Đề và Đáp án thi vào lớp 10 chuyên DHSP(V1)

B Ộ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO T Ạ O TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI C Ộ NG HÒA XÃ H Ộ I CH Ủ NGH ĨA VI Ệ T NAM Độc lập – Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (2,5 điểm) 1. Cho biểu thức: 3 2 2 3 3                a b a a b b ab a a b Q a b ab a a b a Với 0, 0, .    a b a b Chứng minh giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b. 2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh đẳng thức     2 2 2 2 4 4 4 2 . a b c a b c      Câu 2 (2 điểm) Cho parabol (P): 2 y x  và đường thẳng (d): 2 1 2 y mx m    (tham số 0 m  ) 1. Chứng minh với mỗi 0 m  , đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt 2. Gọi     1 1 2 2 A ; ,B ; x y x y là các giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 2 M y y   Câu 3 (1,5 điểm) Giả sử a, b, c là các số thực a b  sao cho hai phương trình 2 1 0, x ax    2 0 x bx c    có nghiệm chung và hai phương trình 2 0, x x a    2 0 x cx b    có nghiệm chung. Tính a+b+c. Câu 2 (3 điểm) Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao 1 1 1 AA , BB , CC của tam giác ABC cắt nhau tại H, các đường thẳng 1 1 A C và AC cắt nhau tại điểm D. Gọi X là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD và đường tròn (O). 1. Chứng minh 1 1 DX.BD DC .DA  . 2. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, chứng minh DH BM  . Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 x y z y z x y z x z x y                            Chứng minh x y z   Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………….… Số báo danh:………………… ĐỀ CHÍNH THỨC Nguyễn Thanh Ninh- Email: ngninh1670@gmail.com website: http://www.thcsthanhluu.hanam.edu.vn 2 ĐÁP ÁN Câu 1: a)            3 3 2 2 2 2 2 2 Q 3 3 3 3 3 3 2 1 3 3 3 1 3 3 3 3 3 1 1 1 0 3                                                    a b a a b b a b a a b b a a b ab a a b a b ab a a b a a b ab a a b a a b b a b b a a a b b a a a b b a a b ab a b a b ab a b a a ab b a b a b a b a a b a ab b b) Ta có )(*)(2)( 2222222222444 accbbacbacba  Từ a+b+c=0 ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2                     a b c a b c ab bc ca a b b c c a abc a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( ) 2       a b c a b b c c a Thay vào (*) ta có điều phải chứng minh. Câu 2 1. Ta có tọa độ giao điểm (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 2 2 y=x y=x 1 1 y= mx+ x +mx =0;(*) 2m 2m              Xét phương trình (*) có 022 2 2 2  m m  Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với  m  0 Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 2. Ta có     2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 M 2 2 2                y y x x x x x x x x x x x x Áp dụng định lý Viet:         2 21 21 2 1 m xx mxx thay vào M ta có 2 2 4 2 4 4 1 1 1 M 2 2 2 2 2               m m m m m min M 2 2   khi 8 1 2  m Câu 3: Giả sử phương trình   2 x ax 1 0 1    và   2 x bx c 0 2    có nghiệm chung 0 x tính được :   00 x a b c c 1 1 x a b       ( vì a b  ) suy ra nghiệm còn lại của phương trình (1) là: 2 a c 1 x b    (c≠1 vì 0 không là nghiệm của pt (1) ) Giả sử phương trình:   2 x x a 0 3   và   2 x cx b 0 4    có nghiệm chung 1 x ta có:   1 1 2 x 1 c b a x b a x c 1         vậy pt (1) ; (2) (3) có nghiệm chung 1 x từ (1) và (3) ta có     1 a 1 x 1 0    nếu 2 a 1 x x 1 0      vô lý vậy 1 x 1  từ đó tính được a b c 3     Câu 4 a)Ta có tứ giác 1 1 AC A C, ABXC là các tứ giác nội tiếp   DC DX DCX DBA g.g BD.DX DC.AD DB DA       Nguyễn Thanh Ninh- Email: ngninh1670@gmail.com website: http://www.thcsthanhluu.hanam.edu.vn 3 M N H X D C 1 B 1 A 1 O A C B   1 1 1 1 1 1 DA DC DCA DC A g.g DC.AD DA .DC DA DC       1 1 DA .DC DX.DB   d) Ta thấy :theo a) 1 1 DA .DC DX.DB  suy ra 1 1 1 1 BC HA ,BC A X là các tứ giác nội tiếp 1 BC HX  là tứ giác nội tiếp    1 BXH BC H 180 BXH 90 HX BX         Kẻ đường kính BL. Ta có :  BAL 90   ( chắn nửa đường tròn) BA AL   mà CH BA CH//AL    BCL 90   ( chắn nửa đường tròn) BC CL   mà AH BC AH//CL   AHCL  là hình bình hành. Vì M là trung điểm AC M  là trung điểm LH mà  0 BXL 90  ( chắn nửa đường tròn) BX XL   mà HX BX L,H,X   thẳng hàng hay M, H, X thẳng hàng.Nên H là trực tâm tam giác BDM nên DH BM  Câu 5: x 2011 y 2012 z 2013 y 2011 z 2012 x 2013 y 2011 z 2012 x 2013 z 2011 x 2012 y 2013                            Đặt a x 2011, b y 2011, c z 2011       Ta có hệ A B C B a b 1 c 2 b c 1 a 2 b c 1 a 2 c a 1 b 2                              vai trò x,y z bình đẳng Giả sử c max{a;b;c}  vì A C  Ta có               a b 1 c 2 c a 1 b 2 a 1 a b 2 b 1 c 2 c a 1 a b 2 b 1 c 2 c 1 c 1 c 1 1 1 1 * a 1 a b 2 b 1 c 2 c 1 c 1 c                                                Mặt khác, 1 1 c a a 1 a c 1 c 1 1 c b b 2 b 1 c 2 c 1                 Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z. . GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO T Ạ O TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI C Ộ NG HÒA XÃ H Ộ I CH Ủ NGH ĨA VI Ệ T NAM Độc lập – Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM. THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (2,5 điểm) 1. Cho biểu. phụ thuộc vào a và b. 2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh đẳng thức     2 2 2 2 4 4 4 2 . a b c a b c      Câu 2 (2 điểm) Cho parabol (P): 2 y x  và đường thẳng