MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 3 DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT 5 Chương I: GIẢI TOÁN VÀ Ý NGHĨA CỦA VIỆC THỰC HÀNH GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC 6 I. MỤC TIÊU BÀI HỌC 6 1. Năng lực 6 2. Phẩm chất 6 II. PHƯƠNG TIỆN 6 III. NỘI DUNG 6 A. Khởi động 6 B. Cơ bản 6 1. Quan niệm về bài toán và giải toán 6 2. Ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học: 7 3. Phân loại các bài toán ở tiểu học 8 C. Thực hành, ứng dụng, mở rộng 11 IV. TỰ HỌC 12 Chương II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 13 Lý thuyết: 4 tiết 13 I. MỤC TIÊU BÀI HỌC 13 1. Năng lực 13 2. Phẩm chất 13 II. PHƯƠNG TIỆN 13 III. NỘI DUNG 13 A. Khởi động 13 B. Cơ bản 13 1. Các bài toán áp dụng quy tắc 13 3. Các bài toán về ý nghĩa của phép trừ 15 4. Các bài toán về ý nghĩa của phép nhân 15 5. Các bài toán về ý nghĩa của phép chia 16 6. Các bài toán đơn về quan hệ giữa các thành phần và kết quả trong phép tính. 17 7. Các bài toán cơ bản về tỉ số và tỉ số phần trăm 17 C. Thực hành, ứng dụng, mở rộng 32 IV. TỰ HỌC 33 Luyện tập: 6 34 I. MỤC TIÊU BÀI HỌC 34 1. Năng lực 34 2. Phẩm chất 34 II. PHƯƠNG TIỆN 34 III. NỘI DUNG 34 A. Khởi động 34 B. Cơ bản 34 C. Thực hành, ứng dụng, mở rộng 35 IV. TỰ HỌC 35 CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG GIẢI TOÁN TIỂU HỌC 36 Lý thuyết: 7 36 I. MỤC TIÊU BÀI HỌC 36 1. Năng lực 36 2. Phẩm chất 36 II. PHƯƠNG TIỆN 37 III. NỘI DUNG 37 A. Khởi động 37 B. Cơ bản 37 1. Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng 37 3. Phương pháp tính ngược từ dưới lên 43 4. Phương pháp giải thiết tạm và khử 45 5. Phương pháp của lý thuyết tổ hợp 46 6. Quy trình giải một bài toán 48 C. Thực hành, ứng dụng, mở rộng 51 IV. TỰ HỌC 51 Luyện tập: 10 53 I. MỤC TIÊU BÀI HỌC 53 1. Năng lực 53 2. Phẩm chất 53 II. PHƯƠNG TIỆN 53 III. NỘI DUNG 53 A. Khởi động 53 B. Cơ bản 53 C. Thực hành, ứng dụng, mở rộng 54 IV. TỰ HỌC 54 Kiểm tra 1 tiết 55 NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC PHẦN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 LỜI NÓI ĐẦU Tập bài giảng “Thực hành giải toán” được biên soạn theo chương trình cao đẳng hiện hành, theo hướng tiếp cận năng lực. Nội dung tập bài giảng gồm 3 chương: Chương 1: Giải toán và ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học Chương 2: Phương pháp giải các bài toán điển hình ở tiểu học Chương 3: Một số phương pháp thường sử dụng trong giải toán ở tiểu học Cấu trúc các chương trong tập bài giảng bao gồm: Tên chương, số tiết lý thuyết, luyện tập; Mục tiêu; Phương tiện dạy học; Nội dung; Tự học. Điểm mới của tập bài giảng là mục tiêu của các chương được xác định theo năng lực và phẩm chất của người học; Nội dung các chương đi từ thực tiễn phổ thông, kiến thức học phần đến vận dụng vào phổ thông; Phần tự học có các câu hỏi để củng cố lý thuyết, có bài tập vận dụng, liên hệ với phổ thông và bài tập tự luyện. Với tập bài giảng này chúng tôi hi vọng rằng các bạn sinh viên sẽ biến nó thành tài liệu hữu ích để phục vụ cho việc học tập trên lớp cũng như tự học, tự nghiên cứu. Chúc các bạn sinh viên học tập đạt hiệu quả cao nhất
Trang 1MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 3
DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT 5
Chương I: GIẢI TOÁN VÀ Ý NGHĨA CỦA VIỆC THỰC HÀNH GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC 6
I MỤC TIÊU BÀI HỌC 6
1 Năng lực 6
2 Phẩm chất 6
II PHƯƠNG TIỆN 6
III NỘI DUNG 6
A Khởi động 6
B Cơ bản 6
1 Quan niệm về bài toán và giải toán 6
2 Ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học: 7
3 Phân loại các bài toán ở tiểu học 8
C Thực hành, ứng dụng, mở rộng 11
IV TỰ HỌC 12
Chương II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 13
Lý thuyết: 4 tiết 13
I MỤC TIÊU BÀI HỌC 13
1 Năng lực 13
2 Phẩm chất 13
II PHƯƠNG TIỆN 13
III NỘI DUNG 13
A Khởi động 13
B Cơ bản 13
1 Các bài toán áp dụng quy tắc 13
3 Các bài toán về ý nghĩa của phép trừ 15
4 Các bài toán về ý nghĩa của phép nhân 15
5 Các bài toán về ý nghĩa của phép chia 16
6 Các bài toán đơn về quan hệ giữa các thành phần và kết quả trong phép tính 17
7 Các bài toán cơ bản về tỉ số và tỉ số phần trăm 17
C Thực hành, ứng dụng, mở rộng 32
IV TỰ HỌC 33
Luyện tập: 6 34
I MỤC TIÊU BÀI HỌC 34
1 Năng lực 34
2 Phẩm chất 34
II PHƯƠNG TIỆN 34
III NỘI DUNG 34
A Khởi động 34
B Cơ bản 34
Trang 2C Thực hành, ứng dụng, mở rộng 35
IV TỰ HỌC 35
CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG GIẢI TOÁN TIỂU HỌC 36
Lý thuyết: 7 36
I MỤC TIÊU BÀI HỌC 36
1 Năng lực 36
2 Phẩm chất 36
II PHƯƠNG TIỆN 37
III NỘI DUNG 37
A Khởi động 37
B Cơ bản 37
1 Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng 37
3 Phương pháp tính ngược từ dưới lên 43
4 Phương pháp giải thiết tạm và khử 45
5 Phương pháp của lý thuyết tổ hợp 46
6 Quy trình giải một bài toán 48
C Thực hành, ứng dụng, mở rộng 51
IV TỰ HỌC 51
Luyện tập: 10 53
I MỤC TIÊU BÀI HỌC 53
1 Năng lực 53
2 Phẩm chất 53
II PHƯƠNG TIỆN 53
III NỘI DUNG 53
A Khởi động 53
B Cơ bản 53
C Thực hành, ứng dụng, mở rộng 54
IV TỰ HỌC 54
Kiểm tra 1 tiết 55
NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC PHẦN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58
LỜI NÓI ĐẦU
Tập bài giảng “Thực hành giải toán” được biên soạn theo chương trình cao đẳng hiện hành, theo hướng tiếp cận năng lực
Trang 3Nội dung tập bài giảng gồm 3 chương:
Chương 1: Giải toán và ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học
Chương 2: Phương pháp giải các bài toán điển hình ở tiểu học
Chương 3: Một số phương pháp thường sử dụng trong giải toán ở tiểu họcCấu trúc các chương trong tập bài giảng bao gồm: Tên chương, số tiết lý thuyết,luyện tập; Mục tiêu; Phương tiện dạy học; Nội dung; Tự học
Điểm mới của tập bài giảng là mục tiêu của các chương được xác định theonăng lực và phẩm chất của người học; Nội dung các chương đi từ thực tiễn phổ thông,kiến thức học phần đến vận dụng vào phổ thông; Phần tự học có các câu hỏi để củng
cố lý thuyết, có bài tập vận dụng, liên hệ với phổ thông và bài tập tự luyện
Với tập bài giảng này chúng tôi hi vọng rằng các bạn sinh viên sẽ biến nó thànhtài liệu hữu ích để phục vụ cho việc học tập trên lớp cũng như tự học, tự nghiên cứu
Chúc các bạn sinh viên học tập đạt hiệu quả cao nhất!
Trang 5Chương I: GIẢI TOÁN VÀ Ý NGHĨA CỦA VIỆC THỰC HÀNH GIẢI
TOÁN Ở TIỂU HỌC
2 tiết (Lý thuyết: 2, bài tập: 0)
I MỤC TIÊU BÀI HỌC
1 Năng lực
- Nêu được ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học
- Khai thác, tìm kiếm và xử lý được các nguồn thông tin trong quá trình tự học
- Có kĩ năng tự học, tự nghiên cứu, giao tiếp, hợp tác với bạn trong thực hiệnnhiệm vụ học tập
2 Phẩm chất
- Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá tư duy logic của mỗi cá nhân tronghọc tập và cuộc sống hàng ngày
- Yêu nghề, có thái độ, đạo đức gương mẫu của người giáo viên tương lai
II PHƯƠNG TIỆN
Máy chiếu projector, máy tính
III NỘI DUNG
A Khởi động
Giải các bài toán ở tiểu học:
- Bài 3 (Tr 11), bài 2 (Tr176) – Toán 3
- Bài 5 (Tr 10); bài 3, (Tr 11) - Toán 2;
- Đề bài của một bài toán có hai thành phần: đã cho và cần tìm
- Phần đã cho và cần tìm có thể là những con số, những số đo đại lượng (con số+ đơn vị đo) Cũng có thể là những quan hệ hay điều kiện nào đó
- VD 1.1: Xét bài toán: Tìm một số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm một chữ số
0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì thu được số mới gấp 7 lần sốban đầu
Trang 6+ Ở bài này: phần đã cho không có số nào mà chỉ có một quan hệ giữa số đãbiết và số tạo thành khi viết thêm một chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ sốhàng đơn vị.
+ Phần cần tìm là số đã cho ban đầu
+ Ở mức độ yêu cầu cơ bản về trình bày, lời giải của bài toán như sau:
Số bông hoa Lan có:
3 + 1 = 4 (bông hoa)
Số bông hoa 2 bạn có:
3 + 4 = 7 (bông hoa)
Đáp số: 7 bông hoa
* Quá trình giải toán trên gồm 2 suy luận:
- Suy luận 1: Vì Hồng có 3 bông hoa, Lan có nhiều hơn Hồng 1 bông hoa, nênLan có: 3 + 1 = 4 bông hoa
- Suy luận 2: Vì Hồng có 3 bông hoa và Lan có 4 bông hoa, nên hai bạn có
3 + 4 = 7 bông hoa
* Nhận xét: Trong lời giải trên hai suy luận không được ghi đầy đủ như các bậchọc trên, mà được ghi dưới dạng rút gọn Đây là sự khác biệt đáng lưu ý giữa trình bàylời giải ở tiểu học với trình bày lời giải các bài toán ở các bậc học trên
2 Ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học:
- Các hoạt động toán học là các công việc của người làm toán GV dạy và họcsinh học cách thực hiện các công việc của người làm toán Ở tiểu học giải toán có thể
sử dụng vào hầu hết các khâu trong quá trình dạy học
2.1 Lấy giải toán làm điểm xuất phát để tạo động cơ hình thành tri thức mới:
Trang 7- VD 1.3: để hình thành khái niệm ban đầu về phép nhân số tự nhiên, SGK xuấtphát từ bài toán: Việt lấy mỗi lần 2 quả cam và lấy tất cả 3 lần Hỏi Việt đã lấy ra baonhiêu quả cam? (2+2+2 = 6 hay 2x3=6).
