ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ đồng bằng bắc bộ NĂM 2015 -Toán 10 trường chuyên Yên Bái

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH, TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút (Đề này có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực ( ) 3 3 2 4 3 2 3 2 4 1  − + − = −   − + + = + − −   x y x y xy x y y x x y xy x Câu 2 (4 điểm) Xét một tam giác không vuông ABC. Ba đường thẳng l A , l B , l C lần lượt dựng qua các đỉnh A, B, C như sau: Gọi A’ là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, đường tròn đường kính AA’ cắt AB tại M, AC tại N thì l A là đường thẳng qua A vuông góc với MN. Các đường thẳng l B , l C được dựng một cách tương tự. Chứng minh rằng l A , l B , l C đồng qui tại một điểm. Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x;y) của phương trình 1 x p p y− = , với p là một số nguyên tố lẻ cho trước. Câu 4 (4 điểm) Cho x, y, z là những số thực không âm, chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 y z x z x y x y z y z x z x y x y z + − + − + − + + ≥ + + + + + + Câu 5 (4 điểm) Cho 2015 số đôi một khác nhau a 1 , a 2 ,…, a 2015 .Hỏi có tất cả bao nhiêu hoán vị của 2015 số đó, mà trong mỗi hoán vị không có ba số nào trong bốn số a 1 , a 2 , a 3 , a 4 nằm ở ba vị trí liên tiếp? HẾT Người ra đề Nguyễn Trọng Nghĩa SĐT: 0917115167 ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10 Câu Nội dung chính cần đạt Điểm 1 Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực ( ) 3 3 2 4 3 2 1 3 2 4 1 2  − + − = −   − + + = + − −   ( ) ( ) x y x y xy x y y x x y xy x Điều kiện 2 3 x y ≥ −   ≤  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 ⇔ − + − = + ⇔ − − − + − + + ⇔ = ( ) . x y x y y y x y y x y y x y y x y 1,0 Thay y=x vào phương trình (2) ta được: 3 2 3 2 3 2 4 1 5 4 3 2 3 3 5 4 4 1 (*) 3 3 x x x x x x x x x x x x x x − + + = + − − − + +     ⇔ − − + + − =  ÷  ÷     − + + + − − − − Với 2 3x− ≤ ≤ , ta có 5 3 0 3 4 2 0 3 x x x x − +  − + >    +  + + >   1,0 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 (*) 2 2 5 4 9 3 2 3 3 x x x x x x x x x x x    ÷ − + + − + + ⇔ + = − − + + +  ÷ − + +  ÷ − + + +   ( ) ( ) 2 1 1 2 9 2 0 5 4 3 2 3 3 x x x x x x x    ÷ ⇔ − + + + + + =  ÷ − + +  ÷ − + + +   1,0 2 2 0 1 2 x x x x ⇔ − + + = = −  ⇔  =  Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x:y) là (-1;-1) và (2;2) 1,0 2 Xét một tam giác không vuông ABC. Ba đường thẳng l A , l B , l C lần lượt dựng qua các đỉnh A, B, C như sau: Gọi A’ là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, đường tròn đường kính AA’ cắt AB tại M, AC tại N thì l A là đường thẳng qua A vuông góc với MN. Các đường thẳng l B , l C được dựng một cách tương tự. Chứng minh rằng l A , l B , l C đồng qui tại một điểm. K N M A' C B A Không mất tính tổng quát giả sử µ 0 90A > . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ Cx AC⊥ . Do · · ,AMN ANM là các góc nhọn nên l A sẽ cắt MN tại điểm nằm trong đoạn MN và do đó l A sẽ cắt Cx tại điểm K ở cùng phía với B so với AC. Do AMA’N là tứ giác nội tiếp nên · · ' 'MAA MNA= 1,0 Ta lại có · · 'MNA CAK= · · 'MAA CAK⇒ = . Mà · · 0 ' 90MAA ABC+ = và · · 0 90CAK AKC+ = nên · · ABC AKC K= ⇒ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do · 0 90ACK = nên AK là đường kính của đường tròn. Do đó l A đi qua O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). 1,0 D Q P I C B A Hạ BI AC⊥ . Gọi P, Q tương ứng là giao điểm của đường tròn đường kính BI với AB, BC. Kẻ Cy BC⊥ . Do µ 0 90A > nên I nằm trên CA kéo dài về phía A. Do đó P và B nằm về hai phía của IQ · 0 90BQP⇒ > , do đó l B cắt PQ tại điểm nằm trên PQ kéo dài về phía Q B l⇒ cắt C y tại D ở khác phía với A so với BC. 1,0 Vì BIPQ là tứ giác nội tiếp nên · · PBI PQI= . Mặt khác · · · · PQI CBD PBI CBD= ⇒ = . Mà · · · · 0 0 90 , 90PBI PAI CBD BDC+ = + = ⇒ · · BAI BDC= · · 0 180BDC BAC⇒ + = . Do đó D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và · 0 90BCD = nên l B là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay l B đi qua O. Vì B, C có vai trò như nhau trong bài toán nên l C cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay l C đi qua O. Vậy l A , l B , l C đồng qui tại điểm O. 1,0 3 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x;y) của phương trình 1 x p p y− = , với p là một số nguyên tố lẻ cho trước. Xét phương trình : ( ) 