Các dạng toán chứng minh Hình học cơ bản dành cho học sinh Trung học cơ sở như: chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh hai góc bằng nhau, chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, chứng minh đường thẳng vuông góc với nhau, ... Phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi môn Toán trong các kì thi HSG (học sinh giỏi) và HSG (High School for the Gifted THPT chuyên).
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH I CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU A PHƯƠNG PHÁP Hai đoạn thẳng có số đo Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba Hai đoạn thẳng tổng, hiệu, trung bình nhân, hai đoạn thẳng đôi Hai đoạn thẳng suy từ tính chất tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, Hai cạnh tương ứng hai tam giác Định nghĩa trung điểm đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến tam giác, định nghĩa trung trực đoạn thẳng Tính chất hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng, hình thang cân, Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc 30o tam giác vng Tính chất giao điểm ba đường phân giác tam giác, tính chất giao điểm ba đường trung trực tam giác 10 Định lí đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang 11 Các tính chất dây cung, cung đường tròn 12 Tính chất tỉ số 13 Một số định lí Ta-lét, Pitago, 14 Tính chất hai đoạn thẳng song song chắn hai đường thẳng song song 15 Các tính chất phép tịnh tiến, đối xứng, quay B MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài toán Cho tam giác ABC có AP phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ tia Px cho góc CPx góc BAC Tia cắt AC E Chứng minh PB = PE Bài tốn Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Vẽ hình bình hành EADF Chứng minh BCF tam giác Bài toán Gọi P điểm nằm đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Hạ đường vng góc PA1, PB1, PC1 xuống cạnh BC, CA, AB a Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng b Gọi H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng A 1B1C1 cắt PH I Chứng minh IP = IH HD: b Lấy Q đối xứng với P qua điểm C1 ,Lấy R đối xứng với P qua điểm A1 IP = IH ⇐ IC1 / /QH , IA1 / / HR ⇐ Q, H , R thẳng hàng (PP10) Gọi K L điểm đối xứng với H qua BA BC Dễ thấy K, L thuộc (O) PQKH PRLH hình thang cân · · · · · · QHK + KHL + LHR = PKH + KHL + PLH · · · · = PBC + KHL + PBA = ·ABC + KHL = 180o ⇒ Q, H , R thẳng hàng Chú ý: QR đường thẳng Stai-nơ Đường thẳng Stai-nơ song song với đường thẳng Simson Bài toán Cho điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Lấy AB BC cạnh dựng hai tam giác ABE BCF nằm phía bờ AC Gọi I J trung điểm AF CE Chứng minh IJ = EF/2 HD: Gọi M, N, K trung điểm BE, BF AC Ta có MN = EF/2 Chứng minh MN = IJ ∆BMN = ∆KJI Bài toán Cho tam giác ABC ( I ) đường tròn nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm cạnh BC, CA, AB A 1, B1, C1 Gọi E điểm đối xứng B qua CI, F điểm đối xứng B qua AI Chứng minh B 1E = B1F HD: Chứng minh B1F = BC1, B1E = BA1 Bài tập Cho đường tròn ( O ) đường thẳng d khơng cắt đường tròn ( O ) Gọi A hình chiếu (O) d Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) B C Hai tiếp tuyến (O) B C cắt d E F Chứng minh AE = AF · · C (= OAC · HD: Chứng minh OEB = OF ) ⇒ ∆OEB = ∆OFC ⇒ OE = OF II CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU A PHƯƠNG PHÁP Sử dụng hai góc có số đo Sử dụng góc thứ ba làm trung gian ( hai góc góc), hai góc phụ góc, hai góc bù góc Hai góc tổng, hiệu góc tương ứng Sử dụng định nghĩa tia phân giác góc Hai góc đối đỉnh Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song ( đồng vị, so le, ) Hai góc nhọn tù có cạnh tương ứng song song vng góc Hai góc tương ứng hai tam giác Hai góc nội tiếp chắn cung 10 Hai góc đáy tam giác cân, hình thang cân 11 Các góc tam giác 12 Sử dụng tính chất góc hình bình hành 13 Sử dụng kết hai tam giác đồng dạng 14 Sử dụng tính chất