2.2 Lấy giải toán làm phương tiện củng cố tri thức mới:
- VD 1.4: để củng cố khái niệm phép nhân số tự nhiên vừa hình thành, SGK yêucầu học sinh giải các bài toán:
+ Bài 1: Đọc và tính giá trị của biểu thức:
2.4 Lấy giải toán làm phương tiện để phát triển năng lực tư duy của học sinh:
- Bản chất của quá trình giải một bài toán là một dãy suy luận Như vậy ”luyện”giải toán tức là ”luyện” suy luận, và cũng có nghĩa là rèn luyện tư duy
3 Phân loại các bài toán ở tiểu học
3.1 Bài toán có lời văn và bài toán áp dụng quy tắc:
- VD 1.6: Xét ba bài toán:
+ Bài toán 1: Tính 17 + 23
+ Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức: (3,5 + 8) – 2x4,5
+ Bài toán 3: Hồng có 17 quả cam, Lan có 23 quả cam Hỏi cả hai bạn có baonhiêu quả cam?
* Nhận xét:
- Bài toán 1, 2 là những Bài toán thuần túy toán học Đề bài của bài toán 3 cóchứa lời văn và chúng ta dựa vào lời văn mà rút ra phép tính phải làm gì
Trang 8- Đề bài của các bài toán 1,2 chỉ gồm một mệnh lệnh nêu rõ phép tính cần thựchiện.
- Chúng ta sẽ gọi những bài toán dạng như bài toán 3 là bài toán có lời văn, còncác bài toán có dạng như bài toán 1, 2 là bài toán áp dụng quy tắc
3.2 Bài toán đơn và bài toán hợp:
- Các bài toán đơn được chia thành 5 nhóm:
+ Nhóm 1: Các bài toán đơn thể hiện ý nghĩa cụ thể của các phép tính số học.+ Nhóm 2: Các bài toán đơn thể hiện mối quan hệ giữa các thành phần và kếtquả phép tính
+ Nhóm 3: Các bài toán đơn phát triển thêm ý nghĩa mới của phép tính số học + Nhóm 4: Các bài toán đơn liên quan đến phân số và tỉ số
+ Nhóm 5: Các bài toán đơn áp dụng các công thức
- Phân loại các bài toán có lời văn ở tiểu học: theo số phép tính cần thực hiệnkhi giải bài toán
- Bài toán đơn: là bài toán chỉ cần một phép tính để giải
- Các bài toán hợp được chia thành 2 nhóm:
+ Nhóm 1: Gồm các bài toán mà cách giải không nêu thành mẫu → các bài toánkhông điển hình
+ Nhóm 2: Gồm các bài toán mà quá trình giải có phương pháp giải riêng chotừng dạng bài toán → các bài toán điển hình
+ Bài toán 3: Hồng có 17 quả cam, Lan có 23 quả cam Hỏi trung bình mỗi bạn
có bao nhiêu quả cam?
* Nhận xét: Bài toán 1 là bài toán đơn
- Bài toán 2, 3 là bài toán hợp
- Bài toán 3 cần 2 phép tính để giải: (17+23):2 = 20 quả cam
3.3 Bài toán điển hình và bài toán không điển hình
- Các bài toán áp dụng quy tắc là những bài toán có mẫu giải sẵn, chỉ cần nhớmẫu là giải được
- Chương trình toán tiểu học nêu thành mẫu cách giải một số dạng toán có lờivăn, như: bài toán về nhiều hơn, bài toán tìm 2 số khi biết tổng và hiệu củachúng những bài toán này là bài toán điển hình
- Các bài toán còn lại mà cách giải không được nêu thành mẫu trong chươngtrình, gọi là bài toán không điển hình
Trang 9* VD 1.8: Quy tắc giải dạng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của 2 số đó:
- Bước 1: Vẽ sơ đồ
- Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
- Bước 3: Tìm giá trị một phần
- Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
- Bước 3: Tìm giá trị một phần
* VD 1.14: Cho m và n là các số tự nhiên lớn hơn 0 Biết rằng trong bốn câu
phát biểu sau có 3 câu đúng và 1 câu sai:
a) m + n + 1 chia hết cho n
b) m = 2 x n + 5
Trang 10c) m + n chia hết cho 3
d) Số m + 7xn chỉ chia hết cho 1 và chính nó
Hãy cho biết m, n là những số nào
* Nhận xét:
- VD 1.8 đến VD 1.11: là các bài toán điển hình.
- VD 1.12, 1.13: là các bài toán Các bài toán áp dụng quy tắc là những bài toán
có mẫu giải sẵn, chỉ cần nhớ mẫu là giải được
- VD 1.14: là bài toán không điển hình
C Thực hành, ứng dụng, mở rộng
- Hướng dẫn HS tiểu học giải các bài tập sau:
- Bài 5 (Tr 10), bài 4 (Tr 11) - Toán 2,
- Trong quá trình học tập có khó khăn ở dạng toán nào khi thực hiện để đáp ứngyêu cầu đổi mới
- Bài 1 (Tr.7)
Cho VD : Một đề toán mà cả phần đã cho và phần cần tìm đều không phải là số
mà chỉ là những quan hệ giữa các số ?
- Bài 2 (Tr 8)
a) Hãy nêu một đề toán ở lớp 1 có lời giải ở mức yêu cầu thấp về trình bày như
sau: 3 +7 = 7 (chiếc kẹo)
b) Sau đó hãy viết lại lời giải ở mức yêu cầu cơ bản về trình bày.
c) Quá trình giải bài toán này gồm mấy suy luận ?
- Bài 1 Tr 12: Với mỗi loại bài toán sau hãy nêu hai VD :
a) Bài toán áp dụng quy tắc.
b) Bài toán có lời văn.
c) Bài toán đơn.
d) Bài toán hợp
e) Bài toán điển hình
f) Bài toán không điển hình
- Bài 2 Tr 13
Bài toán sau là bài toán đơn hay bài toán hợp: Tính diện tích của hình tam giác
có đáy dài 6cm và chiều cao 3cm
Trang 11d) Bài toán đơn và bài toán hợp.
