8 UNG DUNG MU LOGARIT NHOM 8 DAP AN

1 Hướng dẫn giải: Chọn C a r m Gọi số tiền vay, lãi, số tiền hàng tháng trả N = a( 1+ r ) − m Số tiền nợ sau tháng thứ là: N =  a( 1+ r ) − m +  a( 1− r ) − m r − m = a( 1+ r ) − m( 1+ r ) + 1 Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: … Số tiền nợ sau Sau n n N n = a( 1+ r ) n ( 1+ r ) −m −1 r tháng là: N n = a( 1+ r ) n n ( 1+ r ) −m r tháng anh Nam trả hết nợ: ⇔ 1000( 1+ 0,005) n ( 1+ 0,005) − 30 n −1 0,0005 n −1 =0 =0 ⇔ t = 36,55 Vậy 37 tháng anh Nam trả hết nợ Hướng dẫn giải: Chọn D a r A Gọi số tiền vay, số tiền gửi hàng tháng lãi suất tháng n Đến cuối tháng thứ T = A ( 1+ r ) − a( 1+ r )  n số tiền nợ là: n−1 + ( 1+ r ) n− + + 1 = A ( 1+ r )  T = ⇔ A ( 1+ r ) n Hết nợ đồng nghĩa ⇔ n n a( 1+ r ) − 1  −  r n a( 1+ r ) − 1  =0 −  r n a− Ar a a 1+ r ) = ⇔ n = log1+ r ( r r a− Ar Áp dụng với Vậy cần trả A =1 28 (tỷ), a= 0,04 (tỷ), r = 0,0065 ta n ≈ 27,37 tháng Hướng dẫn giải: Chọn A Trang 1/12 - Mã đề thi DE THI Áp dụng công thức lãi kép gửi lần: N = A ( 1+ r ) n , Với A = 100.106 r = 0,5 00 108 ( 1+ 0,5%) > 125.106 n Theo đề ta tìm n bé cho: ⇔ ( 1+ 0,5%) > n ⇔ n > log ≈ 44,74 201 4 200 Hướng dẫn giải: Chọn C - Số tiền vốn lẫn S = 100(1+ 0,005) = 100.1,005 n - Để có số tiền n = log1,005 lãi có (triệu đồng) sau n tháng S S ⇒ n = log1,005 100 100 (triệu đồng) phải sau thời gian S 125 = log1,005 ≈ 44,74 100 100 45 gởi ⇒ 1,005n = n S = 125 - Vậy: sau người (tháng) tháng người có nhiều 125 triệu đồng Hướng dẫn giải: Chọn C Với trận động đất độ Richte ta có biểu thức = M L = log A − log A0 = log Tương tự ta suy Từ ta tính tỉ lệ A A ⇒ = 107 ⇒ A = A0.107 A0 A0 A ′ = A0.105 A A0.107 = = 100 A ′ A0.105 Hướng dẫn giải: Chọn A Theo đề số lượng bèo ban đầu chiếm Sau ngày số lượng bèo 0,04× 31 Sau 14 ngày số lượng bèo 0,04 diện tích mặt hồ diện tích mặt hồ 0,04× 32 diện tích mặt hồ … Sau 7× n ngày số lượng bèo 0,04× 3n diện tích mặt hồ Trang 2/12 - Mã đề thi DE THI Để bèo phủ kín mặt hồ Vậy sau 7× log3 25 0,04× 3n = ⇔ 3n = 25 ⇔ n = log3 25 ngày bèo vừa phủ kín mặt hồ Hướng dẫn giải: Chọn C Từ giả thiết ta suy Q ( t ) = 5000.e 0.195 t Q ( t ) = 5000.e0.195t Để số lượng vi khuẩn 100.000 0.195 t ⇔ e = ⇔ t = ln 20 ≈ 15.36 ( h ) = 100.000 0.195 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có S S = A.e Nr ⇔ N = ln r A 120 Để dân số nước ta mức triệu người cần số năm S 100 120000000 N = ln = ln ≈ 25 r A 1,7 78685800 (năm) Vậy đến năm 2026 120 dân số nước ta mức triệu người Hướng dẫn giải: Chọn A t t P ( t ) = 100 ( 0, ) 5750 % = 65% ↔ 0,5 5750 = 0, 65 t log 0,55750 = log 0, 65 ↔ Lấy loga số vế, thu : t = 3574 Vậy năm t = log 0, 65 5750 10 Hướng dẫn giải: Chọn C A = 100; S1 = 300 t1 = 5h t2 S = 10.100 = 1000 ; Ta cần tìm thời gian cho S1 = 100.e r = 300 ↔ ( e r ) = ↔ e r = 35   t2 S2 = 100.e r t2 = 1000 ↔ ( e r ) = 10 ↔ = 10.  