Từ A, vẽ AH vuông góc với BC H thuộc BC.. Từ H, vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC E thuộc AB, F thuộc AC.. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính bằng 8 và tâm là các điểm
Trang 1ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (7,0 điểm)
x x x x x
b) Giải hệ phương trình
3
3
x
y x
y
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số (x; y) với x và y là số nguyên dương sao cho: 2
x 3y và
2
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho các số x y z, , thoã mãn 0 x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
15
P
y xz y z xz y x z
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC Lấy một điểm A trên dường tròn (O) sao cho AB > AC Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Từ H, vẽ
HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F)
a) Chứng minh rằng tam giác APH cân
b) Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm của AD và đường tròn (O) (K khác A); I là giao điểm của KF và BC Chứng minh 2
IH IC.ID
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho 28 điểm phân biệt nằm trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 6 Người ta
vẽ các đường tròn có bán kính bằng 8 và tâm là các điểm đã cho Hỏi có hay không bốn điểm trong các điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc phần chung của bốn hình tròn có tâm củng chính là bốn điểm đó (có bán kính bằng 8)? Giải thích rõ vì sao?
… Hết! …
Trang 2Đáp án
Câu 1a:
x x x x x ,với xR
1 x 2x 3 2x 1 x 2x 3 4x 2 0
2
2
x x
2
2
1
3
x
x x
x x x x x
Câu 1b) Giải hệ phương trình
3
3
x
y x
y
y
y , ta có:
2
2
y y y y
y y Hệ đã cho trở thành
2
a a ab
trình ta được 1 3 ( a a2b 1) 2 (a a2b1)
TH1: 1 3 a 2a a 1 x y, thay vào PT(1) ta có: x y 4 TH2:
2
thay vào PT(1) ta có: y 2 x 0
Vậy có nghiệm ( ; )x y (4;4), (0;2)
Câu 2:
x y x và 2 2
vì tổng hai bất đẳng thức: x y 8 0
Trang 3Vậy trong hai bdt trên phải có ít nhất một bất ngượ dấu
2
2 2
2 2
y x k k
Ta xét:
1, 2,3, 4 3x
Vậy thử trực tiếp ta có k0 hoặc k 5
Sô cần tìm: x y; 1;1 , 16;11 , 11;16
Câu 3:
Ta có:
2
15 ( )
z
P
x y x y x z
y z y z x
và
2 15
Ta có:
3 64 12
Câu 4: ( Học sinh tự vẽ hình )
a) Ta có:
0
AF 90
BAC AEH H
Do đó tứ giác AEHF là hình chữ nhật
0
AEF E O HA ABO ( Tam giác ABH vuông)
Ta có:
A
E OABOvì
, EF = HAE
Vậy OA vuông góc với EF
Xét tam giác AEP và APB có:
A chung AP ABP
AP AB
Trang 4Ta giác vuông ABH có đường cao HE nên 2
.
AE AB AH APAH APHcân tại A Gọi S là giao điểm EF và AH
Ta có S là trực tâm của tam giác AOD nên OS vuông góc với AK
Suy ra SASK
Vì tứ giác AEFK nội tiếp và AEFH là hình chữ nhật nên có 5 điểm A, E, H, F , K cùng thuộc một đường tròn tâm S
Tứ giác AHFK nội tiếp nên
2
D IF.IK=IC.ID
DKF AHF FCH ICF IK
IH IC I dpcm
Câu 5:
Chia hình vuông đã cho thành 9 hình vuông nhỏ ( có các cạnh song song với các cạnh hình vuông đã cho và có độ dài cạnh là 2)
Do 28 > 9,3 nên khi rãi các điểm này trên hình vuông ban đầu, thì sẽ tốt tại 1 hình vuông nhỏ có ít nhất 4 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh hình vuông nhỏ này Giả sử đó là 4 điểm A, B, C, D nằm trong hoặc nằm trên cạnh hình vuông nhỏ MNPQ
B; 8 ; C; 8 ; D; 8 cũng chứa toàn bộ hình vuông MNPQ
Vậy bốn hình tròn A; 8 ; B; 8 ; C; 8 ; D; 8đều chứa hình vuông MNPQ nên bốn điểm A, B, C, D nằm trong phần chung của bốn đường tròn nói trên