1 1 x p p y− = Nếu (x;y) là một nghiệm của (1) thì ( ) ( ) 1 2 1 1 1 x p p p y y y y y − = + = + − + − + . Do đó 1 n y p+ = ( ) n∈¢ . Nếu n=0 thì (x;y)=(0;0) và p là một số nguyên tố lẻ tùy ý. 1,0 Nếu 0n ≠ thì ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 1 . . p n p n p x n np p p n n p p p p p p C p C p p p − − − = − + = − + + − + 1,0 (*) p là một số nguyên tố p k C⇒ với k=2,…,p-2 đều chia hết cho p. Do đó vế phải của (*) chia hết cho 1n p + nhưng không chia hết cho 2n p + 1x n⇒ = + Ta có: ( ) 2 ( 1) 2 2 2 0 . n p np n p p p n p p p p C p C p − − − = − + + − (**) Với p=3 thì 3 2 0 3 3.3 n n = − , điều đó có nghĩa là n=1, khi đó (x;y)=(2;2). 1,0 Với 5p ≥ , 2 p p C − không chia hết cho p 2 nên vế phải của (**) không chia hết cho 2 2n p + , nhưng vế trái của (**) lại chia hết cho 2 2n p + ⇒ vô lý ⇒ p<5. Vậy: (x;y)=(0;0) với mọi số nguyên tố lẻ p và (x;y)=(2;2) với p=3. 1,0 4 Cho x, y, z là những số thực không âm, chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 y z x z x y x y z y z x z x y x y z + − + − + − + + ≥ + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 5 2 2 2 3 5 6 2 5 y z x z x y x y z y z x z x y x y z y z x x y z z x y y z x y z x z x y x y z z x y x y z x y z y z x z x y y z x z x y x y z + − + − + − + + ≥ + + + + + + + + − + + + − + ⇔ + + + + + + + − + + ≥ + + + + + ⇔ + + ≤ + + + + + + 1,0 Chuẩn hóa 1x y z+ + = , khi đó (2) trở thành ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 6 2 2 1 2 2 1 2 2 1 5 x x y y z z x x y y z z − − − + + ≤ − + − + − + 1,0 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 1,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 2 1 1 4 4 4 1 4 1 4 2 2 1 1 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − + − ≤ ⇔ − + ≥ − = − − ⇒ ≤ = − + − + + Tương tự ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 4 4 ; 2 2 1 3 2 2 1 3 y y z z y z y y y z z z − − ≤ ≤ − + + − + + Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 4 4 4 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 3 3 x x y y z z x y z x x y y z z x y z − − − + + ≤ + + − + − + − + + + + Ta chỉ cần chứng minh: 4 4 4 6 1 1 1 9 3 3 3 5 3 3 3 10 x y z x y z x y z + + ≤ ⇔ + + ≥ + + + + + + Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số, ta được: 1 1 1 9 9 3 3 3 9 10x y z x y z + + ≥ = + + + + + + Vậy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z>0 1,0 5 Cho 2015 số đôi một khác nhau a 1 , a 2 ,…, a 2015 . Hỏi có tất cả bao nhiêu hoán vị của 2015 số đó, mà trong mỗi hoán vị không có ba số nào trong bốn số a 1 , a 2 , a 3 , a 4 nằm ở ba vị trí liên tiếp? Kí hiệu số phần tử của tập hợp X là |X|. Xét tập A gồm tất cả các hoán vị ( ) 1 2 2015 , , , i i i a a a a= của 2015 số 1 2 2015 , , ,a a a . Kí hiệu , , , i j k h a a a a là bốn số phân biệt và đều thuộc tập 1 2 3 4 { , , , }E a a a a= . Số cách lấy ba số thuộc E và hoán vị của chúng là 3 4 .(3!) 4!C = 1,0 Xét tập B A⊂ mà trong phần tử a B∈ thì ba số của tập E nằm ở ba vị trí liên tiếp. Tập B chứa tập B 1 mà B 1 gồm các hoán vị chứa đúng bốn số của E nằm ở bốn vị trí liên tiếp. Giả sử a B∈ chứa (a i , a j , a k ), nếu ta coi bộ ba số này chỉ chiếm một vị trí trong hoán vị a thì số các hoán vị a là 2013! (gồm 2013 phần tử là (a i , a j , a k ), a h và a m với m=5,6,…,2015). 1,0 Nhưng trong các hoán vị đó có các hoán vị dạng (…,(a i , a j , a k ), a h , …) và (…,a h , (a i , a j , a k ),…) là như nhau khi chỉ số thay đổi, chúng đều chứa bốn số của tập E ở bốn vị trí liên tiếp, do đó phải bỏ đi 1,0 2012! là số các hoán vị của 2012 phần tử (gồm ( , , , i j k h a a a a ) và a m với m=5,6,…,2015). Như vậy: 3 4 | | (3!).(2013! 2012!) 4!.2012!.2012B C= − = . Số các phần tử của A là 2015!; do đó số các hoán vị phải tìm gồm các hoán vị mà không có ba số nào trong bốn số của E nằm ở ba vị trí liên tiếp là: |A|-|B|=2015!-4!.2012!.2012. 1,0 . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH, TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút (Đề này. cả các hoán vị ( ) 1 2 2015 , , , i i i a a a a= của 2015 số 1 2 2015 , , ,a a a . Kí hiệu , , , i j k h a a a a là bốn số phân biệt và đều thuộc tập 1 2 3 4 { , , , }E a a a a= . Số cách. , i j k h a a a a ) và a m với m=5,6,… ,2015) . Như vậy: 3 4 | | (3!).(2013! 2012!) 4!.2012!.2012B C= − = . Số các phần tử của A là 2015! ; do đó số các hoán vị phải tìm gồm các hoán vị mà không