1 Năm nay mẹ 30 tuổi, con 6 tuổi Hỏi trước đây 4 năm, tổng số tuổi mẹ và con
- Số con vịt trên bờ hay dưới ao nhiều hơn ?
- Trên bờ có mấy con vịt ?
- Dưới ao có mấy con vịt ?
IV TỰ HỌC
1 Trả lời các câu hỏi:
- Ở TH bài toán được hiểu theo nghĩa nào
- Đề bài có mấy thành phần?
- Cho VD? Phân tích đề bài đó?
- Ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học
2 Làm bài tập trong giáo trình: 1, 2 (tr 8), 1,2 (tr.12,13); 1,2,3,4 (tr.13,14).
3 Nghiên cứu một số nội dung trong chương trình tiểu học:
- Giải được các dạng bài tập theo các chủ điểm: Các bài toán áp dụng quy tắc,các bài toán về ý nghĩa của phép cộng, các bài toán về ý nghĩa của phép trừ, các bàitoán về ý nghĩa của phép, các bài toán về ý nghĩa của phép, các bài toán đơn về quan
hệ giữa các thành phần và kết quả trong phép tính, các bài toán cơ bản về tỷ số và tỷ sốphần trăm, các bài toán dạng tìm hai số khi biết kết quả hai phép tính, các bài toán hợpgiải bằng hai phép tính cộng và trừ, các bài toán cơ bản về hai đại lượng tỉ lệ, một sốbài toán điển hình khác
Trang 12Chương II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
10 tiết (Lý thuyết: 4, bài tập: 6)
- Yêu nghề, có thái độ, đạo đức gương mẫu của người giáo viên tương lai
II PHƯƠNG TIỆN
Máy chiếu projector, máy tính
III NỘI DUNG
1 Các bài toán áp dụng quy tắc
1.1 Thực hiện phép tính (cộng, trừ, nhân, chia)
Thực hiện thành thạo bốn phép tính là yêu cầu cơ bản của chương trình toántiểu học
1.3 Tính giá trị của biểu thức
Tính giá trị của một biểu thức (không có chữ) cũng có nghĩa là thực hiện một
Trang 13phép tính, cần nắm được thứ tự thực hiện các phép tính trong một biểu thức Thứ tựnày được trình bày mạch lạc nhất nếu chia thành các trường hợp:
- Biểu thức không chứa dấu ngoặc
+ Chỉ có các phép tính cộng trừ
+ Chỉ có các phép tính nhân và chia
+ Có cả các phép tính cộng và trừ lẫn các phép tính nhân và chia
- Biểu thức có dấu ngoặc
1.4 Tính chu vi, diện tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình
- Các công thức tính được áp dụng là:
+ Tính chu vi của hình vuông: C = a x 4
+ Tính chu vi của hình chữ nhật: C = (a +b) x 2
+ Tính chu vi của hình tròn: C = R x 3,14 x 2
+ Tính diện tích của hình vuông: S = a x a
+ Tính diện tích của hình chữ nhật: S = a xb
+ Tính diện tích của hình tam giác: S = a xb
+ Tính diện tích của hình thang: S = (a + b) x h : 2
+ Tính diện tích của hình tròn: C = R x R x 3,14
+ Tính diện tích xung quanh của hình lập phương, hình hộp chữ nhật và hìnhtrụ (Sxq = chu vi đáy x chiều cao)
+ Tính thể tích của hình lập phương, hình hộp chữ nhật và hình trụ (Stp = Sxq +
- Hai công thức dẫn xuất s = v x t và t = s : v
- Ví dụ 2.1: Vận tốc dòng chảy của một con sông là 3 km/giờ Vận tốc của ca
nô (khi nước đứng yên) là 15 km/giờ Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng và khi ngượcdòng
+ Hướng dẫn : Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là:
15 + 3 = 18 (km/giờ )Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là 15 – 3 = 12 (km/giờ )
Đáp số : 18 km/giờ ; 12 km/giờ
- Ví dụ 2.2: Một ca nô khi ngược dòng từ A đến B mỗi giờ đi được 10 km Sau
8 giờ 24 phút thì đến B Biết vận tốc dòng chảy là 2 km/giờ Hỏi ca nô đó đi xuôi dòng
từ B đến A thì hết bao nhiêu thời gian
Trang 14+ Giải
Quãng sông AB dài là :
8 giờ 24 phú x 10 = 84 (km)Vận tốc cua ca nô khi xuôi dòng là:
10 + 2 = 12 (km/giờ )Thời gian ca nô đi xuôi dòng là:
84 : 12 = 7 (giờ )
Đáp số: 7 giờ
2 Các bài toán về ý nghĩa của phép cộng
2.1 Các bài toán đơn về ý nghĩa của phép cộng số tự nhiên.
- Ví dụ 2.3: Anh có 3 quả cam, em có 5 quả cam Hỏi cảc hai anh em có bao
nhiêu quả cam
- Lời giải: Số quả cam của hai anh em là:
3+ 5 = 8 ( Quả)
Đáp số: 8 quả cam
2.2 Các bài toán đơn về ý nghĩa của phép cộng phân số và số thập phân.
- Phân số và số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn chỉ là hai cách ghi
khác nhau của cùng một loại số hữu tỉ Mỗi số hữu tỉ là một lớp tương đương các cặp
số nguyên Điều đó rất khó giải thích cho học sinh tiểu học Chương trình tiểu học chỉgiới thiệu đến phân số không âm và số thập phân hữu hạn Theo cách hình thành kháiniệm phân số ở tiểu học, phân số được hình thành như trong ví dụ sau:
- Chia cái bánh thành 4 phần, lấy 3 phần, ta nói ta lấy 3 phần 4 cái bán
Viết 3/4 cái bánh
3 Các bài toán về ý nghĩa của phép trừ
Trong toán học, hiệu m – n của hai số tự nhiên có nhiều cách định nghĩa Trongtiểu học định nghĩa gắn liền với thao tác bớt
Trong ngôn ngữ thông thường có thể hiểu hiệu m – n là: Nếu một nhóm có mphần tử và ta lấy bớt đi n phần tử, thì phần tử còn lại là m – n phần tử
- Ví dụ 2.4: Lan có 5 quả cam, Lan cho em 2 quả Hỏi Lan còn mấy quả cam?