t2 Lấy loga số 10 hai vế, ta thu được: t2 log = ↔ t2 = = 10, 48 log Vậy đáp án C (10 29 phút) 11 Trang 3/12 - Mã đề thi DE THI Hướng dẫn giải: Chọn A Do lãi hàng năm nhập vào vốn, giả sử lúc đầu người gửi số tiền A,  sau năm đầu tiên, A + 8, 4% A = A ( + 0, 084 ) = 1, 084 A số tiền (cả gốc lẫn lãi) là: Sang năm tiếp theo, số tiền gốc lẫn lãi người thu là: 1, 084 A + 0, 084 A = 1, 084 A ( + 0, 084 ) = 1,0842 A Tổng quát: sau n năm, với cách tính lãi kép (gộp tiền lãi vào vốn) / chu kỳ, số tiền thu từ tiền n gửi A ban đầu là: a   1 + ÷ A  100  Để người thu số tiền gửi gấp đôi số ban đầu, 1, 084n = ↔ n.log 1, 084 = ↔ n = 8,59 Vậy sau năm, người thu số tiền gấp đôi số tiền ban đầu 12 Hướng dẫn giải: Chọn A t  T m ( t ) = m0  ÷ 2 Sử dụng cơng thức chu kỳ bán rã SGK Đại Số Giải Tích 12: m0 t = m( t) Trong đó, khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm ), khối lượng chất phóng xạ thời điểm t, T chu kỳ bán rã Vậy, để bom phát nổ, số lượng Uranium-235 phải chứa 50kg tinh khiết t Hay   704 m ( t ) = 64  ÷ ≤ 50 2 Vậy, phương trình thỏa mãn điều kiện sau t triệu năm bom khơng thể phát nổ là: t 50   704 = ÷ 64   13 Hướng dẫn giải: Chọn D A1 A2 Gọi biên độ rung chấn tối đa trận động đất San Francisco, biên độ rung chấn tối đa trận động đất Nhật Bản Khi đó: Vậy  log A1 − log A0 =  log A2 − log A0 = A  A log A1 − log A2 = ↔ log  ÷ = ↔ = 102 = 100 A2  A2  Vậy, trận động đất San Francisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất Nhật Bản 14 Hướng dẫn giải: Chọn A Trang 4/12 - Mã đề thi DE THI Cách tiếp cận 1: (Công thức dân số theo SGK Đại Số Giải Tích 12) Dân số ước tính theo cơng thức lệ tăng dân S = Ae ni số , hàng năm A dân số năm lấy làm mốc tính, Do năm 2010 năm S7 = 80.902.400e7×0,0147 = 89, 670, 648 S i dân số sau n năm, tỉ sau năm 2003, ta có người Chọn đáp án A 1, 47% Cách tiếp cận 2: Sau năm, dân số tăng , đó, năm 2003, dân số A = 80.902.400 n người, năm thứ kể từ năm 2003, dân số Việt Nam tính theo cơng thức (lãi An = A ( + 0, 0147 ) ↔ An = A ( 1, 0147 ) n kép) n A7 = 80.902.400 × ( 1, 0147 ) = 89.603.511 Vậy, dân số năm 2010 người Đáp số gần nhất: A Chú ý: dạng toán xuất đề thi, cơng thức tính dân số cho trước, việc tính tốn dân số ước tính nên sai số điều chấp nhận 15 Hướng dẫn giải: Chọn B 200 = 100 ( + 0,1) ↔ 1, 01n = ↔ n.log 1,1 = ↔ n = n Có = 7, log 1,1 năm Vậy sau năm tháng ơng A tích lũy số tiền 200 triệu từ số tiền 100 triệu ban đầu 16 Hướng dẫn giải: Chọn C 20 = 15 ( + 0, 0165 ) ↔ 1, 0165n = n ↔ n.log 1, 0165 = ↔ n = 17,58 3 Vậy sau 17,58 quý, tức 4,4 năm, hay năm quý người có 20 triệu đồng từ số vốn ban đầu Câu Hướng dẫn giải : Chọn đáp án D ♦Tự luận:Ta có 75- 20ln( t +1) £ 10 Û ln( t +1) ³ 3,25 Û t ³ 24,79 Khoảng 25 tháng Câu Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D ♦Tự luận: P(t ) = 100.