Đề thi HSG lớp 10, đồng nai, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, Đồng Nai, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho tam giác ABC có sin A  sin B  2sin C với A, B, C tương ứng kí hiệu số đo góc cos B  cos C � ,� BAC ABC , � ACB tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC vuông Câu 2 � �x  xy  y  y   x, y �� Giải hệ phương trình: � �x x  y  x  y  Câu a  3c a  3b 2a   �5 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ab ac bc Câu (5 điểm) Cho số nguyên n, m, k thỏa m.n = k2 k không chia hết cho Chứng minh (m – n) chia hết cho Câu (1 điểm) Cho đường tròn (O1) có tâm O1 đường tròn (O2) có tâm O2, biết hai đường tròn cắt hai điểm A, B Vẽ tuyến chung d hai đường tròn Gọi C, D tiếp điểm d với (O1), (O2); biết A C khác phía so với O1 O2 Vẽ đường thẳng đi qau A song song với d cắt BD, BC E, F Chứng minh AE = AF http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án Câu Cách 1: Ta có: sin B  2sin C sin A  � 2sin A cos B  sin A cos C  sin B  2sin C cos B  cos C � sin  A  B   sin  A  B   � sin  A  C   sin  A  C  � � sin B  2sin C 2� � sin C  sin  A  B   � sin B  sin  A  C  � � 2� � sin  A  B   sin  A  B   � sin  A  C   sin  A  C  � � 2� cos A  (1) � � cos A sin B  cos A sin C  � � sin B  sin C  (2) � Phương trình (2) vơ nghiệm Phương trình (1) cho tam giác ABC vng A Cách 2: Ta có: sin B  2sin C b  2c sin A  �a 2 a  c  b a  c2  b 2 cos B  cos C  2ac 2ac � 2a b  2bc  2b  a 2c  b c  c3  2b 2c  4bc � 2a b  2b3  a 2c  c  2bc  b 2c  � 2b  a  c2  b   c  a  c  b   �  a  c  b   2b  c   � a  c2  b2  �� � a  b  c2 2b  c  (VN) � Theo định lý Pytago suy tam giác ABC vuông A 2 � �x  xy  y  y  (1) Câu Ta có: � �x x  y  x  y  (2) Điều kiện: x  y �0 Xem phuoeng trình (1) phương trình bậc hai theo x nên ta có hai nghiệm là: x  y  1; x   2y  Với x  y  � x  y  1 (loại x  y �0 )  Với x   2y thay vào (2) ta được: 3y     2y   3y  (y � ) Đặt t   3y; t �0 thay vào giải ta được: t = �  3y  � y  1 � x  Vậy hệ thức có nghiệm x = y = -1 a  3c a  3b 2a   �5 (1) Câu ab a c bc b c � �a  c a  b � � a    Cách 1: Ta có: VT(1)  � � � � �a  b a  c � �b  c a  c a  b � ac a b  �2 +) a b a c a b c 1 � �1     a  b  c �   3 +) � � a  b  c  bc a c a b  a  b  c �b  c a  c a  b � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (điều phải chứng minh) Dấu xảy kkhi a = b = c Cách 2: Đặt x = a + b , y = b + c, z = c + a y 2z 2x y x z    �5 (điều phải chứng minh) Ta VT 1  3    x x z z y y Câu Cách 1: Vì m.n = k2 k khơng chia hết cho (m, n, k số nguyên) nên m, n không chia hết cho Suy m = 3m’ +r1, n = 3n’ + r2 (r1, r2 ∈{1;2} Do m.n = k2 nên m.n ≡ r1 r2 (mod 3), suy r1r2 ≡ (mod 3) suy r1≡ r2 ≡1 (mod 3) Suy m ≡n (mod 3) � m  n M3 (điều phải chứng minh) Cách 2: Vì k khơng chia hết k2≡ (mod 3) suy m.n≡ (mod 3) (*) Vì m.n khơng chia hết m, n không chia hết cho Giả sử m n không số dư chia cho m.n ≡ (mod 3) mẫu thuẩn (*) Suy m,n chia hết cho có số dư Vậy m – n chia hết cho Câu Gọi G  AB �CD suy GC = GD (vì GA.GB = 2 GC = GD phương tích điểm G với hai đường tròn) Theo định lí Talet ta có: GD GB GC   mà GC = GD nên AE = AF (điều phải AE AB AF chứng minh)  VT 1 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... +) � � a  b  c  bc a c a b  a  b  c �b  c a  c a  b � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (điều phải chứng minh) Dấu xảy kkhi a = b = c Cách 2: Đặt...  mà GC = GD nên AE = AF (điều phải AE AB AF chứng minh)  VT 1 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... Giả sử m n không số dư chia cho m.n ≡ (mod 3) mẫu thuẩn (*) Suy m,n chia hết cho có số dư Vậy m – n chia hết cho Câu Gọi G  AB �CD suy GC = GD (vì GA.GB = 2 GC = GD phương tích điểm G với hai