- Ví dụ 2.5: Lan có 5 quả cam Hồng có ít hơn Lan 2 quả Hỏi Hồng có bao
nhiêu quả cam?
- Ví dụ 2.6: Lan có 5 quả cam, Hồng có 2 quả cam Hỏi Lan có nhiều hơn Hồng
bao nhiêu quả cam
4 Các bài toán về ý nghĩa của phép nhân
4.1 Các bài toán đơn về ý nghĩa của phép nhân.
Trong toán học, tích m x n của hai số tự nhiên được định nghĩa bằng nhiềucách
Trang 15- Nếu tập hợp A có n phần tử, tập hợp B có m phần tử, thì m x n là số phần tửcủa tập tích Đề các A x B Nếu định nghĩa như thế rất khó đối với học sinh tiểu học,nên người ta chọn cách khác để hình thành khái niệm phép nhân
Sách giáo khoa hiện hành hình thành phép nhân bằng cách thông qua phép cộngcác số hạng bằng nhau
- Ưu điểm của cách hình thành này là học sinh có thể tự tìm ra kết quả của phépnhân thông qua phép cộng
Ba dạng cơ bản của bài toán đơn về ý nghĩa của phép nhân số tự nhiên đượcnêu trong các ví dụ sau
- Gộp các nhóm bằng nhau:
Ví dụ 2.7 Trong phòng học có 18 bàn, mỗi bàn có hai chỗ ngồi Hỏi trong
phòng học có bao nhiêu chỗ ngồi?
- Tăng lên một số lần:
Ví dụ 2.8: Trước đây nhà máy có 100 công nhân Đến nay số công nhân của
nhà máy đã tăng lên 3 lần Hỏi hiện nay nhà máy có bao nhiêu công nhân
4.2 Các bài toán đơn về ý nghĩa của phép nhân phân số và số thập phân.
Phép nhân phân số với số tự nhiên có ý nghĩa giống như phép nhân số tự nhiênvới số tự nhiên
5 Các bài toán về ý nghĩa của phép chia
- Nếu một tập hợp gồm m phần tử được chia đếu thành n bộ phận
Thế thì thương m : n là số phần tử của mỗi bộ phận đó
- Giả sử tập A có m phần tử và A được chia thành một số bộ phận và mỗi bộphận đều có n phân tử Thế thì thương m : n là số bộ phận đó
Có thể phát biểu lại như sau:
- Nếu một nhóm có m phần tử mà được chia đều thành n phần thì mỗi phần cóm: n phần tử
- Nếu một nhóm có m phần tử mà được chia đều thành một số phần, mỗi phần
có n phần tử, thì số phần bằng m: n
Chia đều, tìm số phần tử:
Ví dụ 2.11 Có 36 chiếc kẹo, chia đều cho 12 em Hỏi mỗi em được bao nhiêu
chiếc kẹo?
Chia đều, tìm số phần:
Trang 16Ví dụ 2.12 Có 36 chiếc kẹo chia đều cho một số em, mỗi em được 12 chiếc
kẹo Hỏi có bao nhiêu em được chia kẹo?
Gấp một số lần:
Ví dụ 2.13 Anh có 12 chiếc kẹo, số kẹo của em nhiều gấp 4 lần anh Hỏi em có
bao nhiêu chiếc kẹo?
Giảm một số lần:
Ví dụ 2.14 Xã Đồng Tâm năm 1990 có 12 em bé 4 tuổi bị bại liệt Năm 1995
số em bé 4 tuổi bị bại liệt giảm đi 4 lần so với năm 1990 Tính số trẻ em 4 tuổi bị bạiliệtnăm 1995?
Kém một số lần:
Ví dụ 2.15 Giá một kilôgam thịt giá 60.000 đồng, Giá gạo kém giá thịt 5 lần.
Hỏi giá một kilôgam gạo là bao nhiêu đồng?
So sánh gấp – kém một số lần:
Ví dụ 2.16 Giá một kilôgam thịt giá 60.000 đồng, giá một kilôgam gạo là
12.000 đồng Hỏi thịt đắt hơn gạo bao nhiêu lần?
6 Các bài toán đơn về quan hệ giữa các thành phần và kết quả trong phép tính.
Số bị chia = số chia x thương
Số chia = số bị chia : thương
7 Các bài toán cơ bản về tỉ số và tỉ số phần trăm
7.1 Tỉ số và các bài toán cơ bản về tỉ số.
Ví dụ 217 Tìm tỉ số của hai số 10 và 6
Ví dụ 2.18 Biết tỉ số của một số so với số 8 là 3 : 2 Tìm số đó.
Ví dụ 2.19 Biết tỉ số của số 12 so với một số là 3 : 2 Tìm số đó.
Ví dụ 2.20 Tìm 2 phần 3 của số 9.
7.2 Tỉ số phần trăm và các bài toán về tỉ số phần trăm.
Tỉ số của số thứ nhất so với số thứ hai là x%
Số thứ nhất : số thứ hai = x : 100
Trang 17Có thể hiểu nếu đem số thứ nhất chia thành 100 phần thì số thứ hai bằng x phầnđó.
- Ví dụ 2.22 Biết tỉ số phần trăm của một số so với 50 là 70% Tìm số đó?
