Tìm hiểu lý thuyết vùng năng lượng của một vài bán dẫn

Công nghệ chế tạo vật liệu bán dẫn có lịch sử phát triển lâu dài, luônđổi mới và sáng tạo để tạo ra những vật liệu đáp ứng được những yêu cầu cầnthiết cho cuộc sống hàng ngày như: máy tí

Công nghệ chế tạo vật liệu bán dẫn có lịch sử phát triển lâu dài, luônđổi mới và sáng tạo để tạo ra những vật liệu đáp ứng được những yêu cầu cầnthiết cho cuộc sống hàng ngày như: máy tính cá nhân, máy tính điện tử, điệnthoại di động… dưới dạng các linh kiện bán dẫn hay các vi mạch tổ hợp chophép thu nhỏ một cách đáng kể kích thước, khối lượng của các linh kiện cũngnhư bản thân các thiết bị điện tử Chính vì thế việc nghiên cứu các vật liệubán dẫn đặ c biệ t là cá c bá n dẫ n có dạ ng ti nh thể là v ấn đề quan trọngtrong nghiên cứu vật lí học hiện nay.

Tìm hiểu cấ u trú c vùng năng lượng của các bán dẫn có dạng tinh thể s

ẽ cung cấp cho chúng ta mộ t s ố kiến thức cơ bản nhất về vật liệu bán dẫn từ

đó giúp chúng ta có một cái nhìn tổng quan về vật liệu bán dẫn

Xuất phát từ những lí do trên em đã mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu đề

tài: “Tìm hiểu về lý thuyết vùng năng lƣợng của một vài bán dẫn”.

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu cấ u trú c vùng năng lượng của một vài bán dẫn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Mạng tinh thể

- Phương trình Schrodinger

- Hàm sóng điện tử trong tinh thể

- Cấu trúc vùng năng lượng của Si, Ge, hợp chất AIIIBV

4 Đối tượng nghiên cứu

Các vật liệu bán dẫn đơn và đa tinh thể

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách và tra cứu tài liệu

CHƯƠNG 1: MẠNG TINH THÊ

Chất bán dẫn là vật liệu trung gian giữa vật dẫn điện và vật cách điện.Bán dẫn hoạt động như một vật cách điện ở nhiệt độ thấp và có tính dẫn điện

Chấ t bá n dẫ n đượ c xá c đị nh như nhữ ng chấ t có điệ n trở suấ t nằ

m giữ a điệ n trở suấ t củ a kim loạ i và điệ n môi, trong khoả ng từ 104 →

10-8 ( Ωcm)-1

Vậ t liệ u bá n dẫ n có rấ t nhiề u loạ i có thể có cấ u trú c tinh thể hay vô đị nh hình, ở trạng thái rắn hay lỏng Bán dẫn điển hình và được dùngphổ biến là Silic, ngoài ra còn bán dẫn đơn chất khác như : Ge, Se, B, C … Cá c bá n dẫ n nhiề u thà nh phầ n như: GaAs, InSb, GaP, GaSb…

Trong khuôn khổ đề tà i chủ yêu nghiên cứ u cấ u trú c vù ng năng lượ ng của Silic, Ge và hợ p chấ t AIIIBIV

Mộ t yế u tố quan trọ ng quyế t đị nh bả n chấ t bá n dẫ n củ a cá c hợ pchấ t vô cơ là cấ u trú c tinh thể

1.1 Mạng Bravais

1.1.1.Phép tịnh tiến

Trong vậ t rắ n tinh thể, các nguyên tử phân tử sắp xếp một cách đều

đặ n, tuầ n hoà n tron g không gian tạ o thà nh mạ ng tinh thể Như vậ y mộ ttinh thể lí tưở ng có thể xem như mộ t vậ t thể đượ c tạ o thà nh bằ ng cá chlặ p đi lặ p

lại vô hạn lần những đơn vị cấu trúc đồng nhất Trong cá c tinh thể đơn giả nnhấ t như tinh t hể củ a nhiề u kim loạ i (đồ ng, vàng, bạc, sắ t, nhôm), kimloạ i kiề m và tinh thể khí trơ, đơn vị cấ u trú c chỉ gồ m mộ t nguyên tử ;còn trong các tinh thể phứ c tạ p hơn như tinh thể cá c chấ t hữ u cơ , đơn vịcấ u trú c có thể bao gồ m hà ng trăm nguyên tử hay phân tử

