Đề thi HSG lớp 10, hà tĩnh, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Giải bất phương trình: x  x  �2   x  x  10 � �x  xy  y  y Giải phương trình sau: � � 4x   y   Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: �x  m  y  x  my  � �2 �x  y  xy Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2;4) đường thẳng d1: 2x – y – = 0, d2: 2x + y – = Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I (C) cắt d1 A, B cắt d2 C, D thỏa mãn AB2 + CD2 + 16 = 5AB.CD Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL CM b   Tính cosA AL c Cho a, b �R thỏa mãn   a    b   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P : 16  a   b Câu Cho f  x   x  ax  b với a, b �Z tỏa mãn điều kiện: Tồn số nguyên m, n, p đôi phân biệt và �m, n, p �9 cho: f  m   f  n   f  p   Tìm tất số (a;b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu a) điều kiện: x � Đặt t  x   t �0  2x = t2 + 2 2 Khi ta có: x – 6x  –  – x  t �0 � x  2tx  4t   t  1  �0 �  x  t    2t  1 �0 �  x  3t  1  x  t  1 �0 2 � x  �t (do x  3t   0; x � ; t �0) �x �1 �۳ x Với x  �t ta có x � �2 �x  x  �2 x  x 2  2; � Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S  � � 10 � (1) �x  xy  y  y b) � � x   y   (2) Điều kiện: x � Trường hợp 1: y = 0, (1) � x  (không thỏa mãn phương trình (2)) �x � x Trường hợp 2: y �0, chia hai vế (1) cho y , ta có: � �  y  y �y � y 5 x �x � �x � Nếu  y � � y  y � � � y �y � �y � 5 x �x � �x �  y Nếu � � y  y � � � y �y � �y � x  y  y (thỏa mãn) y x  y  y (loại) y x �x � �x � x Nếu  y � � y  y � � �  y  y (loại) y �y � �y � y x Vậy  y � y  x Thay vào (2): y x   x   � x  37 x  40  23  x � 23 �x � �� � x  � y  �1 �x  42 x  41  � Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ là: (1;1) (1;-1) Chú ý: Nếu tốn có phương trình biến đổi dạng m 1 n 1 �x � �x � a � �  b � �  ay m 1  by n với a, b  0, m, n �N �y � �y � x Thì ta chứng minh  y y � my  y  m  (1) � Câu 2: Hệ cho tương đương với: � �x  yx  y  (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word y �0 � Phương trình (2) (ẩn x) có nghiệm  x  y  y �0 � � y �4 � Trường hợp 1: m = 0, ta có y = 0, x = Suy m = thỏa mãn Trường hợp 1: m �0 Phương trình (1) (ẩn y) khơng có nghiệm thuộc khoảng  �; 4 � 0; � (*) (1) vơ nghiệm (1) có nghiệm thuộc ( -4; 0), điều kiện � � � �1 � �    4m  m �� �;  ��� ; �� � � � �2 � � � � � �    4m  � �    4m �0 � � �1  �m  � � � � �   4m �0 � 2 � � � � �   m � � �   y     � � � � � � (A) 2m �  m   8m � � � � �   y  � � � �   4m 2 � � �  4m  1  8m ( B) � � 0 �4  � 2m � � � � (với y1, y2 nghiệm phương trình (1)) �1  �m � � �  �m � (A) � � 2 17 �  4m  1  8m � � �1 � � �;  � �� ; �� (B) � m �� 17 � �2 � � Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (1) (ẩn y) có nghiệm thuộc khoảng  �; 4 � 0; � hay (*) không xảy ra, điều kiện  �m � ; m �0 Vậy tất giá trị m 17 �m � 17 Câu 3: Gọi hình chiếu I d1, d2 E, F ; IF  d 1,d2   Khi IE  d 1, d1   5 � � Gọi R bán kính đường tròn (C) cần tìm �R  � 5� � cần tìm  36 AB  AE  R  ;CD  CF  R  5 4� � 36 � 36 � R2  Theo giả thiết ta có: �R  � �R  � 16  20 R  5� � 5� 5 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  5R � R  16     5R  36  � R    5R    R  36  � � � � �  R     5R    R  36  �R  �� R  2 �R  � 5� 5� � � Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm (C):  x     y    2 b c CA  CB AB  AC AB  AC ; CM   bc bc 2 Theo giả thiết: AL  CM � AL.CM  Câu 4.1 Ta có: AL   � bAB  c AC   AB  AC   � bc  bc cos A  2cb cos A  2cb  �  c  2b    cos A   � c  2b  cos A  1 b  c Khi đó: Vậy b2  a c a  b2 CM    2 1 AL2  AB  AC  AB  AC  AB AC 9     �2 b2  c2  a � 1 2 2  � b  c  2bc �  b  c   a   10b  a  9� 2bc 9 �   a  b2 CM CM  52 �   5 2 10b  a AL AL 9 a2  b2 �   � 2a  2b    10b  a  2 10b  a       a   52  20  b      � 2a   a  2b  50  20 b  � 72 � 2 a 52  20  b2 72 Ta có:  b  c  a 5b  a b 35  10  52  20 cos A    2bc 4b 4b   10  17  72    10  17 28  Theo bất đẳgn thức Minkowski, ta có: Dấu xảy khi:   a  b  c  d �  a  c    b  d  (1) 2 a b  c d http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  a  4b2  �2 � �2 � Áp dụng (1) ta có: P   �a �  b �  �a  b �  16 �4 � �4 � Mặc khác:   2a    b   � a  2b  ab  (3) 2 � �a  �2a �  a  4b2  � �  �2a  4b  2ab � a  4b �2 (4) Mà: �4b  �4b �2 a  b � �2ab � Từ (2) (4) suy ra: P �2 17 Dấu = xảy khi: a = b = Vậy MinP = 17 đạt a =1 b = Câu số f(m), f(n), f(p) dương, âm có số dâu nên: Trường hợp 1: f(m), f(n), f(p) –7 →Loại phương trình f(x) – = có nghiệm phân biệt Trường hợp 2: f(m) = f(n) = f(p) = –7 Khơng tính tổng quát, giả sử m > n cà m  p �n  p ta có: m, n nghiệm phương trình: x  ax  b   p nghiệm phương trình x  ax  b   nên: � n p 2 � � mn  a � n  m  (l ) � � � �p  m  � �  n  p   n  p  a   14 �  n  p   p  m   14 � � � n  p  2 � � � � n  m  9 (l )  m  p   m  p  a   14 � � � �p  m  7 � Trường hợp 3: f(m) = f(n) = –7 f(p) = 7, hồn tồn tương tự ta có: m  p  7 � �m  p   p  n   m  p   14 � � � �p  n  �p  n  2 Do m, n, p �[1;9] nên tìm là: (a;b) �{(11;17), (13;29), (7;-1), (9;7)} 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... ;CD  CF  R  5 4� � 36 � 36 � R2  Theo giả thi t ta có: �R  � �R  � 16  20 R  5� � 5� 5 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  5R � R  16     5R ... my  y  m  (1) � Câu 2: Hệ cho tương đương với: � �x  yx  y  (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word y �0 � Phương trình (2) (ẩn x) có nghiệm  x  y  y �0 �... Dấu xảy khi:   a  b  c  d �  a  c    b  d  (1) 2 a b  c d http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  a  4b2  �2 � �2 � Áp dụng (1) ta có: P   �a �  b