Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL 2 CM b c và cosA.
Trang 1Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1
1 Giải bất phương trình: x2 6x 2 2 2 x 2x1
2 Giải phương trình sau:
2
Câu 2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2
2
Câu 3
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2;4) và các đường thẳng
d1: 2x – y – 2 = 0, d2: 2x + y – 2 = 0 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao con (C) cắt d1 tại A,
B và cắt d2 tại C, D thỏa mãn AB2 + CD2 + 16 = 5AB.CD
Câu 4 (4 điểm)
1 Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL
2
CM
b
c và cosA.
2 Cho a, b R thỏa mãn 2 1 9
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P: 16a4 4 1b4
Câu 5
Cho f x x2 ax b với a, b Z tỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m, n, p đôi một phân biệt
và 1m n p, , 9 sao cho: f m f n f p 7 Tìm tất cả các bộ số (a;b)
Trang 2Đáp Án Câu 1 a) điều kiện: 1
2
x Đặt t 2x1t0 thì 2x = t2 + 1 Khi đó ta có: x – 6x 2 – 2 2 – x t 02 x22tx 4t 3 t 21 2 0
x t2 2t 12 0 x 3t 1 x t 1 0
1
x 1 t (do x 3t 1 0; x ; t 0)
2
x
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S 2 2;
b)
2
(1)
Điều kiện: 5
4
x
Trường hợp 1: y = 0, (1) x0 (không thỏa mãn phương trình (2))
Trường hợp 2: y 0, chia hai vế của (1) cho y5 , ta có:
5
5
Nếu x y
y thì
(thỏa mãn)
Nếu x y
y thì
(loại)
Nếu x y
y thì
(loại)
Vậy x y y2 x.
y Thay vào (2):
2
2
23
x
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ là: (1;1) và (1;-1)
Chú ý: Nếu trong bài toán có phương trình biến đổi được về dạng
2 1
với ,a b0, ,m n N
x y
Trang 3Câu 2: Hệ đã cho tương đương với: 2
0 (2)
Phương trình (2) (ẩn x) có nghiệm là 2 4 0 0
4
x
y
y
Trường hợp 1: m = 0, ta có y = 0, x = 0 Suy ra m = 0 thỏa mãn.
Trường hợp 1: m0
Phương trình (1) (ẩn y) không có nghiệm thuộc khoảng ; 40; (*)là (1) vô nghiệm hoặc (1) có
2 nghiệm đều thuộc ( -4; 0), điều kiện là
2
2
2 2
2
2 1
0
2
2
m
m
m m
m y
m y
m
(với y1, y2 là 2 nghiệm của phương trình (1))
(A)
2
m
m
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn y) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ; 4 0;hay (*) không xảy ra, điều kiện là 4 1; 0
Vậy tất cả các giá trị m
cần tìm là 4 1
Câu 3: Gọi hình chiếu của I trên d1, d2 lần lượt là E, F
Khi đó 1, 1 1, 2
;
Gọi R là bán kính của đường tròn (C) cần tìm 6
5
R
Trang 42 4 2 36
2
Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là (C): x 22y 42 8
Theo giả thiết: AL CM AL CM. 0
2
b
Khi đó:
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
10
9
CM
bc
2
2
2
50 20 5
52 20 5
7 2 5
b
a
b
Ta có:
Trang 5
cos
10 5 17 10 5 17
28 8 5
4 7 2 5
A
2 Theo bất đẳgn thức Minkowski, ta có: a2b2 c2d2 a c 2b d 2 (1)
Dấu bằng xảy ra khi: a b
c d
Mặc khác: 1 2 1 9 2 5 (3)
2
1 2
2 4
2 2
ab
Từ (2) và (4) suy ra: P 2 17 Dấu = xảy ra khi: a = 1 và b = 1
2 Vậy MinP = 2 17 đạt được khi a =1 và b = 1
2
Câu 5 3 số f(m), f(n), f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dâu nên:
Trường hợp 1: f(m), f(n), f(p) cùng bằng 7 hoặc –7
→Loại vì phương trình f(x) – 7 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Trường hợp 2: f(m) = f(n) = 7 và f(p) = –7
Không mất tính tổng quát, giả sử m > n cà m p n p ta có: m, n là nghiệm của phương trình:
x ax b và p là nghiệm phương trình x2 ax b nên:7 0
2
9( ) 7
2
9( ) 14
7
n p
m n a
p m
n p
m p m p a
p m
Trường hợp 3: f(m) = f(n) = –7 và f(p) = 7, khi đó hoàn toàn tương tự ta có:
2
m p
p n m p
p n
2
m p
p n
Do m, n, p [1;9] nên tìm được 4 bộ là: (a;b) {(11;17), (13;29), (7;-1), (9;7)}