Hình 1.1: Tinh thể hai chiề u Vectơ tị nh

Thí du : trong tinh thể hai chiề u trên hì nh 1.1, đơn vị cấ u trú c gồ m

2 nguyên tử khá c loạ i Việ c lặ p đi lặ p lạ i vô hạ n lầ n nhữ ng đơn v ị cấ u trú c nà y

thì tinh thể lại trùng với chính nó ,

nói cách khác, điể m có bá n kí nh vectơ r  hoàn toàn tương đương với điểm có

bán kính vectơ r  vớ i:

cơ sở ), còn véctơ R đượ c gọ i là véctơ tị nh tiế n tinh thể

1.1.2 Mạng không gian, gố c mạ ng và cấ u trú c tinh thể

Để mô tả tí nh tuầ n hoà n củ a tinh thể , năm 1848 Bravais đưa rakhái

niệ m mạ ng không gian Tậ p hợ p tấ t cả cá c điể m có bá n kí nh véc tơ

r đượ c

xác định bởi công thức (1.2), tạo thành một mạng không gian gọi là mạngBravais: mỗ i điể m gọ i là mộ t nú t mạ ng

Hình 1.2 (a) Mạng không gian va các mạng;

(b) Gố c mạ ng gồ m hai nguyên tử khá c loạ i.

Như vậ y, cấ u trú c tinh thể hai chiề u vẽ trên hì nh (1.2) có thể xemnhư đượ c tạo thà nh bằ ng cá ch gắ n và o mỗ i nú t củ a mạ ng không gian(hình 1.2a) mộ t nhó m nguyên tử , gọi là gốc mạng Gố c mạ ng là đơn vị cấ

u trú c đồ ng nhấ t nói ở trên có thể bao gồm hai nguyên tử khác loại như hình1.2b, hoặ c bao gồ m nhiề u nguyên tử cù ng loạ i, cũng như khác loại

Vị trí nguyên tử thứ j trong gốc mạng đối với nút mạng mà nó được gắnvào, đượ c xá c đị nh bở i véctơ:

r j x j a

 y j b

(1.3)(a)



Như vậ y: mạng không gian + gố c mạ ng = cấ u trú c tinh thể

1.1.3 Mạng Bravais trong không gian ba chiề u, ô cơ sở , ô nguyên tố 1.1.3.1 Mạng Bravais

Trong tinh thể ba c hiề u ta luôn chọ n đượ c ba véc tơ

a , b

sao cho khi dị ch chuyể n tinh thể theo véctơ

, c (hình 1.3)

Hình 1.3 Mạng không gian ba chiều

với n1, n2, n3 là những số nguyên bấ t kì , thì tinh thể lại trùng với chính nó.Nói cách khác, nhữ ng điể m có bá n kí nh véctơ r  đượ c xá c đị nh bằ ng

nói trên gọi là phép tịnh tiến tinh thể

Tậ p hợ p cá c điể m có bá n kí nh r  tạo thành mộ t mạ ng không giangọ i là





mạng Bravais, còn chính các điểm đó gọi là nút mạng.

n gđượ c gọ i là hằ ng số mạ ng hay chu kì mạ ng Hình hộp tạo bởi các véctơ

cơ sở gọi là ô đơn vị hay ô cơ sở

Ô cơ sở là mộ t thể tí ch không gian có cá c tí nh chấ t sau:

+ Khi thự c hiệ n tấ t cả cá c phé p tị nh tiế n tạ o t hành mạng Bravais,nghĩa là tất cả các phép tị nh tiế n có dạ ng (1.4) thì tập hợp tất cả các ô thuđược từ ô ban đầ u sẽ lấ p đầ y toà n bộ không gian, không để lạ i mộ t khoả

ng trố ng nà o

+ Mặ t khá c hai ô khá c nhau không thể có phầ n chồ ng chậ p lên nhau , nói cách khác , chúng chỉ có thể có các điểm chung trên mặt phân cách giữa chúng

+ Ô cơ sở có thể tí ch



Các ô cơ sở có những nút mạng nằm ngoài đỉnh hộp , không phả i là ônguyên tố , các ô cơ sở loại này có thể tích lớn hơn ô nguyên tố (hình 1.4b).

