HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG TỈNH PHÚ THỌ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút Đề thi gồm có 01 trang, 5 câu Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình 5 33 5 2 2x x x x+ = − Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O . Trung trực của đoạn AH cắt các cạnh ,CA AB lần lượt tại ;M N . Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác OMN . Câu 3 (4,0 điểm) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố có dạng 4 1k + thì có một số tự nhiên a nhỏ hơn p sao cho 2 1a + chia hết cho p . Câu 4 (4,0 điểm) Cho các số thực không âm , ,a b c thoả mãn 2 2 2 2a b c+ + = . Chứng minh bất đẳng thức { } ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 8 ; ; 3 max a b b c c a a b c abc a b c + + + ≥ + + Câu 5 (4,0 điểm) Xác định tất cả các tập con , ,A B C khác rỗng của tập các số nguyên dương * ℵ thoả mãn các điều kiện sau 1) A B B C C A∩ = ∩ = ∩ = ∅ ; 2) * ℵ=∪∪ CBA ; 3) Với mọi ,a A b B∈ ∈ và c C∈ , ta có ,c a A c b B+ ∈ + ∈ và a b C+ ∈ . ………… HẾT……… Người ra đề: Kiều Đình Minh ĐT: 0989 848 965 ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Câu 1 (4,0) Giải phương trình 5 33 5 2 2x x x x+ = − Dễ thấy 0x = là một nghiệm. Xét 0x ≠ , khi đó phương trình tương đương ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 5 3 5 3 5 3 2 5 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2x x x x x x x x x x x+ = − ⇔ + = − ⇔ + = − Đặt 2 2 2( 0)y x y do x= + ⇒ > ≠ và ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2x x x x y y− = − + = + − + = − + Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 2 5 2 2 3 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 (*) y y y y y y y y y y y − + = − − + = − − − ⇔ − − − = ÷ Dễ thấy ( ) 2 4 2 2 4 t t f t t t t − + = = + − thì ( ) ( ) 1 2 f t f t< nếu 1 2 2 t t< < . Vì vậy 4y = là nghiệm duy nhất của phương trình (*) , do đó 2x = ± là nghiệm của phương trình đã cho. Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là: 0; 2x x= = ± .■ Câu 2 (4,0) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O . Trung trực của đoạn AH cắt các cạnh ,CA AB lần lượt tại ;M N . Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác OMN . Ta có (1)ANH AOC ANO AHC AON ACH∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∠ = ∠: : Tương tự có (2)AMH AOB AMO AHB AOM ABH∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∠ = ∠: : Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra AON AOM∠ = ∠ , hay OA là phân giác của góc MON∠ . Lại có 0 180BNO BAO NOA CAH ACH AHC ABC ANM NA∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = − ∠ = ∠ = ∠ ⇒ là phân giác ngoài của tam giác ONM ∆ . Tương tự suy ra được A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ONM∆ .■ Câu 3 (4,0) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố có dạng 4 1k + thì có một số tự nhiên a nhỏ hơn p sao cho 2 1a + chia hết cho p . Theo định lý Wilson ( ) 1 ! 1p p− + M với ( ) * 4 1p k k= + ∈¥ thì ( ) 4 ! 1 (1)k p+ M . Mặt khác ( ) 2 2 1 modk i k i p+ ≡ − + − với 1,2, ,2i k= . