Đề và HD chấm thi chuyên toán THPT Yên Bái năm học 2012 – 2013 Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề. Câu 1 (2,5đ) Cho biểu thức Q = 2 2 2 1 3 4 1 1 1 1 4 x x x x x x x x x x a/ Với giá trị nào của x thì Q xác định. b/ Rút gọn Q. c/ Tìm giá trị của x để Q = 2012 x - 2012. a/ Để biểu thức Q xác định, x thỏa mãn điều kiện: 2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 4 0 4 1 0 1 x x x x x x x x x x x x b/ Với x ≥ 0 và x 1, dùng phương pháp “hữu tỷ hóa” biểu thức Q bằng cách: đặt 2 2 4 0 ;x a x a x a ta có: 2 5 4 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 1 3 4 1 1 1 1 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a Q a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q x x c/ Q = 2012 x - 2012 1x x = 2012 x - 2012 1 2012 1 0x x x 1 0 1 1 2012 0 4048144 2012 0 x x x x x x Kết hợp với ĐKXĐ: x ≥ 0 và x 1 x = 4048144 là giá trị cần tìm Câu 2 (1,5đ) Giải hệ phương trình: 2 2 2 6 3 1 1 x xy x y x y Giải hệ phương trình: 2 2 2 6 3 1 (1) 1 (2) x xy x y x y * (1) 6x 2 – 3xy + x + y – 1 = 0 6x 2 – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0 3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0 (2x – y + 1)(3x – 1) = 0 1 3 1 0 3 2 1 0 2 1 x x x y y x * Kết hợp với (2) ta có: 2 2 1 1 3 3 2 2 1 3 x x x y y và 2 2 ( 0; 1) 2 1 4 3 ( ; ) 1 5 5 x y y x x y x y Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y) 4 3 1 2 2 1 2 2 0;1 ; ; ; ; ; ; 5 5 3 3 3 3 Câu 3 (2,0đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2 a/ Vẽ (d) với m = 3. b/ Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, tìm điểm cố định ấy. c/ Tìm giá trị của m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất a/ Với m = 3 ta có y = - 4x + 2 Giao với trục tung Oy tại điểm (0 ; 2) Giao với trục hoành Ox tại điểm (0,5 ; 0) Ta có đồ thị hàm số như hình bên y = - 4x + 2 O 1 2 2 y x b/ Gọi điểm cố định mà mọi đường thẳng(d) đi qua là M(x 0 ; y 0 ) ta có: 2(m – 1)x 0 + (m – 2)y 0 = 2 với mọi m (2x 0 + y 0 )m – 2(x 0 + y 0 + 1) = 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 2 x y x m x y y vậy tọa độ điểm cố định là M(1; - 2) Cách khác: Với m = 2 ta có đường thẳng x = 1, với m = 1 ta có đường thẳng y = -2; thay x= 1; y = - 2 vào phương trình ta có: 2(m – 1).1 + (m – 2).(- 2) = 2 2m – 2 – 2m + 4 – 2 = 0 điều này luôn đúng với mọi m. Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (1; - 2) với mọi m. c/ 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2 2 1 2 2 2 m y x m m . Vì (d) không đi qua gốc O(0; 0) Gọi A, B lần lượt là giao của (d) với hai trục tọa độ Oy và Ox ta có tọa độ giao điểm là A(0; 2 2m ) và B( 1 1m ; 0). Gọi H là hình chiếu của O trên AB, xét AOB vuông tại O có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 2 1 2 1 2 OH OH OB OA m m OB OA m m 2 2 2 2 2 2 5 4 2 4 1 6 4 5 5 5 5 OH m m m ; Dấu “=” xảy ra m = 6 5 Vậy độ dài OH lớn nhất m = 6 5 , khi đó ta có OH = 5 (đv dài) Câu 4 (3,0đ) Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đường kính BB’, đường này cắt MC, B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác MOIC nội tiếp được. b/ OI vuông góc với Mx. c/ ME = R. d/ Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đường nào ? Tại sao ? a/ Vì MB, MC là 2 tiếp tuyến của (O) (gt) OM là tia phân giác của BOC (t/c…) 1 2 MOC BOC (1) Lại có 1 2 BAC BOC (hệ quả góc nội tiếp) (2) Mà BAC MIC (đồng vị do MI // BA) (3) x E K B' I A O C B M Từ (1), (2), (3) MOC MIC Tứ giác MOIC có 2 đỉnh kề nhau O và I cùng nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới cùng một góc nên nội tiếp được trong một đường tròn (theo tính chất quỹ tích cung chứa góc) b/ Vì tứ giác MOIC nội tiếp (theo trên) 0 90MIO MCO (hệ quả góc nội tiếp) OI Mx. c/ Xét MBO vuông tại B và EOB’ vuông tại O có: OB = OB’ (= R) và 1 ' ( ) 2 MOB EB O BOC MBO = EOB’ (g.n - c.g.v kề) MB = OE Mặt khác lại có MB // OE (cùng vuông góc với BB’) Tứ giác MBOE là hình bình hành (dh 3) ME = BO = R d/ Khi OM = 2R 0 60BMC mà MB // OE 0 60OKC BMC OKC vuông tại C có OK = 2 3 3 0 OC R cos30 không đổi Khi M di động luôn thỏa mãn OM = 2R thì K luôn cách O cố định một khoảng OK 2 3 3 R không đổi nên K chạy trên đường tròn tâm O bán kính OK 2 3 3 R Câu 5 (1,0đ) Tìm giá trị của x, y để biểu thức: M = 2 2 2 2 2 6 4 11 3 2 6 4x y x y x y x y đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 11 3 2 6 4 3 2 1 1 3 1 3 1 (" " 1) M x y x y x y x y x y x y x x y mà 2 2 3 1 3 1 3 1 4x x x x x x Dấu “=” xảy ra y = -1 và –1 ≤ x ≤ 3; Vậy minM = 4 y = -1 và – 1 ≤ x ≤ 3 hết . Đề và HD chấm thi chuyên toán THPT Yên Bái năm học 2012 – 2013 Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề. Câu 1 (2,5đ) Cho biểu thức Q = 2. = 2012 x - 2012 1x x = 2012 x - 2012 1 2012 1 0x x x 1 0 1 1 2012 0 4048144 2012 0 x x x x x x Kết hợp với ĐKXĐ: x ≥ 0 và. điểm cố định là M(1; - 2) Cách khác: Với m = 2 ta có đường thẳng x = 1, với m = 1 ta có đường thẳng y = -2 ; thay x= 1; y = - 2 vào phương trình ta có: 2(m – 1).1 + (m – 2). (- 2) = 2 2m – 2 –