tam giác, tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn 15 Sử dụng hàm số lượng giác sin, cos, tan cot 16 Sử dụng tính chất phép tịnh tiến, đối xứng, quay B MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Bài tốn Cho tam giác ABC, cạnh AB AC lấy hai điểm D E cho BD = CE Gọi M N trung điểm BC DE Đường thẳng qua M N cắt AB AC P Q Chứng minh góc MPB góc MQC Khai thác: Chứng minh MN song song với tia phân giác góc BAC Bài tốn Cho D trung điểm đoạn thẳng AM Trên nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ nửa đường tròn đường kính AM nửa đường tròn đường kính AD Tiếp tuyến D đường tròn nhỏ cắt nửa đường tròn lớn C tiếp tuyến C A đường tròn lớn cắt B Nối P cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đường tròn nhỏ K Chứng minh AP phân giác góc BAK · · » ⇐ AI = IK · ⇐ BAP = PAK ⇐ »AI = IK HD: AP phân giác BAK · ⇐ ·ADI = IDP ⇐ DI ⊥ AP tam giác DAP cân D Bài tốn Cho hình vng ABCD cạnh a, E điểm nằm A B, đường thẳng CE cắt dường thẳng AD K Qua C kẻ đường thẳng vng góc với CE, cắt AB I a Chứng minh trung điểm IK di động đường thẳng cố định E di động đoạn AB b Cho BE = x Tính BK, CK, IK diện tích tứ giác ACKI theo a x Bài toán Cho tam giác ABC với góc A < 90 o, có AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Vẽ đường cao AH bán kính OA Chứng minh · µ −C µ OAH =B HD: Theo GT ta có Bµ > Cµ Ta tạo Bµ − Cµ cách lấy B làm đỉnh, BC · µ Ta cần chứng minh ·ABx = OAH · làm cạnh, vẽ CBx AH kéo =C dài cắt (O) D, Bx cắt (O) E, chứng tỏ AE ⊥ AD ⇒ D, O, E thẳng hàng Từ suy điều cần chứng minh Cách 2: Có thể tạo ·ABx = Cµ Cách 3: Có thể tạo ·ACE = Bµ − Cµ ( B E khác phía bờ AC ) · µ −C µ ( A Q khác phía bờ BC ) Cách 4: Có thể tạo BCQ =B Cách 5: Kẻ đường kính AK Xét góc tam giác ABK · µ Cách 6: Tương tự tìm cách cách để chứng minh Bµ = OAH +C Bài tốn Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B (O1 O2 thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O 1) C, cắt đường tròn (O2) D Các tiếp tuyến hai đường tròn kẻ từ C D cắt I Chứng minh cát tuyến CAD thay đổi : a Góc CBD khơng đổi b Góc CID khơng đổi · · AO không đổi · · =O HD:a) CBD = CBA + ·ABD Biến đổi chứng tỏ CBD Bài tốn · · Cho hình bình hành ABCD, P hình bình hành cho PAB = PCB · · Chứng minh PBA = PDA HD: Vẽ hình bình hành APQD suy PQCB hình bình hành Ta · · · · · · có PBA = QCD , PDA = QPD Phải chứng minh QCD = QPD cách chứng minh tứ giác PDQC nội tiếp Bài toán Cho hình bình hành ABCD, BC CD lấy điểm tương ứng M N cho BN = DM Gọi I giao điểm BN DM Chứng minh ·AID = ·AIB HD: Kẻ AE AF vng góc với DM BN Chứng minh ∆AIE = ∆AIF Muốn phải chứng minh AE = AF, ta chứng minh S ∆ADM = S∆ABN ( = Bài toán S ABCD ) Cho (O1) (O2) tiếp xúc với A Điểm C thuộc (O 1) Kẻ · · tiếp tuyến (O1) C cắt (O2) B D Chứng minh BAC = CAD Khai thác: Chứng minh tương tự cho trường hợp hai đường tròn tiếp xúc ngồi ¼ = MD ¼ HD: AC cắt (O2) M Chứng minh BM III CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU A PHƯƠNG PHÁP Xét vị trí cặp góc tạo đường thẳng định chứng minh song song với đường thẳng thứ ba ( vị trí đồng vị, so le, ) Sử dụng tính chất hình bình hành Hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng thứ ba Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, tính chất hình bình hành Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song Sử dụng kết đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy đường thẳng tương ứng song song ( định lí Ta-lét ) Sử dụng tính chất đường thẳng qua trung điểm hai cạnh bên trung điểm hai đường chéo hình thang B MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Bài tốn · Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Kẻ phân giác MI góc BMA · phân giác MJ góc CMA ( I thuộc AB, J thuộc AC ) Chứng minh IJ // BC IA JA IJ / / BC ⇐ = HD: IB JC IA MA JA MA ⇐ = , = , MB = MC IB MB JC MC Bài toán Cho ABCD hình thang cân, có đáy lớn CD Theo thứ tự từ A B vẽ đường