Đề thi HSG lớp 10, bắc giang, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, Bắc Giang, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x − ( m − 1) x + m Tìm m để bất phương trình f ( x ) ≥ nhận x thuộc R nghiệm Tìm m để bất phương trình f ( x ) = có hai nghiệm x1, x2 lớn Câu (4 điểm) Giải phương trình: x − + x − = x − x + + 6, ( x ∈ ¡  x + x y − y = x y + x y − x ( x, y ∈ ¡ Giải phương trình:   x − + y − = x + y − Câu (4 điểm) Giải bât phương trình: 3x − + x + ≥ x3 + x − 1, ) ) ( x∈¡ ) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x A = cos x − sin x + 2sin x 3 ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos x ) Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC ta có GA.GB + GB.GC + GC.GC = − ( AB + BC + CA2 ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A (1;2) Đường thẳng chứa canh BC có phương trình: x + y + = Tìm tọa độ B C, biết AB = 2AC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2 (C1): ( x − 1) + ( y − 3) = (C2): ( x − ) + ( y + ) = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt đường tròn (C1) (C2) M, N (M, N không trùng A) Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c + + ≤1 a + b + c b + c + a c + a2 + b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu 1 Ta có: a = > 0, ∆ ' = m − 3m + 3 − +  f ( x) ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ m − 3m + ≤ ⇔ m ∈  ;  2   ∆ ' ≥  Yêu cầu toán tương đương với ( x1 − 1) ( x2 − 1) >  ( x1 − 1) + ( x2 − 1) >  3− 3+ ∨m≥ m ≤ ∆ ' ≥ 2   3+ ⇔  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + > ⇔ 3 − m > ⇔ ≤m≤3   2m − >  x1 + x2 − >   Câu 2.1 Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương ứng với  x −1 − =  x = 10 x −1 − x−3 −2 = ⇔  ⇔  x − − = x = Điểu kiện x, y ≥ 2 (*) Phương trình thứ hệ tương đương với ( x − y ) ( x + xy + ) = ( )( ) nên x2 + 2xy + > Vì (*) ⇔ x − y = ⇔ x = y, thay vào phương trình thứ hai hệ:  x ≥ 2 x − = 3x − ⇔  4 ( x − 1) = ( x − 1)  Giải ta x =1, x = 5 5 Vậy nghiệm phương trình (1;1)  ; ÷ 9 9 Câu Điều kiện x ≥ 3 Bất phương trình cho tương đương với x − − + x + − ≥ x + x − Dox, y ≥ ⇔ ( x − 1) 3x − + ( + ) ( ) x −1 ≥ ( x − 1) ( x + x + ) x+3 +2   ⇔ ( x − 1)  x + 3x + − − ÷ ≤ (1) 3x − + x+3 +2  3 3x − x + +1 2 − + > 0, ∀x ≥ Ta có: x + x + − = x2 + x + 3x − + x+3+2 3x − + x+3 +2 Do (1) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy ≤ x ≤1 Ta có: A = cos x − sin x + 2sin x 3 ( − 2sin x cos x ) − ( − 3sin x cos x ) A = cos x − sin x + 2sin x 3 − 6sin x cos x − + 6sin x cos x A = cos x − sin x + 2sin x = Vậy A = 1, suy A không phụ thuộc vào biến x 4ma2 4mb2 + − AB GA2 + GB − AB Câu 4.1 Ta có GA.GB = = 2 Tương tự với đẳng thức lại, sau cơng đẳng thức lại ta được: ( ma2 + mb2 + mc2 ) − ( AB + BC + CA2 ) GA.GB + GB.GC + GC.GA = Sử dụng công thức trung tuyết suy điều phải chứng minh Ta có: d(A; BC) = 2 ∆ABC vuông A nên 1 1 + = = 2 AB AC d ( A; BC ) Kết hợp với điều kiện AB = 2AC ta AC2 = 10 Mà C ∈ BC nên C(a; – a – ) 2 ⇒ ( a − 1) + ( a + 3) = 10 ⇔ 2a + 4a + 10 = 10 ⇔ a = a = - +) Với a = suy C(0; - 1) uuur Phương trình AB qua A, vecto pháp tuyến AC = ( −1; −3) x + 3y –7=0 Từ tìm tọa độ điểm B (-5;4) +) Với a = -2 suy C(-2;1) uuur Phương trình AB qua A, vecto pháp tuyến AC = ( −1; −3) x + 3y – = Từ tìm tọa độ điểm B (3;-4) Đường tròn (C1) có tâm I1 (1;3) bán kính R1 = 3, (C2) có tâm I2 (2;-2) bán kính R2 = Ta cór A điểm r chung hai đường tròn Gọi n = ( a; b ) ≠ vecto pháp tuyến đường thẳng ∆ ⇒ ∆ : ax + by − a = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  3b  d ( I1 ; ∆ ) = a + b2    d I ; ∆ = a − 2b  ( ) a + b2 Ta có:   36a 2 MA = R − d I ; ∆ = ( ) ( ) 1  a2 + b2 ⇒ 2  MB = R − d I ; ∆ = 16a + 16ab + 4b ( ) ( ) 2  a + b2 2 Do MA = 2MB nên MA2 = 4MB2 ⇔ 36a = ( 16a + 16ab + 4b ) 7a +) với a = −2n , ta chọn b = −1, a = ⇒ phương trình ∆: 2x – y – = 7a +) với b = − , ta chọn a = 2, b = −7 ⇒ phương trình ∆: 2x –7y – = 2 1  Câu 5: Ta có  + + c ÷( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) = a  1  a  +1+ c ÷ a a  = + a + ac ≤  a +b +c 9 Do ta chứng minh + ( a + b + c ) + ( ab + bc + ac ) a b c + + ≤ 2 a +b +c b +c +a c +a +b Mà ( ab + bc + ac ) ≤ ( a + b + c ) = ⇒ ( ab + bc + ac ) ≤ ⇔ a = −2n b = − Vậy a b c 3+3+3 + + ≤ = (điều phải chứng minh) 2 a +b +c b +c +a c +a +b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... x + x + − = x2 + x + 3x − + x+3+2 3x − + x+3 +2 Do (1) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy ≤ x ≤1 Ta có: A = cos x − sin x + 2sin x 3 ( − 2sin x... Gọi n = ( a; b ) ≠ vecto pháp tuyến đường thẳng ∆ ⇒ ∆ : ax + by − a = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  3b  d ( I1 ; ∆ ) = a + b2    d I ; ∆ = a − 2b  ( )... a b c 3+3+3 + + ≤ = (điều phải chứng minh) 2 a +b +c b +c +a c +a +b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word