Hình 1.4 (a) Ô nguyên tố lậ p phương

(b) Ô cơ sở lậ p phương tâm mặ t, trong đó chỉ rõ ô nguyên tố

Cũng có thể chọn ô cơ sở như thế nào đó , để nó thể hiện đầy đủ tính chấ t đố i xứ ng củ a mạ ng Bravais Chẳ ng hạ n như cá ch chọ n ô Wigner -Seitz

Hình 1.5 Cách xây dưng ô Hình 1.6 Ô nguyên tố Wigner-Seitz nguyên tố Wigner-Seitz trong của mạng lập phương tâm

khối mạng hai chiều

Ô nà y trong mạ ng hai chiề u đượ c xây dự ng như sau : Lấ y mộ

t nú t O trên mạ ng Brava is Vẽ các đoạn thẳng nối O với các điểm lân cận theo tất cả các phương Sau đó vẽ cá c mặ t phẳ ng vuông gó c vớ i cá c đoạ

n thẳ ng nó i trên tại trung điểm của các đoạn này Khoảng không gian giới hạn bởi các mặt đó là ô nguyên tố Wigner-Seitz

1.2 Phân loạ i cá c mạ ng Bravais ba chiề u

Phân loại trên cơ sở tính đối xứng của hệ qua hình dạng các ô sơ cấp

1.3 Mạng đảo và vùng Brillouin

 được gọi là véctơ cơ sở của mạng đảo tương ứng với

  mạng thuận có các véctơ cơ sở a1, a2 , a3

  

V a1 a2 a3 là thể tích ô cơ sở mạng thuận

Khi đó cá c nú t mạ ng đượ c xá c đị nh bằ ng véctơ mạng đảo:

1.3.2 Mặt phẳ ng mạng, các chỉ số Miller

Trong mạ ng không gian , đườ ng thẳ ng đi qua vô số cá c nú t mạ ng gọ

i là đườ ng thẳ ng mạ ng

b1 b2

n a

3

a

2

a m1Mặ t phẳ ng có chứ a vô số nú t mạ ng gọ i là mặ t phẳ ng mạ ng Mặ t phẳ ng chứ a ba nú t mạ ng là mặ t phẳ ng mạ ng

- Măt phẳng mạng cắt cả ba trục toạ độ theo toạ độ m, n, p.

1 , 1 , 1

- Chỉ số mạng tinh thể này là (h, k, l) gọi là chỉ số Miller

- Trường hợp toạ độ âm thì dấu (-) được nằm trên đầu

1.3.3 Vùng Brillouin

Ô sơ cấp của không gian mạng đảo:

- Lấy O làm gốc

- Nối một nút O bất kỳ của mạng đảo với các nút lân cận

- Qua trung điểm các đọan này dựng các măt phẳng thẳng góc vớichúng

- Đa diện nhỏ nhất có tâm O được gọi là vùng Brillouin thứ nhất

- Khoảng không gian giới hạn bởi các măt của của vùng Brillouin thứnhất đến các măt của đa diện kế tiếp là vùng Brilliouin thứ hai

+) Mạng một chiều: Vùng Brillouin là các đoạn thẳng

+) Mạng 2 chiều: Hình vuông

+) Mạng 3 chiều: Đa diện

Vùng 1

1.4 Cấ u trú c tinh thể

Mạng Bravais cùng với tậ p hợ p cá c véctơ bán kính của tất cả các nguyên tử trong ô cơ sở tạ o thà nh mộ t cấ u trú c tinh thể Hầ u hế t cá c bá n dẫ n thông thườ ng kế t tinh theo mạ ng tinh thể lậ p phương tâm mặ t