thẳng song song với BC AD cắt hai đường chéo BD AC E F Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân Khai thác: Nếu ABCD tứ giác lồi DEFC hình gì? Bài tốn Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax Gọi C điểm nửa đường tròn Tia phân giác góc CAx cắt nửa đường tròn E, AE BC cắt K a) Tam giác ABK tam giác gì? Vì sao? b) Gọi I giao điểm AC BE Chứng minh KI // Ax c) Chứng minh OE // BC Bài toán Cho (O) (I) tiếp xúc với E Qua E vẽ cát tuyến cắt (O) (I) A C Một cát tuyến khác qua E cắt (O) (I) B D Chứng minh tứ giác ABCD hình thang Khai thác: Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD cắt E Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tiếp xúc ngồi với đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE E HD: Qua E kẻ tiếp tuyến chung xy hai đường tròn Bài tốn Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) (AD // BC, BC đáy nhỏ) Gọi I giao điểm AB CD Hai tiếp tuyến (O) B D gặp K Chứng minh IK // BC · · · · HD: Phải chứng minh CBK = IKB ⇔ BDC = IKB ⇔ BDKI tứ giác nội tiếp Bài tốn Cho hình bình hành ABCD, điểm I thuộc BD Gọi E, F, K, L thứ tự hình chiếu I xuống AB, BC, CD, DA Chứng minh EF // KL HD: Sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M tam giác · · · cho MAB Kẻ tiếp tuyến Ax (O), Ax cắt CM I Chứng = MBC = MCA minh IB // AC · · · HD: Ta phải chứng minh BIC = ·ACI ⇔ BIC = BAM ⇔ AIBM tứ giác nội tiếp IV CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI NHAU A PHƯƠNG PHÁP Tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù Hai đường thẳng cắt tạo thành góc 90o Dựa vào tính chất tổng góc tam giác 180 o, chứng minh cho hai góc phụ suy góc thứ ba 90o Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 10 11 12 13 14 Định nghĩa ba đường cao tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng Tính chất tam giác cân, tam giác Tính chất ba đường cao tam giác Định lí Pitago Tính chất đường kính đường tròn qua trung điểm dây cung qua điểm cung Định lí nhận biết tam giác vng biết tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nửa cạnh Tính chất: Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính tiếp điểm Tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm ngồi đường tròn đường thẳng qua điểm tâm đường tròn phải vng góc với dây cung nối hai tiếp điểm Hệ thức lượng tam giác vuông b = ab, Tam giác ABC vuông A ⇔ , c = ac B MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Bài tốn Cho tam giác ABC Chọn A làm đỉnh, theo thứ tự lấy AC AB làm cạnh ta vẽ tam giác vng cân CAE BAD phía tam giác cho Gọi P, Q, M trung điểm BD, CE, CB a So sánh BE CD Chứng minh BD vng góc với CE b Chứng minh PMQ tam giác vuông cân · · ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) ⇒ BE = CD, AEB = ACD HD: a ·AEB = ·ACD ⇒ AECI tứ giác nội tiếp · · ⇒ EIC = EAC = 90o ⇒ BE ⊥ DC b PM // DC, QM // BE Mà BE ⊥ CD ⇒ PM ⊥ QM PM = 1/2DC, QM = 1/2BE mà BE = CD Suy PM = QM Vậy tam giác MPQ vng cân M Bài tốn Cho E điểm nằm (O) đường kính CD M điểm nằm đoạn CD, đường thẳng vng góc với ME E cắt hai tiếp tuyến Cx Dy (O) A B Chứng minh góc AMB 90o Bài tốn Cho hai đường tròn (O) (I) tiếp xúc với N, đường nối tâm IO cắt (O) (I) A D Tiếp tuyến chung ngồi hai đường tròn (O) (I) có tiếp điểm E F, đường thẳng AE DF cắt M Chứng minh rằng: a Tứ giác MENF hình chữ nhật b MN vng góc với AD Khai thác: Cho hai đường tròn (O) (I) Đường nối tâm OI cắt đường tròn (O) (I) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Tiếp tuyến chung ngồi hai đường tròn (O) (I) có tiếp điểm E F Các đường thẳng AE DF cắt M BE, CF cắt N Chứng minh a Tứ giác MENF hình chữ nhật b MN vng góc với AD Bài tốn Cho tam giác ABC ( AB = AC ) có O tâm đường tròn ngoại tiếp, D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE vng góc với CD HD: Gọi G trọng tâm tam giác ABC, H M trung điểm BC CD Chứng minh EG // AB Xét tam giác DEG có GO ⊥ DE , DO ⊥ GE ⇒ EO ⊥ GD Bài