Đề thi HSG lớp 10, kon tum, năm học 2013 – 2014

(Đề thi HSG lớp 10, Kon Tum, năm học 2013 – 2014) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx − 3m hàm số y = –2x + Tìm m để đồ thị hàm số cắt điểm phân biệt hồnh độ chúng dương Giải phương phương trình: − x + x − 12 > 10 − x Câu (2 điểm) 3 Giải phương trình: ( x − x + 3) − x = 3 2 Giải phương trình: x − 11x + 23 = x + Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A (hoành độ A dương), d cắt trục tung B (tung độ B dương) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x − ) + ( y + 3) = điểm A (1;-2) Đường ∆ 2 qua A, ∆ cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN Câu (3 điểm) Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành AB + BC + CD = AC + BD 1 Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: = + AB = c; AC = b; đường cao qua A b c ha) Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) 2a 2b 2c + + ≥ 3+ b+c c+a a +b ( a + b + c) 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án 2 Câu Ta có: x + 2mx − 3m = −2 x + ⇔ x + ( m + 1) x − 3m − = ∆ ' >  Điều kiện  −3m − > ⇔ m < −4   −2 ( m + 1) > Ta có − x + x − 12 > 10 − x Tập xác định: − x + x − 12 ≥ ⇔ ≤ x ≤ Nếu ≤ x ≤ − x + x − 12 ≥ > 10 − x , bất phương trình nghiệm với ≤ x ≤ 10 − x ≥ Nếu ≤ x ≤ ⇒  bất phương trình cho  − x + x − 12 ≥ ⇔ − x + x − 12 > x − 40 x + 100 ⇔ x − 48 x + 112 < ⇔ a < x < 28 Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có: < x ≤ Tập nghiệm bất phương trình cho: ( 4;6] 3 3 Câu Ta có ( x − x + 3) − x = (1)  y − x = 3 (I ) Đặt y = x − x + (1) có dạng:   x − x + = y Khi nghiệm (1) x ứng với (x;y) nghiệm (I) 3 2 y − x3 =  y − x = (2) ⇔ Từ (I) ⇔  2 x + y − x + y = ( )  ( x + y ) ( x − xy + y − 1) = (3) Trường hợp 1: y = x kết hợp (2), có nghiệm (1): x = − 3 2 ' Trường hợp 2: x − xy + y − = 0; ∆ x = − y Nếu có nghiệm y ≤ 3  2 2 < chứng tỏ trường hợp vô nghiệm Tương tự có x ≤ Khi VT (2) ≤  ÷ ÷ =  3 3 2 Cách 1: Ta có x − 11x + 23 = x + phương trình (1) có nghiệm x = − ( ) Điều kiện x ≥ −1 ( 1) ⇔ ( x − x + ) + x + − x + + = ( x − 3) + ( x +1 − ) = ( *)  x − = ⇔ x=3 Do a ≥ ( ∀a ) nên phương trình (*) ⇔   x + − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Cách 2: Đặt x + = u ( u ≥ ) ta có u − = x Vậy x − 11x + 23 = x + ⇔ ( u − 1) − 11( u − 1) + 23 = 4u http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇔ 2u − 15u − 4u + 36 = ⇔ ( 2u − 16u + 32 ) + ( u − 4u + ) = ⇔ ( u − 4) + ( u − 2) = ⇔ ( u − 2) 2 ( ( u + ) + 1) = ⇔u =2⇔ x=3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 1) M(1;4) Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A; d cắt trục tung B Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giấc OAB ( x A ; yH > ) Giả sử A(a;0); B(0;b), a > 0; b > Phương trình đường thẳng AB: x y + =1 a b 4 16 + =1⇒1≥ ⇒1≥ a b ab ab a = ab ⇒ ≥ 8;" = " ⇔ = = ⇔  a b b = Vì AB qua M nên Diện tích tam giác vuông OAB (vuông O) S = 1 OA, OB = ab ≥ 2 Vậy S nhỏ d qua A(2;0) , B(0;8) 2 ( C ) : ( x − ) + ( y + 3) = 9; A ( 1; −2 ) ∆qua A, ∆ cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN (C) có tâm I(2;-3), bán kính R = Có A nằm đường tròn (C) IA2 = ( − ) + ( −2 + 3) = < Kẻ IH vng góc với MN H ta có IH + HN = IN = ⇒ MN = HN = ( − IH ) 2 Mà IH ⊥ AH ⇒ IH ≤ IA = ⇒ MN ≥ ( − ) = 28 ⇒ MN ≥ Vậy MN nhỏ nhấn H trùng A hay MN vng góc với IA A Câu 4.1) Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA2 = AC + BD uuur uuur uuu r uuur r Tứ giác lồi ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔ AB − DC = uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur ⇔ AB − DC = ⇔ AB − DC − AB.DC = uuur uuur uuur ⇔ AB + DC − AB AC − AD = ( ) ( ) ⇔ AB + DC − ( AB + AC − BC ) + ( AB + AD − BD ) = r r r2 r r r2 r r r r2 r r (vì a − b = a − 2a.b + b ⇒ 2a.b = a + b − a − b ) ( ) ( (*) ) (*) ⇔ AB + BC + CD + DA2 = AC + BD (điều phải chứng minh) 1 2) Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: = + (1) b c Có a.ha = S = bc sin A ⇒ a2 4R = = ha2 b c sin A b c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇔ b + c = R ⇔ sin B + sin C = ⇔ − cos ( B + C ) cos ( B − C ) = π π   B + C = hay A = ⇔ ( < B + C < π;0 ≤ B − C < π )  B −C = π  π Vậy tam giác ABC vng A có B − C = Câu 2a 2b 2c a −b + a −c b −c +b −a c −a + c −b −1+ −1 + −1 = + + Xét M = b+c c+a a +b b+c c+a a+b 1 1 1 = (a − b)( − ) + (b − c)( − ) + (c − a)( − ) b+c c+a c+a a+b a +b b+c 1 2 = ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) ( b + c) ( c + a) ( c + a) ( a + b) ( a + b) ( b + c) 4 > = Vì b + c c + a ≥ 2 ( )( ) ( a + b + 2c ) ( 2a + 2b + 2c ) ( a + b + c ) Từ (1) ( a − b) ≥ ⇒ ( a − b) ≥ ( a − b) ( b + c) ( c + a) ( a + b + c) ; Dấu “=” xảy ⇔ a = b Làm hồn tồn tương tự với biểu thức lại 2 a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ( Suy M ≥ (điều phải chứng minh) ( a + b + c) Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... có u − = x Vậy x − 11x + 23 = x + ⇔ ( u − 1) − 11( u − 1) + 23 = 4u http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇔ 2u − 15u − 4u + 36 = ⇔ ( 2u − 16u + 32 ) + ( u − 4u + )... mãn: = + (1) b c Có a.ha = S = bc sin A ⇒ a2 4R = = ha2 b c sin A b c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇔ b + c = R ⇔ sin B + sin C = ⇔ − cos ( B + C ) cos ( B −... Suy M ≥ (điều phải chứng minh) ( a + b + c) Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word