1.4.1 Cấ u trú c kim cương

Mạng không gian củ a cấ u trú c kim cương là mạ ng lậ p phương tâmmặ t , gồ m hai mạ ng Bravais lậ p phương tâm diệ n lồ ng và o nhau Nútmạng nằm trên đườ ng ché o không gian củ a mạ ng kia và xê dị ch đi mộ tđoạ n bằ ng 1/4 đườ ng ché o đó (hình 1.7)

Hình 1.7 Cấ u trú c kim cương

Mỗ i nguyên tử có 4 nguyên tử ở vị t rí lân cận gần nhất và 12nguyên tử ở vị trí lân cận thứ hai

Các tinh thể của các nguyên tố thuộc nhóm 4 trong bả ng tuầ n hoà n cá

c nguyên tố hó a họ c như cacbon (C), silic (Si), giecman (Ge), thiế c (Sn) cócấu trúc kim cương vớ i cá c hằ ng số mạ ng tương ứ ng là : 3,56; 5,43; 5,65;

và 6,46 A0

1.4.2 Cấu trúc kẽm Sunfua lậ p phương (sphalerite) và vuazit (wurtzite).

Cấ u trú c kẽ m sunfua lậ p phương, gầ n giố ng cấ u trú c kim cương.Mạng không gian là mạng lậ p phương tâm mặ t Gố c mạ ng gồ mhai nguyên tử khá c loạ i : nguyên tử Zn nằ m tạ i vị trí 0 0 0 , nguyên tử Snằ m ở vị trí 1/4 1/4 1/4 (hình 1.8a)

Hình 1.8a Cấu trúc kẽm Sunfua Hình 1.8b Cấ u trú c

ZnS lập phương vuazit

Mộ t số tinh thể có cấ u trú c tương tự như trên là GaAs, InSb, GaP

…

1.4.3 Cấ u trú c loạ i muố i ăn:

Ngoài hai loại cấu trúc trên thì cấu trúc muối ăn cũng là một loại cấutrúc cũng bắt găp trong vật liệu bán dẫn

Bao gồ m hai loạ i nguyên tử khá c nhau có số lượ ng bằ ng nhau nằ

m xen kẽ trên các nút mạng của mạng lập phương đơn, do đó vớ i mỗ i

nguyên tử có 6 nguyên tử loạ i khá c nằ m ở cá c nú t lân cậ n gầ n n hấ t Các nguyên tử thuộc mỗi loại nằm ở các nút của m ột mạ ng lậ p phương tâm diệ n , hai mạ ng nà y lồ ng vào nhau, mạng nọ xê dịch đi so với mạng kia một đoạn bằng vecto cơ sở của mạng lập phương đơn ban đầu

Hình 1.9 Cấu trúc muối ăn

Như vậy, trong chương 1 em đã trình bày về cấu trúc tinh thể của vậtrắn thông qua những khái niệm cơ bản như: mạng Bravais, phân loại mạngBravais cũng như ô cơ sở, mạng đảo và vùng Brillouin Ngoài ra còn đưa ramột số cấu trúc tinh thể thường gặp của các bán dẫn

Để nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng của bán dẫn thì một trongnhững cách tiếp cận là đi giải phương trình Schrodinger Trong chương 2 ta sẽ

đi tìm hiểu về phương trình Schrodinger cũng như một số phương pháp giảigần đúng phương trình Schrodinger để tìm năng lượng và hàm sóng của điện

tử trong tinh thể

e 2

Z

 r

4 R0 i 

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER VÀ HÀM SÓNG

ĐIỆN TỬ TRONG TINH THÊ

2.1 Phương trì nh Schrodinger đố i vớ i tinh thể lí tưở ng.

Vậ t rắ n đượ c cấ u taọ từ cá c nguyên tử , nghĩa là từ các hạt nhân nguyên tử và cá c electron Trạng thái dừng của vật rắn được mô tả bởi hàm

phu thuộc vào tọa độ của các hạt trong tinh thể , các electron ( r

) và các hạtnhân (  )

