Đề thi HSG lớp 10, hà tĩnh, năm học 2013 – 2014

(Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Giải phương trình x + x + x + = + x + Câu  x − y + x = y + xy − x − y  Giải hệ phương trình:  2  x + = ( x + y ) + = x y − y − ( x + y ) − Câu Chứng minh cạnh ta giác ABC thỏa mãn sin 2014 A = sin 2014 B + sin 2014 C tam giác nhọn Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH, BK hai đường cao, HK = , diện tích tứ giác ABHK lần diện tích ta giác CHK Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3;-1) đường tròn (C) có phương trình x + y + x + x + 14 = Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm E cắt (C) theo dây cung có độ dài Câu Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz 1 + + ≤ Chứng minh: 2 2 2 x + y z +1 y + 2x z +1 z + 2x y +1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu Ta có: x + x + x + = + x + 1 Điều kiện: x ≥ − Phương trình ⇔ +) Xét x = − ( x − 2) + ( x + 1) + ( x − ) = x + 1 khơng thỏa mãn phương trình 2 ( x − 2)  x−2  +) Xét x > − ta có phương trình ⇔  +3+ =4 ÷ 2x +1  2x +1  x−2 Đặt t = ta có t + + 2t = ⇔ t + = −2t + ⇔ t = 2x +1 x−2 = ⇔ 2x +1 = x − ⇔ x = + Với t = , ta có 2x +1 Đối chiếu điều kiện, ta có phương trình có nghiệm x = + Ghi chú: HS giải cách đặt a = x + 1, b = x − 2  x − y + x = y + xy − x − y (1)  Câu Ta có:  2  x + = ( x + y ) + = x y − y − ( x + y ) − (2) Điều kiện x ≥ y; x + ≥ 0; ( x + y ) + ≥ PT ( 1) ⇔ ( x − xy − y ) + ( x − y ) + x − y = ⇔ ( x − y ) ( 4x + y ) + ( x − y ) + x − y = ⇔ x − y  x − y ( x + y ) + x − y + 1 = x = y ⇔  x − y ( x + y + ) + = (3) Phương trình (3) vơ nghiệm x − y ( x + y + ) + = x − y ( ( x + 1) + ( x + y + ) ) + > Thay x = y vào phương trình (2), ta có ⇔ ⇔ ( ) ( 2x +1 − + ) x + + x + = x3 − x − x − x + − = x3 − x − x − ( x − 3) 2x − + = ( x − 3) ( x + x + ) 2x +1 + 4x + + 3  x = ⇔ 2  + = ( x + 1) + (3)  x + + 4x + + 1 + ≤ + =1 Vế trái phương trình (3): 2x +1 + 4x + + 2 Dấu “=” xảy x = − http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vế phải phương trình (3): ( x + 1) + ≥ dấu “=” xảy x = − 2 Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm hệ phương trình cho  3 1  ( x; y ) ∈  ; ÷;  − ; − ÷  2   2   Câu Áp dụng định lý số sin tam giác, ta có sin 2014 A = sin 2014 B + sin 2014 C ⇔ a 2014 = b 2014 + c 2014 Ta có a 2014 = b 2014 + c 2014 > b 2014 ⇒ a > b; a 2014 = b 2014 + c 2014 > c 2014 ⇒ a > c Do đó, ta chứng minh tam giác ABC nhọn, ta chứng minh góc A nhọn Ta có a 2014 = b 2014 + c 2014 < a 2012 b + a 2012 c ⇒ a < b + c b2 + c − a Suy cos A = > ⇒ A nhọn, điều phải chứng minh 2bc Ta có S ABHK = SVABC ⇒ SVABC = 8SVCHK CA.CB sin C SVABC CA.CB = = = (1) SVCHK CK CH sin C CK CH CH (2) ∆AHC vng H, ta có cos C = CA CK (3) ∆BKC vng K, ta có cos C = CB Từ (1), (2), (3) ta có cos C = HK CH CH CK = = cos C = = góc C chung ⇒ ∆HCK : ∆ACB ⇒ AB AC 2 CA CB ⇒ AB = 2 HK = 14 (4) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: AB AB 14 R= = = =4 2sin C − cos C 1− Do đó, phương trình (3) có nghiệm x = − SVABC  AB  =8 Lưu ý: Ở (4), sử dụng tỉ số đồng dạng  ÷ = SVCHK  HK  Câu Đường tròn (C) có tâm I(-1;-4), bán kính R = Gọi A B hai giao điểm (C) (C’) Gọi H giao điểm EI với AB Từ giả thiết ta có IA = IB = AB = ∆IAB Do đường cao IH = , IE = IH Xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: H nằm E I (C’) có bán kính http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word R ' = EA = EH + HA = 2 ( EI − IH ) 2 AB 3  + =  − ÷ + = 13 2  Khi PT đường tròn (C’) ( x − 3) + ( y + 1) = 13 Trường hợp 2: I nằm E H (C’) có bán kính R ' = EA = EH + HA = 2 ( EI − IH ) 2 AB 3  + =  + ÷ + = 43 2  Khi PT đường tròn (C’) ( x − 3) + ( y + 1) = 43 Câu Ta có: 1 + + ≤ 2 2 2 x + y z +1 y + 2x z +1 z + 2x y +1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có xyz = x + y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≥ Ta có x + y z + ≥ x + y z ≥ xy z ≥ yz 1 1  ≤ ≤ 1 + ÷ dấu “=” xảy x = y = z = 2 x + y z + yz  yz  Do đó, ta có 1 1 1 1 + + ≤  + + + ÷= 2 2 2 x + y z +1 y + 2x z +1 z + 2x y +1  xy yz zx  Suy 1 + + = 3) xy yz zx Dấu “=” bất đẳng thức xảy x = y = z = Điều phải chứng minh (Vì xyz = x + y + z ⇒ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... số sin tam giác, ta có sin 2014 A = sin 2014 B + sin 2014 C ⇔ a 2014 = b 2014 + c 2014 Ta có a 2014 = b 2014 + c 2014 > b 2014 ⇒ a > b; a 2014 = b 2014 + c 2014 > c 2014 ⇒ a > c Do đó, ta chứng... với AB Từ giả thi t ta có IA = IB = AB = ∆IAB Do đường cao IH = , IE = IH Xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: H nằm E I (C’) có bán kính http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file... ≤ + =1 Vế trái phương trình (3): 2x +1 + 4x + + 2 Dấu “=” xảy x = − http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vế phải phương trình (3): ( x + 1) + ≥ dấu “=” xảy x = −