- Lời giải: Số cần tìm là: (50: 100) x 70 = 35
c) Tìm số thứ hai:
- Ví dụ 2.23 Biết tỉ số phần trăm của 35 so với một số là 70% Tìm số đó?
- Lời giải: Số cần tìm là: (35 : 70) x 100 = 50
Tỉ số học sinh nữ so với học sinh của lớp là:
Tỉ số học sinh nam so với học sinh của lớp là:
Một số giảm đi 20% tức là giảm đi 1/5 giá trị của số đó
Vậy phải tăng số mới thêm 1/4 của nó tức là 25% thì được số ban đầu
Bài 3:
Trang 18Một số tăng thêm 25% thì phải giảm đi bao nhiêu phần trăm để lại được số cũ.Giải:
Một số tăng thêm 25% tức là tăng thêm 1/4 của nó
Vậy số mới phải giảm đi 1/5 giá trị của nó tức là 20% của nó thì lại được số banđầu
Cứ có 100 g nước thì có 2 g muối
16 g muối cần số lượng nước là:
100: 2 x 16 = 800 (g)Lượng nước phải thêm là:
Trang 19Gọi số đo chiều dài là 100 x a
Số đo chiều rộng là 100 x b
Số đo diện tích là: 10 000 x a x b
Số đo chiều dài mới là: 110 x a
số đo chiều rộng mới là: 90 x b
Số đo diện tích mới là: 9900 x a x b
Số đo diện tích mới kém số đo diện tích cũ là:
40 – 30 = 10 (kg)
Tỉ số % nước chứa trong hạt đã phơi khô là:
10: 170 = 5,88%
Đáp số 5,88 %Bài 8:
Giá hoa ngày tết tăng 20% so với tháng 11 Tháng giêng giá hoa lại hạ 20%.Hỏi:
Giá hoa tháng giêng so với giá hoa tháng 11 thì tháng nào đắt hơn và đắt hơnbao nhiêu phần trăm
Giải:
Giá hoa ngày tết so với tháng 11 là:
100 + 20 = 120 (%)Giá hoa sau tết còn là:
100 – 20 = 80 (%)hoa sau tết so với tháng 11 là:
Trang 20Giá hoa sau tết so với tháng 11 là:
100 – 96 = 4 (%)
Đáp số: 4 %
8 Các bài toán tìm hai số khi biết kết quả hai phép tính.
8.1 Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng.
* Quy tắc giải dạng toán tìm 2 số biết tổng và hiệu của 2 số đó:
Số bé = (Tổng – hiệu) : 2
Số lớn = (Tổng + hiệu) : 2 = Tổng – số bé
* Khi đã tìm được một số nên hướng dẫn học sinh biết lấy Tổng trừ đi số vừatìm được để được số kia
* Hướng dẫn học sinh tìm 2 lần số bé trước bằng Tổng trừ đi Hiệu Như thế sẽthuận tiện hơn khi các em gặp trường hợp tìm 3; 4… số khi biết Tổng và các Hiệu củachúng
* VD 2.24: Giả sử có bài toán: Huy có tất cả 8 viên bi, số bi xanh nhiều hơn số
bi đỏ 6 viên Hỏi Huy có bao nhiêu bi xanh, bao nhiêu bi đỏ?
- Phân tích: Với một HS lớp 2, lớp 3 thì chỉ có thể dùng cách suy luận để tìm rakết quả bài toán Đến lớp 4, các em mới được tìm hiểu một cách chính thức về nộidung cũng như phương pháp giải dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu”
Để giúp HS tìm ra phương pháp giải, chúng ta hãy xét ví dụ sau:
* VD 2.25: Tổng của hai số là 70 Hiệu của hai số là 10 Tìm hai số đó
HS thực hiện các chuỗi thao tác sau để hình thành phương pháp giải:
Trang 21Số lớn = (Tổng + hiệu) : 2 = Tổng – số bé
Từ đây, HS sẽ vận dụng “chiếc chìa khóa’ này để giải các bài toán dạng “Tìmhai số khi biết tổng và hiệu”
* VD 2.26: Lớp 4A có 28 học sinh Số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ
là 4 em Hỏi lớp 4A có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ?
- Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ đồ:
Số học sinh nam của lớp 4A là: (28 + 4) : 2 = 16 (em)
Số học sinh nữ của lớp 4A là: 16 – 4 = 12 (em)
Đáp số: 16 em; 12 em
Tuy nhiên, để rèn luyện tính linh hoạt và sáng tạo của tư duy, người ta sẽ tăngmức độ phức tạp của bài toán bằng cách cho ẩn “tổng” hoặc “hiệu” Muốn giải bàitoán, HS cần xác định đúng “tổng” và “hiệu”, và đây là thử thách khó nhất đối với các
em
8.2 Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng.
* Quy tắc giải dạng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của 2 số đó:
Số lớn = Giá trị 1 phần x số phần của số lớn = Tổng – số bé
Ví dụ 2.27: Có 45 tấn thóc chứa trong hai kho Kho lớn chứa gấp 4 lần kho
nhỏ Hỏi số thóc chứa trong mỗi kho là bao nhiêu tấn?
Bước 1: Phân tích và tóm tắt bài toán:
1 Bài toán cho biết gì? (tổng số thóc ở hai kho là 45 tấn Kho lớn gấp 4 lần khonhỏ) "tỷ số của bài toán chính là điều kiện của bài toán"
2 Bài toán hỏi gì? (số thóc ở mỗi kho) "tức là số thóc ở kho nhỏ và số thóc ởkho lớn"
3 Bài toán thuộc dạng toán gì? (bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số củahai số đó)
Trang 22Bước 2: Tìm cách giải bài toán:
Trình bày bài giải:
Dựa vào kế hoạch giải bài toán ở trên mà học sinh sẽ tiến hành giải như sau:
Hỏi còn cách giải nào khác?
Tổng số thóc 2 kho - kho nhỏ = số thóc kho lớn
8.3 Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng.