 

(r i , R)Hàm sóng là nghiệm của phương trình Schrodinger

(2.1)

(2.2)Trong đó toá n tử Hamilton Hˆ phải bao gồm tất cả các dạng năng lượng

là toán tử động năng của hạt nhân

là toán tử thế năng của các electron

là toán tử thế năng của hạt nhân

Trong đó : Z là điệ n tí ch củ a hạ t nhân

m và Mα là khối lượng của electron và hạt nhân

ε0 và ε là hằng số điện môi của chân không và của tinh thể

Δ là toán tử Laplace xiên

Chỉ số i, j thuộ c về electron

Chỉ số α, β thuộ c về hạ t

nhân

Thự c chấ t đây là bà i toá n nhiề u vậ t , vì số biến số độc lập trong phương trình Schrodinger bằng số hạt trong một đơn vị thể tích tinh thể (-

1023cm-3) nên bà i toá n nà y khôn g thể giả i mộ t cá ch chí nh xá c mà chỉ có thể giả i mộ t cách gần đúng

Mộ t trong cá c phương phá p là m đơn giả n là đưa bà i toá n nhiề u hạ t về bài toán một hạt

Trướ c hế t ta xé t phép gần đúng đoạn nhiệt Bản chất của phép gần

đú ng đoạ n nhiệ t nà y như sau : vì khối lượng của electron rất nhỏ so với khối lượ ng củ a hạ t nhân (m << Mα) nên electron chuyể n độ ng nhanh hơn hạ t nhân rấ t nhiề u Khi đó có thể coi hạ t nhân đứ ng yên so vớ i vị trí tứ

c t hờ i củ a electron Nói cách khác , ta có thể coi electron chuyể n độ ng trong trườ ng thế của các hạt nhân đứng yên Trong trườ ng hợ p nà y chuyể n độ ng củ a electron

và hạt nhân là độc lập nhau , vì vậy hàm sóng của tinh thể được co i là tí ch củ a

 hàm sóng của electron khi hạt nhân đứng yên

nhân hai phương trì nh:

Đối với hạt nhân:

e

e 2

Z

 r

40 i R 

e 2

Z

 r

40 i R 

Như vậ y, thự c hiệ n phé p gầ n đú ng đoạ n nhiệ t để tì m hà m só ng và năng lượ ng củ a cá c electron trong tinh thể , thay cho việ c giả i phương trì nh (2.2) thì ta chỉ cầ n giả i phương trì nh (2.7) vớ i biế n số nhỏ hơn rấ tnhiề u Tuy vậ y số biế n số vẫ n rấ t lớ n , không thể giả i mộ t cá ch chí nhxá c ta lạ i thự c hiệ n phé p

gầ n đú ng tiế p theo Đó là phép gần đúng một electron.

Đối với các electron, toán tử Hamilton ˆ

Phép gần đúng một electron cho phép biểu diễn ˆ

e chỉ phu thuộc vàomộ t tọ a độ Thự c vậ y, do thự c hiệ n phé p gầ n đú ng đoạ n nhiệ t , nên trong số hạng thế năng tương tác giữa các electron và các hạt nhân , tọa độ Rα

chỉ đóng vai trò như mộ t tham số Vì vậy thế năng này có thể biểu diễn dưới dạng thế năng củ a electron trong trườ ng thế củ a tấ t cả cá c hạ t nhân ,khi đó số hạ ng nà y chỉ còn phu thuộc vào tọa độ của các electron, nghĩa là:

Số hạ ng thế năng tương tá c giữ a cá c electron vớ i nhau có thể biể

u diễ n dướ i dạ ng thế năng tương tá c củ a mộ t electron vớ i trườ ng thế trung bì nh củ a các electron còn lại Trườ ng thế trung bì nh đó đượ c gọ i

H

H

vì trườ ng nà y không nhữ ng tá c độ ng là m ả nh hưở ng tớ i chuyể n độ ng củ a electron thứ i, mà còn phu thuộc vào nó.

p vớ i nhau đố i vớ i từ ng electron.