(0,5) t 5750 Ta có: Phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng Carbon 14 lại gỗ 65,21% Nên ta có: Trang 5/12 - Mã đề thi DE THI t 100.(0,5) 5750 = 65, 21 ⇔ Câu t = log 0,5 0, 6521 ⇔ t ≈ 3547 5750 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A ♦Tự luận: Vì số lượng vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 nên ta có phương trình: 100.e5r = 300 ⇔ e5r = ⇔ 5r = ln3 ⇔ r = ln3 t Gọi thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi so với số lượng ban đầu Khi ta có: ln3 t ( ) 100.e = 200 ⇔ eln3 t t = ⇔ = ⇔ t = 5log3 Câu Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D ♦Tự luận: Pu 239 có chu kỳ bán hủy 24360 năm, ta có ln − ln10 = 10.e r 24360 ⇒ r = ≈ −0, 000028 24360 (làm tròn đến hàng phần triệu) Vậy phân hủy S = A.e Pu 239 ln 5− ln10 t 24360 tính theo công thức 239 Pu Theo đề, khoảng thời gian cho 10 gam phân hủy gam nghiệm phương trình ln 5− ln10 t − ln10 − ln10 = 10.e 24360 ⇒ t = ≈ ≈ 82235 ln − ln10 −0, 000028 24360 (năm) Câu Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A ♦Tự luận: Pt t P Công thức lãi kép: Số tiền tích lũy sau năm với số tiền ban đầu lãi suất Sau r%/ năm: Pt = P ( 1+ r ) năm t số tiền tích lũy P5 = 100( 1+ r ) ⇔ 100( 1+ r ) = 200 ⇔ ( 1+ r ) = ⇔ 1+ r = 5 5 Sau t năm số tiền tích lũy 400 triệu nên ta có phương trình: 100( 1+ r ) = 400 ⇔ ( 1+ r ) = ⇔ t t ⇔ 25 = 22 ⇔ t ( 2) t =4 t = ⇔ t = 10 ♦Trắc nghiệm: Câu Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Trang 6/12 - Mã đề thi DE THI ♦Tự luận: A Cách 1:Công thức: Vay số tiền a= để n tháng hết nợ ( A.r + r ( 1+ r ) n ) lãi suất n = −1 r% / tháng Hỏi trả số tiền ( ) 100.0,01 + 0,01 ( + 0,01) a −1 Cách 2:Theo đề ta có: ơng A trả hết tiền sau tháng ơng A hồn nợ lần Với lãi suất 12%/năm suy lãi suất tháng 1% • Hồn nợ lần 1: 100.0,01 + 100 = 100.1,01 -Tổng tiền cần trả (gốc lãi) : - Số tiền dư : 100.1,01 − m (triệu đồng) (triệu đồng) Hoàn nợ lần 2: - Tổng tiền cần trả (gốc lãi) : • ( 100.1,01 − m) 0,01 + ( 100.1,01 − m) = ( 100.1,01 − m) 1,01 = 100 ( 1, 01) ( ) − 1,01.m (triệu đồng) 100 1,01 − 1,01.m − m - Số tiền dư: (triệu đồng) Hoàn nợ lần 3: - Tổng tiền cần trả (gốc lãi) : • ( ) ( ) ( ) 100 1,01 − 1,01.m − m 1,01 = 100 1,01 − 1,01 m − 1,01m   ( ) ( ) (triệu đồng) 100 1,01 − 1,01 m − 1,01m − m - Số tiền dư: ( ) ( ) (triệu đồng) ⇒ 100 1,01 − 1,01 m − 1,01m − m = ⇔ m = ( ) ( ( 1,01) ⇔m= =  1,01 + 1,01 + 1 1,01 − ) ( ) ( 1,01) − (  ) ) ( 1,01) + 1,01 + 100 1,01 1,01 − ( 100 1,01 (triệu đồng) ♦Trắc nghiệm: Câu Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A ♦Tự luận Trang 7/12 - Mã đề thi DE THI Tn n a số tiền vốn lẫn lãi sau tháng, số tiền hàng tháng gửi vào r ( %) ngân hàng lãi suất kép Ta có Gọi T1 = a ( + r ) , T2 = ( a + T1 ) ( + r ) = ( a + a ( r + 1) ) ( + r ) = a ( + r ) + a ( + r ) T3 = ( a + T2 ) ( + r ) = a ( + r ) + a ( + r ) + a ( + r ) 2 … ( T11 = a ( + r ) + ( + r ) + ( + r ) 11 ) = a.S 11 S11 tổng 11 số hạng đầu cấp số nhân u1 = + r = 1, 01 q = + r = 1, 01 công bội S11 = u1 ( − q11 ) 1− q = ( un ) với số hạng đầu 1, 01( − 1, 0111 ) − 1, 01 Vì tháng thứ 12 mẹ nhận số tiền T11 1, 01( − 1, 0111 ) − 1, 01 gửi từ tháng số tiền tháng 12 nên mẹ + = 50.730.000 nhận tổng số tiền là: Câu Hướng dẫn giải : Chọn đáp án A ♦Tự luận: Tn n a Gọi số tiền vốn lẫn lãi sau tháng, số tiền hàng tháng gửi vào r ( %) ngân hàng lãi suất kép Ta có T1 = a ( + r ) , T2 = ( a + T1 ) ( + r ) = ( a + a ( r + 1) ) ( + r ) = a ( + r ) + a ( + r ) T3 = ( a + T2 ) ( + r ) = a ( + r ) + a ( + r ) + a ( + r ) 2 … ( T6 = a ( + r ) + ( + r ) + ( + r ) ) = a.S Trang 8/12 - Mã đề thi DE THI ( un ) S6 tổng sáu số hạng đầu cấp số nhân u1 = + r = 1, 08 q = + r = 1, 08 công bội S6 = u1 ( − q ) 1− q = với số hạng đầu 1, 08 ( − 1, 086 ) − 1, 08 T6 2.109 a= = = 252435900, S6 1, 08 ( − 1, 086 ) − 1, 08 Theo đề ra, ta có Quy tròn đến phần nghìn ta chọn A Câu Hướng dẫn giải: Chọn A Dùng công thức lãi kép Sau năm người thu vốn lẫn lãi là: 50( 1+ 7%) = 70,128 (triệu đồng) Sau năm rút lãi số tiền lãi thu là: 70,128 − 50 = 20,128 (triệu đồng) Câu 10 Hướng dẫn giải: Chọn D ♦Tự luận: Áp dụng công thức lãi kép: Suy n≈ n T  T = A ( 1+ r ) ⇒ n = log1+ r  ÷ A , với A = 88,T = 100,r = 1,68% quý 100 = 88( 1+ 1,68%) ♦Trắc nghiệm: Nhập máy Câu 11 Hướng dẫn giải: Chọn A X dùng chức SOLVE T = A ( 1+ 3a) ⇒ 61 = 53( 1+ 3a) ⇒ a ≈ 0,6% n Áp dụng công thức lãi kép: Câu 12 Hướng dẫn giải: Chọn C 4.105.( 1+ 0,04) = 4.105.1,045 Ta có: Câu 13 Hướng dẫn giải: Chọn C Số tiền thu sau Số tiền thu sau tháng (2 kì hạn) là: 12 tháng (2 kì hạn tiếp theo) là: 100.( 1+ 2%) + 100 ( 1+ 2%) ≈ 212   100.( 1+ 2%) triệu Trang 9/12 - Mã đề thi DE THI Câu 14 Hướng dẫn giải: Chọn A Đầu tháng thứ gửi A đồng cuối tháng thứ N nhận số tiền vốn lẫn lãi là: A ( 1+ m%) N A ( 1+ m%) N −1 (đồng) Đầu tháng thứ hai gửi A đồng cuối tháng thứ N nhận số tiền vốn lẫn lãi là: (đồng) Đầu tháng thứ N gửi A đồng cuối tháng thứ N nhận số tiền vốn lẫn lãi là: A ( 1+ m%) (đồng) Hàng tháng gửi A đồng cuối N tháng nhận số tiền vốn lẫn lãi là: A ( 1+ m%) + A ( 1+ m%) N N −1 + + A ( 1+ m%) = N +1 A  1+ m%) − ( 1+ m%)  (   m%  Câu 15 Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi n số tháng cần tìm, áp dụng cơng thức câu ta có: 12 = 0,75 1,0072n+1 − 1,0072 ⇒ n ≈ 15,1 0,0072 Vậy thời gian gửi tiết kiệm 16 tháng Câu 16 Hướng dẫn giải: Chọn A Năm thứ trả gốc lãi, số tiền lại là: x1 = ( 1+ 0,12) x0 − 12m= 1,12x0 − 12m, x0 = 20( triêu) Năm thứ hai, số tiền lại là: x2 = ( 1+ 0,12) x1 − 12m= 1,12x1 − 12m Năm thứ ba, số tiền lại là: x3 = ( 1+ 0,12) x2 − 12m= 1,12x2 − 12m ⇒ m= 1,123.20 = 1,123.20.0,12 ( 1+ 1,12 + 1,12 ) 12 ( 1,12 − 1) 12 17 Hướng dẫn giải:chọn A Số chữ số 22017  log22017  + 1= 608   18 Hướng dẫn giải:Chọn B Trang 10/12 - Mã đề thi DE THI M + 1= 274207281 Số chữ số M =2 74207281 −1 22338618 74207281log2 + 1= 22338618 Do số chữ số chữ số 19 Hướng dẫn giải: Chọn A 100.( 1+ 15%) ≈ 152,1 Số tiền nhận sau gửi năm: Số tiền lãi nhận được: 152,1− 100 = 52,1 triệu triệu 20 Hướng dẫn giải: chọn A Áp dụng công thức: Sn = A( 1+ r ) n A = 100000,r = 15% Sn ≥ 130 000 ⇔ 100000.( 1+ 15%) ≥ 130000 ⇔ n ≥ log1+15% n Theo đề ta có 130000 ⇔ n ≥ 17,6218 100000 21 Hướng dẫn giải: Chọn C Áp dụng công thức Tn = a.( 1+ r ) n Trong tháng ta có: a = 100;r = 2%; n = T = 100.( 1+ 2%) = 104,04 Sau tháng đầu số tiền nhận là: Thời điểm gửi thêm 100 triệu nên ta xem a = 204,04 T = 204,04( 1+ 2%) = 212,283 Số tiền nhận sau năm: 22 Hướng dẫn giải: chọn D Ta có s( 0) = s( 2010) Trang 11/12 - Mã đề thi DE THI Theo giả thuyết ta s( 2015) = s( 2010) e5r s( 2015) 5r ⇒ e =  15r s( 2010) s( 2025) = s( 2010) e có:  s( 2015)  ( 1153600) ≈ 1424227 s( 2025) = s( 2010)   =  s( 2010)  ( 038229) 3 23 Hướng dẫn giải: chọn B Giải Cuối tháng 1: T1 = a + ar = a( 1+ r ) T2 = T1 + a + ( T1 + a) r = a.( 1+ r ) + a.( 1+ r ) Cuối tháng 2: … Tn = a.( 1+ r ) + a.( 1+ r ) n Cuối tháng n: Tn = a.( 1+ r ) ( 1+ r ) n n−1 + + a.( 1+ r ) −1 r a = 5;r = 0,2%, n = 24 Với T = a( 1+ r ) ( 1+ r ) n −1 r ( 1+ 0,7%) = 5.( 1+ 0,7%) 0,7% 24 −1 ≈ 131,0858 triệu 24 Hướng dẫn giải: Chọn C Tn = a.( 1+ r ) ( 1+ r ) r n −1 ( 1+ 8%) ⇔ 2000 = a.( 1+ 8%) 8% −1 ⇔ a = 252,4359004 Trang 12/12 - Mã đề thi DE THI ... 22017  log22017  + 1= 6 08   18 Hướng dẫn giải:Chọn B Trang 10/12 - Mã đề thi DE THI M + 1= 274207 281 Số chữ số M =2 74207 281 −1 223 386 18 74207 281 log2 + 1= 223 386 18 Do số chữ số chữ số 19... = a.S Trang 8/ 12 - Mã đề thi DE THI ( un ) S6 tổng sáu số hạng đầu cấp số nhân u1 = + r = 1, 08 q = + r = 1, 08 công bội S6 = u1 ( − q ) 1− q = với số hạng đầu 1, 08 ( − 1, 086 ) − 1, 08 T6 2.109... ) = 1, 084 A số tiền (cả gốc lẫn lãi) là: Sang năm tiếp theo, số tiền gốc lẫn lãi người thu là: 1, 084 A + 0, 084 A = 1, 084 A ( + 0, 084 ) = 1, 084 2 A Tổng quát: sau n năm, với cách tính lãi