* Quy tắc giải dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu và tỉ số của 2 số đó:
Trang 23- Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)
- Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)
- Cho dữ kiện thêm, bớt số, tạo tổng (tỉ) mới tìm số ban đầu
Với những bài toán cho dữ kiện như vậy, cần tiến hành thêm một bước chuyển
về bài toán cơ bản
- VD 2.28: Hiện nay, An 8 tuổi và chị Mai 28 tuổi Sau bao nhiêu năm nữa thì1/3 tuổi An bằng 1/7 tuổi chị Mai?
+ Hướng dẫn
Bước 1: Tìm hiệu
Chị Mai hơn An số tuổi là: 28 – 8 = 20 (tuổi)
Bước 2: Tìm tỉ số:
1/3 tuổi An bằng 1/7 tuổi chị Mai thì tuổi An bằng 3/7 tuổi của chị Mai
Tuổi An : 3 = Tuổi chị Mai : 7 suy ra Tuổi An = Tuổi chị Mai : 7 x 3 = 3/7 tuổichị Mai)
Bước 5: Tìm hai số
Số bé = hiệu : hiệu số phần bằng nhau x số phần của số bé
Tuổi An khi đó là: 20 : 4 x 3 = 15 (tuổi)
Số năm để 1/3 tuổi An bằng 1/7 tuổi Mai là: 15 – 8 = 7 (năm)
Chiều rộng của hình chữ nhật là: 20 : 1 x 2 = 40 (m)
Chiều dài của hình chữ nhật là: 40 + 20 = 60 (m)
Diện tích của hình chữ nhật là: 40 x 60 = 2400 (m2)
Đáp số : 2400 m2
Trang 24- VD 2.30: Có hai thùng dầu, thùng thứ nhất đựng ít thùng thứ hai 24 lít dầu 5lần thùng thứ nhất bằng 3 lần thùng thứ hai Hỏi mỗi thùng đựng bao nhiêu lít dầu?
9 Các bài toán tổng hợp giải bằng hai phép tính cộng và trừ
9.1 Bài toán giải bằng hai phép tính cộng.
- VD 2.31: Lan làm được 5 cái phong bì Mai làm được 4 cái Hồng làm được 6cái Hỏi cả ba bạn làm được bao nhiêu phong bì?
+ Lời giải:
Số phong bì mà Mai và Lan làm được làm: 5 + 4 = 9 (phong bì)
Số phong bì mà cả ba bạn làm được làm: 9 + 6 = 15 (phong bì)
Đáp số: 15 phong bì
9.2 Bài toán giải bằng hai phép tính cộng và trừ (cộng trước, trừ sau)
- VD 2.32: Lan gieo 10 hạt đậu Hằng gieo 8 hạt đậu Trong số các hạt gieo có 3hạt không nảy mầm Hỏi có mấy hạt nảy mầm?
+ Lời giải: Sô hạt nảy mầm là:
(10 + 8) – 3 = 15 (hạt)
Đáp số: 15 hạt
9.3 Bài toán giải bằng hai phép tính trừ và cộng (trừ trước, cộng sau)
- VD 2.33: Trên ô tô có 45 hành khách Đến một bến có 5 người xuống và 4người lên Hỏi trong ô tô bây giờ có bao nhiêu người khách?
Trang 25Đáp số : 44 hành khách
9.4 Bài toán giải bằng hai phép tính trừ.
- VD 2.34: Trên ô tô có 45 hành khách Đến một bến có 5 người xuống và 4người lên Hỏi trong ô tô bây giờ có bao nhiêu người khách?
10 Bài toán cơ bản về hai đại lượng tỉ lệ
10.1 Bài toán cơ bản về hai đại lượng tỉ lệ thuận.
- Định nghĩa: Hai đại lượng gọi tỉ lệ thuận, nếu giá trị của đại lượng này tăng
(hoặc giảm) bao nhiêu lần thì giá trị của đại lượng kia cũng tăng (hoặc giảm) bấynhiêu lần
- Ví dụ 2.35: Hôm qua, mẹ mua cho An 12 quyển tập hết 90 000 đồng Hỏi nếuhôm nay, mẹ mua 4 quyển tập thì mẹ cần bao nhiêu tiền ?
+ Tóm tắt: quyển tập và số tiền là hai đại lượng tỉ lệ thuận
- Ví dụ 2.36: May ba bộ quần áo như nhau hết 15 mét vải Hỏi may 9 bộ quần
áo như thế hết mấy mét vải?
+ Hướng dẫn giải
Bước 1 Tóm tắt đề bài
Trang 263 bộ quần áo hết 15 m vải
9 bộ quần áo hết ? m vải
Bước 2 Phân tích đề tài, nhận dạng toán tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch
- Ta thấy, bài toán có 2 đại lượng là số bộ quần áo và số m vải
- Khi số bộ quần áo tăng lên thì số m vải để may quần áo cũng tăng
=> Bài toán tỉ lệ thuận
Bước 3 Giải bài toán
- Ở bài toán ví dụ minh họa, chúng ta theo dõi giải theo cả 3 cách, trong thực tếlàm bài tập, học sinh chỉ cần giải 1 trong 3 cách
Cách 1: Rút về đơn vị
- Số m vải để may một bộ quần áo là: 15 : 3 = 5 (m)
- Vậy 9 bộ quần áo như thế hết số vài là : 5 x 9 = 45 (m)
Đáp số: 45 m vải
Cách 2: Dùng tỉ số
- 9 bộ quần áo gấp 3 bộ quần áo số lần là: 9 : 3 = 3 (lần)
- Vậy số mét vải may 9 bộ quần áo đó là: 15 x 3 = 45 (m)
Đáp số: 45 m vải
Cách 3: Áp dụng qui tắc tam suất
Số mét vải cần may 9 bộ quần áo là: (9 x 15):3 = 45 (m)
Đáp số: 45 m vải
10.2 Bài toán cơ bản về hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Định nghĩa: Hai đại lượng gọi tỉ lệ nghịch, nếu giá trị của đại lượng này tăng(hoặc giảm) bao nhiêu lần thì giá trị của đại lượng kia cũng giảm (hoặc tăng) bấynhiêu lần
- VD 2.37: 10 người làm xong một công việc phải hết 7 ngày Nay muốn làmxong công việc đó trong 5 ngày thì cần bao nhiêu người? (Mức làm của mỗi người nhưnhau)
+ Tóm tắt : số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
10 người : 7 ngày ? người : 5 ngày
Trang 27Số người làm xong một công việc trong 5 ngày là :
10 x 7 : 5 = 14 (người)
