Đề thi HSG lớp 10, hà nam, năm học 2013 – 2014

(Đề thi HSG lớp 10, Hà Nam, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (5 điểm) Cho Parabol (P) có phương trình y = x + , đường thẳng d có phương trình y = x + Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cho ∆ cắt (P) hai điểm phân biệt A, B AB = Gọi I đỉnh (P); A, B hai điểm phân biệt thuộc (P) không trùng với I cho IA vng góc với IB Tìm quỹ tích trung điểm N đoạn AB A, B thay đổi Câu (5 điểm) Giải phương trình: x −1 + x2 −1 = x x  x + 21 = y − + y  Giải hệ phương trình:   y + 21 = x − + x Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a) Gọi D, E trung điểm AB, AC Đường phân gisc góc C cắt DE P Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC N, M uuuu r uuur uuu r uuu r uuur a) Tính BM , BN , BP theo hai vecto BA, BC theo a, b, c b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c độ dài ba cạnh tam giác; ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C Gọi R, S bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích tam giác ABC Chứng minh 1 + + = tam giác abmc bcma camb RS ABC Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, đường thẳng BC có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua điểm M(1;6) Tìm tọa độ đỉnh A tính diện tích tam giác ABC Câu (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 12 Chứng minh rằng: 1 8 + + ≥ + + a + b b + c c + a a + 28 b + 28 c + 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu a) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d cho ∆ cắt (P) điểm phân biệt A, B AB = Đường thẳng ∆ song song với d có dạng y = x + m (m ≠ 3) (1) Phương trình hồnh độ giao điểm x − x + − m = 15 Để ∆ cắt (P) hai điểm phân biệt A, B (1) có nghiệm phân biệt, điều kiện ∆ > ⇔ m > 16 x , x Gọi hai nghiệm phân biệt (1) Theo định lý Viet ta có 1− m x1 + x2 = ; x1 x2 = 4 A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m ) 2 AB = ⇔ ( x2 − x1 ) = ⇔ ( x2 + x1 ) − x1 x2  =   1− m  23 1 ⇔  − ÷= ⇔ m =  16  16 23 Kết hợp điều kiện ta m = 16 b) Goi I đỉnh (P); A, B hai điểm phân biệt, không trùng với đỉnh nằm (P) cho IA vng góc với IB Tìm quỹ tích điểm N AB A, B thay đổi Gọi A ( a; 4a + 1) nằm (P), đỉnh I ( 0;1) uu r Đường thẳng IB qua I (0;1), nhận IA ( a; 4a ) vecto pháp tuyên Phương trình đường thẳng IB x + 4ay − 4a =  y = x +  −1  ⇔ B ; + 1÷ Tọa độ B nghiệm hệ phương trìn:   16a 64a   x + 4ay − 4a = 1 a  ; 2a + + 1÷ N trung điểm AB, suy N  − 128a  32a  5 2 Nhận xét y N = xN + quỹ tích điểm N Parabol y = x + 4 Câu Ta có x − + x − = x x Điều kiện x ≥  x x − x − ≥ pt ⇔ x − = x x − x − ⇔   x − = x + x − − x x − x  x ≥ ⇔  x ( x − 1) − x ( x − 1) + =  x ( x − 1) = 1+ ⇔ ⇔x=  x ≥ Vậy phương trình có nghiệm x = 1+ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x + 21 = y − + y (1)  Ta có:   y + 21 = x − + x (2) Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ Trừ vế với vế (1) cho (2) ta có x + 21 − y + 21 = ⇔ x2 − y2 x + 21 + y + 21 y −1 − x −1 + y2 − x2 = y−x + ( y − x) ( y + x) y −1 + x −1   x− y ⇔ ( x − y)  + + x + y ÷=  x + 21 + y + 21 ÷ y −1 + x −1   x− y + + x + y > ∀x ≥ 1; y ≥ ⇔ x = y y −1 + x −1 x + 21 + y + 21 Thay x = y vào (1) ta có x + 21 = x + + x ⇔ x + 21 − = x − − + x − ⇔ x2 − x + 21 + = x−2 + ( x − 2) ( x + 2) x −1 +1   x+2 ⇔ ( x − 2)  − x−2− ÷= x −1 +1   x + 21 +    − x + 21 −  ÷= ⇔ ( x − 2)  ( x + 2)  ÷−  x + 21 + ÷  ÷ x − +      − x + 21 −  ) cos(BC, BH) = cos(BC, CK) r r r r n BC n BH n BC nCK a + 2b 10 ⇔ r r = r r ⇔ = 5.5 n BC n BC n BC nCK a + b ⇔ ( a + 2b ) = ( a + b ) ⇔ 3a − 4ab = +) Nếu b = a = (loại) +) Nếu b ≠ 0, chọn b = suy a = a = r r r +) Nếu a = 4; b= n BH = (4;3) suy n BH = nCK (loại) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word +) Nếu b = 3, a = suy phương trình BH y – =  x + y − 17 = ⇒ C ( 1;8 ) Tọa độ C nghiệm hệ phương trình   x + y − 28 = Phương trình AC: x =1 B giao điểm BH BC suy B(5;6) Phương trình BA: 3x – 4y + = A giao điểm AB AC suy A(1;3) Diện tích tam giác ABC: BC = 20 d ( A, BC ) = SVABC = + − 17 =2 BC.d ( A, BC ) = 10 1 + ≥ a + b b + c a + 2b + c 1 1 + ≥ + ≥ Chứng minh tương tự ta có , b + c a + c a + 2c + b a + b a + c b + 2a + c 1 1 1   + + ≥ 2 + + Suy ÷ a+b b+c a+c  b + 2a + c a + 2b + c b + 2c + a  ≥ Ta chứng minh b + 2a + c a + 28 ≥ b + 2a + c a + 28 ⇔ a + 28 ≥ 4b + 8a + 4c ⇔ 2a + b + c + 16 − 4b − 8a − 4c ≥ Câu Ta có: ⇔ ( a − ) + ( b − ) + ( c − ) ≥ (điều đúng) 2 1 4 + + ≥ + + b + 2a + c a + 2b + c b + 2c + a a + 28 b + 28 c + 28 1 8 + + ≥ + + Suy a + b b + c c + a a + 28 b + 28 c + 28 Dấu xảy a = b = c = Vậy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... b= n BH = (4;3) suy n BH = nCK (loại) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word +) Nếu b = 3, a = suy phương trình BH y – =  x + y − 17 = ⇒ C ( 1;8 ) Tọa độ C nghiệm... uuuu r a + c − b uuu r a + c − b uuur BA − BC b) MN = BN − BM = 2c 2c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuuu r uuuu r uuu r r c uuur uuu PM = BM − BP = − BA + BC... =  x ( x − 1) = 1+ ⇔ ⇔x=  x ≥ Vậy phương trình có nghiệm x = 1+ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x + 21 = y − + y (1)  Ta có:   y + 21 = x − + x (2)