toán Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Điểm H thuộc đoạn DI cho AH vng góc với DI a Chứng minh tam giác CHD cân b Tính diện tích tam giác CHD theo a HD: a) AH cắt BC M Gọi N trung điểm AD CN cắt HD K Chứng minh CK ⊥ DH , DK = KH Bài toán Cho tam giác MNP cân M, đường cao MD NE cắt H Vẽ đường tròn (O) đường kính MH Chứng minh rằng: a Điểm E nằm đường tròn (O) b DE tiếp tuyến đường tròn (O) · · HD: Phải chứng minh DE ⊥ OE ⇔ DEH = OEM Bài toán Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc CD Lấy CD MB làm đường kính vẽ hai đường tròn gặp I, CI cắt AD N Chứng minh MN vng góc với BD HD: Đường tròn đường kính BM cắt AB J, CJ đường kính, C, J, D thẳng hàng Ta phải chứng minh DM = DN ⇔ DN = AJ ⇔ ∆CDN = ∆DAJ V CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TRONG HÌNH HỌC A PHƯƠNG PHÁP 1.Tính chất đoạn thẳng tỉ lệ Định lí Ta-let thuận, đảo hệ Tính chất đường phân giác tam giác Các tỉ số suy từ hai tam giác đồng dạng Tính chất đường cao, đường phân giác, trung tuyến diện tích hai tam giác đồng dạng Vận dụng hệ thức lượng tam giác vng Hệ thức cạnh góc tam giác vuông Hệ thức lượng tam giác thường Hệ thức lượng đường tròn C MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Bài tốn Ba đường trung tuyến AA1, BB1 CC1 tam giác ABC cắt G GA1 GB1 GC1 Chứng minh AA + BB + CC = 1 1 Khai thác: Ba đường cao AA1, BB1 CC1 tam giác ABC cắt H HA1 HB1 HC1 Chứng minh rằng: AA + BB + CC = 1 1 Ba phân giác AA1, BB1 CC1 tam giác ABC cắt I IA1 IB1 IC1 Chứng minh rằng: AA + BB + CC = 1 1 Cho tam giác ABC O điểm tam giác Các tia AO, BO CO kéo dài cắt BC, CA AB A 1, B1, C1 OA1 OB1 OC1 Chứng minh hệ thức: AA + BB + CC = 1 1 Bài toán Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, CD theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a AE2 = EK.EG b 1 = + AE AK AG AE EG = HD: a AE = EK EG ⇔ EK AE EG ED Vì AB // DG ⇒ = AE EB AE ED = Vì AD // BK ⇒ EK EB Từ suy điều cần chứng minh 1 1 1 EK EK AK = + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = AE AK AG AE AK AG AE AK AG AE AG AK DC AB EB EK Ta có: Từ suy điều cần chứng minh = = = = AG DG DG ED AE b Bài toán Cho AA1 đường cao tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn đường kính CE = 2R Chứng minh rằng: AB.AC = CE.AA1 Khai thác: Chứng minh cơng thức diện tích tam giác ABC abc 4R 1 1 c h + h + h = r a b c Gọi O, H, G tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm tam giác ABC Chứng minh: a O, H, G thẳng hàng b HG = 2GO Bài toán Cho ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD · · HD: Lấy điểm E thuộc cạnh BD cho BAE ∆ABE : ∆ACD = CAD ∆ABC : ∆AED Bài toán Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB, AC trung tuyến AM theo thứ tự E, F, N Chứng minh: AB + AC = AM AE AF AN Giả sử d // BC Trên tia đối tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB P đường thẳng KM cắt AC Q Chứng minh PQ // BC HD:a) Lần lượt kẻ AA1, BB1, CC1, MM1 vng góc với d áp dụng định lí Ta-lét b) KP cắt BC R, KQ cắt d S Chú ý EN = NF Vận dụng định a S = b S =pr EP FQ lí Ta-lét ta chứng minh PB = QC Bài tốn µ =D µ = 90o, AC vng góc với BD Cho hình thang ABCD, A a) Chứng minh AD trung bình nhân hai đáy b) Cho AB = 18cm, CD = 32cm Tính OA, OB, OC, OD c) Chứng minh độ dài AC, BD, AB + CD độ dài ba cạnh tam giác vuông HD: a) Kẻ AK // BD ( K ∈ BC ) Ta có DK = AB AK ⊥ AC Bài tốn Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox Oy góc xOy theo thứ tự A B Từ A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn điểm thứ hai C OC cắt đường tròn điểm E (E khác C), đường thẳng AE cắt OB K Gọi a, b, c theo thứ tự khoảng cách từ C đến AB, OB, OA Chứng minh: a OK = KB b EB CB = EA CA c a2 = b.c HD: a) Chứng minh KB2 = KO2 (= KE.KA) b) Xét ∆EBA : ∆BOC ( g.g ); ∆BAC : ∆OBA( g.g ) Thiết lập tỉ số, dùng tính chất bắc cầu suy kết c) Gọi M, N, P chân đường vng góc kẻ từ C xuống AB, OB, OA Xét ∆CPA : ∆CMB( g g ); ∆CNB : ∆CMA HẾT