Đề thi HSG lớp 10,hải dương , năm học 2015 – 2016

(Đề thi HSG lớp 10,Hải Dương , năm học 2015 – 2016) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2,0 điểm) Cho parabol (P): y   x đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giải sử A, B có hồn độ x1;x2 1) Tìm k để trung điểm đoạn AB nằm trục tung 2) Chứng minh x1  x2 �2  k �R  Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3x   x   x  x  3 � �x  x y  xy  xy  y  2) Giải hệ phương trình: � �x  y  xy  x  1  Câu (4,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác kẻ tử � 3� �1 � 2;  �tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm I � ;1� Viết phương đỉnh A điểm D � � 2� �2 � trình đường thẳng BC 2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c (b ≠ c) diện tích S Kí hiệu ma ; mb ; mc 2 độ dài cảu đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma �mb  mc a) Chứng minh a 4S cotA b) Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm � BC Chứng minh góc MGO không nhọn Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  thức M  3 Tìm giá trị lớn biểu 1  2  2 a  b  b  c  c  a2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Cho parabol (P): y   x đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giải sử A, B có hồn độ x1;x2 1) Tìm k để trung điểm đoạn AB nằm trục tung +) Đường thẳng (d) có pt: y  kx  +)PT tương giao (d) (P):  x  kx  � x  kx   0(*) + (*) ln có nghiệm phân biệt x1 ; x2   k   0(k ) + Trung điểm M AB có hồnh độ M nằm trục tung � x1  x2  k  ; 2 k 0� k 0 2 2) Chứng minh x1  x2 �2  k �R  Theo Vi et có: x1  x2  k ; x1 x2  1 2  x  x x  x  x1 x2  x1  x2   x1x2 � Ta có x1  x2   x1  x2  � � �  2 Có x1  x2   x1  x2   x1 x2  k  2 � x12  x23  k   k  1 �2, k �R Đẳng thức xảy k = Câu 1) Giải phương trình: 3x    3x   x   x  x  (1) Điều kiện: x � (1) � �     5x    3x  x 3x 5x  x  x  1 3x   x   x  (TM ) � �� �  x  (*) � � 3x   x   Với x =1: VT (*) = = VP (*) nên x =1 nghiệm (*) Nếu x > VT (*) < < VT (*) Nếu x < VT (*) > > VP (*) Vậy (1) có nghiệm x = 0; x = � �x  x y  xy  xy  y  2) Giải hệ phương trình: � �x  y  xy  x  1  �  x  y   xy  x  y   xy  � (*) � � �  x  y   xy  � � a  a2  a  2  � � b  1 a2 � Từ tìm (a;b) ∈ {(0;1);(1;0);(-2;-3)} a  x2  y � Đặt � Hệ trở thành: b  xy � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �x  y  � x  y 1 Với (a;b) = (0;1) ta có hệ � �xy  �x  y  �  x; y    0; 1 ;  1;0  ;  1;0  Với (a;b) = (1;0) ta có hệ � �xy  Với (a;b) = (-2;-3) ta có hệ � � �x  y  2 �y   �y   x x �� �� � x  1; y  � �xy  3 �x  x   �  x  1  x  x  3  � � Kết luận: Hệ có nghiệm  x; y  �  1;1  0; 1 ;  1;0   1;0  ;  1;3  Câu 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác kẻ tử � 3� 2;  �tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm đỉnh A điểm D � � 2� trình đường thẳng BC Đường tròn (C) ngồi tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA uuur � 15 � 0;  � Đường thẳng AD qua A có VTCP AD � � 2� r � n  1;0  vecto pháp tuyến AD �1 � I � ;1� Viết phương �2 � Phương trình đường thẳng AD là: x = A ' ǹ� AD  C  ; A ' A A ' thuộc AD IA’ = IA Tìm A’(2; -4) � khơng chứa A nên IA’  BC A’ điểm cung BC uuur � �  ;5 �là vecto pháp tuyến Đường thẳng BC qua D vào có A ' I  � �2 � Từ viết phương trình đường thẳng BC : x  y   2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c (b ≠ c) diện tích S Kí hiệu ma ; mb ; mc 2 độ dài cảu đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma �mb  mc a) Chứng minh a 4S cotA Viết công thứ trung tuyến a c  a b2 a  b2 c �    2 4 2 � b  c �2a (**) (*) � b  c  Ta có a 4S cotA  bc.sinA cos A sin A  2bc.cosA  b  c  a Từ (**) � b  c  a �a hay a 4S cotA �a b) Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm � BC Chứng minh góc MGO không nhọn uuur uuuu r uuur uuuu r Ta chứng minh GO.GM �۳ OG.GM Ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuur uuu r uuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r 3OG  OA  OB  OC ; 6GM  AM  AB  AC  OB  OC  2OA uuur uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r � 3OG.6GM  OA  OB  OC , OB  OC  2OA uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur  OB  OC  2OA2  2OB.OC  OA.OC  OA.OB uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur  2OB.OC  OA.OC  OA.OB Mặt khác ta có uuur uuu r uuur uuur BC  OC  OB  OB  OC  2OB.OC (trong R = OA = OB = OC) uuu r uuur � 2OB.OC  R  a uuu r uuur uuu r uuu r Tương tự có 2OA.OC  R  b ; 2OA.OB  R  c uuur uuuu r b2  c2 uuur uuuu r Vậy 18 2OG.GM  � a OG.GM (do (**))      Câu Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  3 Tìm giá trị lớn biểu thức 1  2  2 a  b  b  c  c  a2  *Bđt phụ: Cho số thực x, y, z > 0, a, b, c số thực Khi a b2 c  a  b  c    � (*) x y z x yz a b c Dấu xảy   x y z + Dễ thấy bđt suy từ bđt Bunhia *Vào Ta chứng minh 1 M  2  2 a  b  b  c  c  a2  1 �1 � �1 � �1 � �� � �  2 � �  �� 2 �3 a  b  � �3 b  c  � �3 c  a  � M a  b2 b2  c c2  a2 �P  2  � 2 a b 3 b c 3 c a 3 Giả sử a ≥ b ≥ c  a  b  a  b a  b2   Biến đổi 2 2 a  b   a  b  3  a  b   2 Biến đổi tương tự với số hạng lại P Sau áp dụng bđt (*) ta có:  a  b  b  c  c  a P�  a  b  c   18  a  b  b  c  a  c  ۳ P  a  b  c   18 4 a  b  c  4 a  c  a  b  c   18 2 2 a  b  c  2 a  c ۳ P 2  a2  b2  c2   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta chứng minh 2 a  b  c  2 a  c 2 a  b  c   2 2 2 � �  a  b  c    a  c  �6  a  b  c   27 �  a  b  c    a  c  �6  a  b  c    a  b  c  2 �  a  b  c    a  c  �3  a  b  c    a  b  c  2 2 � b  ab  bc  ca �0 �  a  b   b  c  �0 Bất đẳng thức cuối cùng, suy điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ...     Câu Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  3 Tìm giá trị lớn biểu thức 1  2  2 a  b  b  c  c  a2  *Bđt phụ: Cho số thực x, y, z > 0, a, b, c số thực Khi a b2... bc  ca �0 �  a  b   b  c  �0 Bất đẳng thức cuối cùng, suy điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... (a;b) ∈ {(0;1);(1;0);(-2;-3)} a  x2  y � Đặt � Hệ trở thành: b  xy � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �x  y  � x  y 1 Với (a;b) = (0;1) ta có hệ � �xy  �x