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 4 2 ! modk k k k p+ + ≡ Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 4 ! 2 ! mod (2)k k p≡ Từ ( ) 1 và ( ) 2 ta có ( ) 2 2 ! 1k p+ M . Gọi a là dư của phép chia ( ) 2 !k cho p thì a p< và ( ) ( ) 2 ! modk a p≡ , do đó 2 1a p+ M (đpcm).■ 2 Câu 4 (4,0) Cho các số thực không âm , ,a b c thoả mãn 2 2 2 2a b c+ + = . Chứng minh bất đẳng thức { } ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 8 ; ; 3 max a b b c c a a b c abc a b c + + + ≥ + + Do tính đối xứng của bất đẳng thức nên không mất tổng quát giả sử 0a b c≥ ≥ ≥ . Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có ( ) 3 3 3 3 3 3 2 1a b c abc a b ab ab+ + + ≥ + ≥ Và ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2a b c a b c ab bc ca ab ab+ + = + + + + + ≥ + ≥ Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra ( ) ( ) { } 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8 8 ; ;a b c abc a b c a b max a b b c c a+ + + + + ≥ ≥ Hay { } ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 8 ; ; 3 max a b b c c a a b c abc a b c + + + ≥ + + Dấu đẳng thức xảy ra khi 1; 0a b c= = = Tóm lại : { } ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 8 ; ; 3 max a b b c c a a b c abc a b c + + + ≥ + + Dấu đẳng thức khi 1; 0a b c= = = và các hoán vị.■ Câu 5 (4,0) Xác định tất cả các tập con , ,A B C khác rỗng của tập các số nguyên dương * ℵ thoả mãn các điều kiện sau : 1) A B B C C A ∩ = ∩ = ∩ = ∅ ; 2) * ℵ=∪∪ CBA ; 3) Với mọi ,a A b B∈ ∈ và c C ∈ , ta có ,c a A c b B+ ∈ + ∈ và a b C + ∈ . Giả sử phần tử nhỏ nhất của C là x . Thế thì { } 1,2, , 1x A B− ⊆ ∪ , do với ,a A b B∀ ∈ ∈ , ta có ,a x A b x B+ ∈ + ∈ . Vậy tất cả các số không chia hết cho x là thuộc A B∪ . Do đó c C ∀ ∈ là bội của x . Từ ( ) 3 , tổng của ,a A b B∀ ∈ ∀ ∈ là bội của x . Giả sử 1x = . Thì ,a A b B∈ ∈ suy ra 1 , 1a A b B a b A B+ ∈ + ∈ ⇒ + ∈ ∩ , mâu thuẫn với ( ) 1 . Giả sử 2x = . Ta có thể giả sử 1 A∈ . Thì do ( ) 3 , tất cả các số nguyên dương lẻ nằm trong A . Với b B ∈ , ta có 1 b C + ∈ . Do đó b lẻ, dẫn tới b A B ∈ ∩ , mâu thuẫn với ( ) 1 . Giả sử 4x ≥ . Thì { } 1,2,3 A B⊆ ∪ , gọi { } , 1,2,3y z A∈ ∩ . Lấy b B ∈ , ta có ,y b z b C+ + ∈ do ( ) 3 o đó ( ) ( ) y b z b y z+ − + = − là một bội của x . Nhưng y z x− < , dẫn đến mâu thuẫn. Vì vậy 3x = . Ta chỉ ra 1 và 2 không thể cùng nằm trong A (hay cả hai cùng nằm trong B ). 3 • Nếu 1,2 A∈ , thì ( ) 3 suy ra * ,23,13 ℵ∈∀∈++ kAkk . Lấy b B ∈ , ta có 1 b C + ∈ , điều này suy ra 3 2b k A = + ∈ . Do đó b A B ∈ ∩ , mâu thuẫn với ( ) 1 . • Do đó hoặc 1 ,2A B∈ ∈ , suy ra { } { } { } 1,4,7, , 2,5,8, , 3,6,9, A B C= = = hoặc 2 ,1A B∈ ∈ và { } { } { } 1,4,7, , 2,5,8, , 3,6,9, B A C= = = .■ 4 . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG TỈNH PHÚ THỌ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút Đề thi gồm. và a b C+ ∈ . ………… HẾT……… Người ra đề: Kiều Đình Minh ĐT: 0989 848 965 ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10 Câu. + Dấu đẳng thức khi 1; 0a b c= = = và các hoán vị.■ Câu 5 (4,0) Xác định tất cả các tập con , ,A B C khác rỗng của tập các số nguyên dương * ℵ thoả mãn các điều kiện sau : 1) A B B C C