Đáp số : 14 người
11 Một số bài toán điển hình khác
11.1 Bài toán về trồng cây.
- VD 2.38: Một hàng rào thẳng có chiều dài là: 100m cứ 2m lại có 1 chiếc cọcrào Hỏi có bao nhiêu chiếc cọc?
Bài toán trồng cây là một trong số những bài toán có văn rất thú vị ở tiểu học.Tuy không được giới thiệu cụ thể trong chương trình sách giáo khoa ở lớp nào nhưng
ta lại thấy bài toán có thể áp dụng được cho học sinh từ lớp 1 với những yêu cầu khácnhau Những bài toán dạng này có liên quan mật thiết đến các dãy số cách đều, do đómuốn nắm được cách giải các bài toán dạng này cần nắm được cách tính khoảng cáchcũng như số các số hạng của một dãy số cách đều (trong đó khoảng cách giữa các sốhạng chính là khoảng cách giữa các cây, số các số hạng chính là số cây trồng) Đối vớinhững bài toán dạng này, mặc dù không phải là quá khó nhưng học sinh lại rất haynhầm trong khi giải
* Dạng 1: Bài toán tính số cây khi trồng cây ở cả 2 đầu đường
Khi trồng cây ở cả 2 đầu đường thì số cây sẽ nhiều hơn số khoảng cách là 1 Nhưvậy ta có thể áp dụng một số công thức sau để giải các bài toán dạng này:
Số cây = Độ dài đoạn đường: Khoảng cách giữa các cây + 1
Độ dài đoạn đường = (Số cây – 1 ) x Khoảng cách giữa các cây
Trang 28Khoảng cách gữa các cây = Độ dài đoạn đường : (Số cây – 1 ).
- VD 2.39: Người ta trồng cây ở hai bên đường của một đoạn đường dài 1500m.Biết khoảng cách giữa các cây đều nhau là 2m và ở cả 2 đầu của đoạn đường đều cótrồng cây Tính số cây phải trồng ở cả 2 bên của đoạn đường đó
+ Phân tích: Để tính số cây phải trồng ở cả 2 bên đường ta cần tính số cây trồng
ở 1 bên đường Từ khoảng cách giữa các cây và độ dài của đoạn đường ta có thể ápdụng công thức tính số cây khi trồng ở cả 2 đầu đường và tìm được số cây trồng ở 1bên đường Ta có thể giải bài toán như sau:
+ Giải:
Số cây phải trồng ở 1 bên của đoạn đường đó là: 1500 : 2 + 1 = 751 (cây )
Số cây phải trồng ở cả 2 bên của đoạn đường đó là: 751 x 2 = 1502 (cây )
Đáp số: 1502 cây
- VD 2.40: Đoạn đường từ nhà Huy đến trường dài 1250m, ở cả 2 bên đườngđều trồng những cây nhãn cách đều nhau Huy đếm được ở cả 2 bên đường từ câynhãn ở cổng nhà mình đến cây nhãn ở cổng trường có tất cả 252cây Hỏi khoảng cáchgiữa các cây là bao nhiêu mét, biết các cây trồng đối diện nhau ở 2 bên đường?
+ Phân tích: Vì ở cả cổng nhà và cổng trường đều có trồng cây nên số cây sẽnhiều hơn số khoảng cách giữa các cây là 1 Từ số cây trồng ở cả 2 bên đường ta tìmđược số cây trồng ở 1 bên đường Từ độ dài đoạn đường và số cây trồng ở 1bên đường
ta có thể áp dụng công thức tính khoảng cách giữa các cây khi trồng cây ở cả 2 đầuđường để tìm được khoảng cách giữa các cây Ta có thể giải bài toán như sau:
+ Giải: Số cây trồng ở 1 bên đường là: 252 : 2 = 126 (cây )
Khoảng cách giữa các cây trồng trên đoạn đường đó là:
1250 : (126 – 1 ) = 10 (m )
Đáp số: 10m
- VD 2.41: Lớp 5A lao động trồng cây trên một đoạn đường Biết rằng số câytrồng được ở cả 2 bên đường là 182cây, khoảng cách giữa các cây đều bằng 5m và ở
cả 2 đầu của đoạn đường đều có trồng cây Tính độ dài của đoạn đường đó
+ Phân tích: Từ số cây trồng được ở cả 2 bên đường ta tìm được số cây trồngđược ở 1 bên đường Vì cả 2 đầu đường đều trồng cây nên từ số cây trồng ở 1 bênđường và khoảng cách giữa các cây ta tìm được độ dài đoạn đường như sau:
+ Giải: Số cây trồng ở 1 bên đường là: 182 : 2 = 91 (cây )
Độ dài của đoạn đường đó là: (91 – 1 ) x 5 = 450 (m )
Đáp số: 450m
* Dạng 2: Bài toán tính số cây khi chỉ trồng cây ở 1 đầu đường
Khi trồng cây ở 1 đầu đường thì số cây sẽ bằng số khoảng cách giữa các cây Ta
có thể áp dụng một số công thức sau để giải các bài toán dạng này:
Số cây = Độ dài đoạn đường : Khoảng cách giữa các cây
Độ dài đoạn đường = Số cây x Khoảng cách giữa các cây