2.2 Hàm Bloch trong trường tuần hoàn tinh thể

Như trên ta thấ y phương trì nh schrodinger mộ t electron có dạ ng:

 

Nghĩa là về măt vật ly , điể m r và

điểm

(r R) hoàn toàn tương

đương vớ i nhau, vì vậy hàm sóng tại hai điểm chỉ khác nhau một hệ số nhân

gọi là véctơ só ng

Thay (2.20) vào (2.19) ta đượ c:

R

hàm sóng phu thuộ c và o véctơ só ng k , do

đó ta kí hiệ u

(r

  

Nhân hai vế củ a (2.21) vớ i

cũng là một hàm tuần ho àn với chu kì bằng chu

kì của trường thế mạng tinh thể U (r

)Từ (2.23) ta suy ra:

2.3 Mộ t số phương phá p giả i phương trì nh Schodinger mộ t electron

2.3.1 Phương phá p gầ n đú ng electron gầ n tự do

Trong phương pháp này, ta coi thế tuần hoàn của mạng tinh thể U

(r) khá nhỏ so với năng lượng của electron Vì vậy hàm sóng xuất phát

là hàm sóng của electron tự do, ảnh hưởng của trường tinh thể lên chuyểnđộng của các electron được coi như một nhiễu loạn

Trong trườ ng hợ p nà y Hamintonian củ a

electron biể u diễ n dướ i dạ ng hai số hạ ng:

Hˆ Tˆ Uˆ (r

không nhiễu loạnvà

k



k

đị nh như là giá trị trung bì nh củ a thế

Từ (2.28) suy ra rằ ng : số hạ ng hiệ u chỉ nh bậ c

khi có tí nh đế n ả nh hưở ng củ a trườ ng tinh thể tuầ n hoà n lên chuyể n độ

ng củ a electron tự do Tuy nhiên số hạ ng nà y không thể là m biế n đổ i dạ

ng củ a phổ năng lượ ng, mà chỉ dịch chuyển toàn bộ phổ năng lượ ng xuố ng phí a dướ i mộ t lượ ng U Đó chí nh là độ sâu củ a giế ng thế năng – tương ứ ng vớ i công thoá t

electron ra khỏ i kim loạ i

E (k ) E (k  G)   2

2

Ta phả i tí nh tiế p đế n số hạ ng hiệ u chỉ nh bậ c hai Theo lý thuyế

t nhiễ u loạn, trong phé p gầ n đú ng electron gầ n tự do, số hạ ng nà y có dạ ng:

E2 (k )    

chỉ nh

E ( k )   E ( k   G )

E2 (k )

E2 (k ) 

 2

(2.31)

Từ (2.31) suy ra rằ ng khi tí nh đế n ả nh hưở ng củ a trườ ng tinh thể tuầ n hoàn, trong phé p gầ n đú ng bậ c hai , năng lượ ng sẽ bị giá n đoạ n ở nhữ ng điể m thỏa mãn phương trình (2.30)

Thự c vậ y, thay (2.30) vào (2.31), ta đượ c:

U E (k ) U2 (k ) E0 U b

Từ đó ta thấ y phổ năng lượ ng bị giá n đoạn một lượng 2 U b

k

2

Ta hã y xé t ý nghĩ a hì nh họ c và vậ t ký củ a đ iề u kiệ n (2.30) Thay biể u

thứ c củ

   2



0 2Hay k  G G

0

Tích vô hướng của véctơ k  

  và G bằ ng không, chứ ng tỏ hai véctơ

này vuông góc với nhau

Hình 2.1 Phổ năng lượ

ng



đú ng electron gầ n tự do Tại k= 

,2

,3

xảy ra sư gián đoạn năng

2.3.2 Phương phá p gầ n đú ng liên kế t mạ nh