +)PT tương giao (d) (P): x kx � x kx 0(*) + (*) ln có nghiệm phân biệt x1 ; x2 k 0(k ) + Trung điểm M AB có hồnh độ M nằm trục tung � x1 x2 k ; 2 k 0� k 0 2 2) Chứng minh x1 x2 �2 k �R Theo Vi et có: x1 x2 k ; x1 x2 1 2 x x x x x1 x2 x1 x2 x1x2 � Ta có x1 x2 x1 x2 � � � 2 Có x1 x2 x1 x2 x1 x2 k 2 � x12 x23 k k 1 �2, k �R Đẳng thức xảy k = Câu 1) Giải phương trình: 3x 3x x x x (1) Điều kiện: x � (1) � � 5x 3x x 3x 5x x x 1 3x x x (TM ) � �� � x (*) � � 3x x Với x =1: VT (*) = = VP (*) nên x =1 nghiệm (*) Nếu x > VT (*) < < VT (*) Nếu x < VT (*) > > VP (*) Vậy (1) có nghiệm x = 0; x = � �x x y xy xy y 2) Giải hệ phương trình: � �x y xy x 1 � x y xy x y xy � (*) � � � x y xy � � a a2 a 2 � � b 1 a2 � Từ tìm (a;b) ∈ {(0;1);(1;0);(-2;-3)} a x2 y � Đặt � Hệ trở thành: b xy � http://dethithpt.com – Website chuyên đềthi– tài liệu file word �x y � x y 1 Với (a;b) = (0;1) ta có hệ � �xy �x y � x; y 0; 1 ; 1;0 ; 1;0 Với (a;b) = (1;0) ta có hệ � �xy Với (a;b) = (-2;-3) ta có hệ � � �x y 2 �y �y x x �� �� � x 1; y � �xy 3 �x x � x 1 x x 3 � � Kết luận: Hệ có nghiệm x; y � 1;1 0; 1 ; 1;0 1;0 ; 1;3 Câu 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác kẻ tử � 3� 2; �tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm đỉnh A điểm D � � 2� trình đường thẳng BC Đường tròn (C) ngồi tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA uuur � 15 � 0; � Đường thẳng AD qua A có VTCP AD � � 2� r � n 1;0 vecto pháp tuyến AD �1 � I � ;1� Viết phương �2 � Phương trình đường thẳng AD là: x = A ' ǹ� AD C ; A ' A A ' thuộc AD IA’ = IA Tìm A’(2; -4) � khơng chứa A nên IA’ BC A’ điểm cung BC uuur � � ;5 �là vecto pháp tuyến Đường thẳng BC qua D vào có A ' I � �2 � Từ viết phương trình đường thẳng BC : x y 2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c (b ≠ c) diện tích S Kí hiệu ma ; mb ; mc 2 độ dài cảu đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma �mb mc a) Chứng minh a 4S cotA Viết công thứ trung tuyến a c a b2 a b2 c � 2 4 2 � b c �2a (**) (*) � b c Ta có a 4S cotA bc.sinA cos A sin A 2bc.cosA b c a Từ (**) � b c a �a hay a 4S cotA �a b) Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm � BC Chứng minh góc MGO không nhọn uuur uuuu r uuur uuuu r Ta chứng minh GO.GM �۳ OG.GM Ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đềthi– tài liệu file word uuur uuu r uuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r 3OG OA OB OC ; 6GM AM AB AC OB OC 2OA uuur uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r � 3OG.6GM OA OB OC , OB OC 2OA uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur OB OC 2OA2 2OB.OC OA.OC OA.OB uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur 2OB.OC OA.OC OA.OB Mặt khác ta có uuur uuu r uuur uuur BC OC OB OB OC 2OB.OC (trong R = OA = OB = OC) uuu r uuur � 2OB.OC R a uuu r uuur uuu r uuu r Tương tự có 2OA.OC R b ; 2OA.OB R c uuur uuuu r b2 c2 uuur uuuu r Vậy 18 2OG.GM � a OG.GM (do (**)) Câu Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 2 2 a b b c c a2 *Bđt phụ: Cho số thực x, y, z > 0, a, b, c số thực Khi a b2 c a b c � (*) x y z x yz a b c Dấu xảy x y z + Dễ thấy bđt suy từ bđt Bunhia *Vào Ta chứng minh 1 M 2 2 a b b c c a2 1 �1 � �1 � �1 � �� � � 2 � � �� 2 �3 a b � �3 b c � �3 c a � M a b2 b2 c c2 a2 �P 2 � 2 a b 3 b c 3 c a 3 Giả sử a ≥ b ≥ c a b a b a b2 Biến đổi 2 2 a b a b 3 a b 2 Biến đổi tương tự với số hạng lại P Sau áp dụng bđt (*) ta có: a b b c c a P� a b c 18 a b b c a c ۳ P a b c 18 4 a b c 4 a c a b c 18 2 2 a b c 2 a c ۳ P 2 a2 b2 c2 http://dethithpt.com – Website chuyên đềthi– tài liệu file word Ta chứng minh 2 a b c 2 a c 2 a b c 2 2 2 � � a b c a c �6 a b c 27 � a b c a c �6 a b c a b c 2 � a b c a c �3 a b c a b c 2 2 � b ab bc ca �0 � a b b c �0 Bất đẳng thức cuối cùng, suy điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đềthi– tài liệu file word ... Câu Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 2 2 a b b c c a2 *Bđt phụ: Cho số thực x, y, z > 0, a, b, c số thực Khi a b2... bc ca �0 � a b b c �0 Bất đẳng thức cuối cùng, suy điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... (a;b) ∈ {(0;1);(1;0);(-2;-3)} a x2 y � Đặt � Hệ trở thành: b xy � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �x y � x y 1 Với (a;b) = (0;1) ta có hệ � �xy �x