SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 ( 1 điểm ): a) Thực hiện phép tính: 35 126320103 − −−+ . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2008xx −− . Bài 2 ( 1,5 điểm ): Cho hệ phương trình: =+ =− 5myx3 2ymx a) Giải hệ phương trình khi 2m = . b) Tìm giá tr ị c ủ a m để h ệ ph ươ ng trình đ ã cho có nghi ệ m (x; y) th ỏ a mãn h ệ th ứ c 3 m m 1yx 2 2 + −=+ . Bài 3 (1,5 điểm ) : a) Cho hàm s ố 2 x 2 1 y −= , có đồ th ị là (P). Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng đ i qua hai đ i ể m M và N n ằ m trên (P) l ầ n l ượ t có hoành độ là 2 − và 1. b) Gi ả i ph ươ ng trình: 1xx2x3x3 22 =+−+ . Bài 4 ( 2 điểm ) : Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao đ i ể m hai đườ ng chéo là O. Đườ ng th ẳ ng qua O song song v ớ i AB c ắ t AD và BC l ầ n l ượ t t ạ i M và N. a) Ch ứ ng minh: 1 AB MO CD MO =+ . b) Ch ứ ng minh: . MN 2 CD 1 AB 1 =+ c) Bi ế t 2 COD 2 AOB nS;mS == . Tính ABCD S theo m và n (v ớ i CODAOB S,S , ABCD S l ầ n l ượ t là di ệ n tích tam giác AOB, di ệ n tích tam giác COD, di ệ n tích t ứ giác ABCD). Bài 5 ( 3 điểm ) : Cho đườ ng tròn ( O; R ) và dây cung AB c ố đị nh không đ i qua tâm O; C và D là hai đ i ể m di độ ng trên cung l ớ n AB sao cho AD và BC luôn song song. G ọ i M là giao đ i ể m c ủ a AC và BD. Ch ứ ng minh r ằ ng: a) T ứ giác AOMB là t ứ giác n ộ i ti ế p. b) OM ⊥ BC. c) Đườ ng th ẳ ng d đ i qua M và song song v ớ i AD luôn đ i qua m ộ t đ i ể m c ố đị nh. Bài 6 ( 1 điểm ) : a) Cho các s ố th ự c d ươ ng x; y. Ch ứ ng minh r ằ ng: yx x y y x 22 +≥+ . b) Cho n là s ố t ự nhiên l ớ n h ơ n 1. Ch ứ ng minh r ằ ng n4 4 n + là h ợ p s ố . ======================= Hết ======================= Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………… Đ Ề CH ÍNH TH ỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I. Hướng dẫn chung: 1) N ế u thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đ áp án mà v ẫ n đ úng thì cho đủ đ i ể m t ừ ng ph ầ n nh ư h ướ ng d ẫ n quy đị nh. 2) Vi ệ c chi ti ế t hóa thang đ i ể m (n ế u có) so v ớ i thang đ i ể m trong h ướ ng d ẫ n ch ấ m ph ả i đả m b ả o không sai l ệ ch v ớ i h ướ ng d ẫ n ch ấ m và đượ c th ố ng nh ấ t trong H ộ i đồ ng ch ấ m thi. 3) Đ i ể m toàn bài l ấ y đ i ể m l ẻ đế n 0,25. II. Đáp án: Bài Nội dung Điểm 1 (1đ) a) Bi ế n đổ i đượ c: 223 35 )223)(35( += − +− 0,25 0,25 b) Đ i ề u ki ệ n 2008x ≥ 4 8031 4 8031 ) 2 1 2008x( 4 1 2008) 4 1 2008x. 2 1 .22008x(2008xx 2 ≥+−−= −++−−−=−− D ấu “ = “ xảy ra khi 4 8033 x 2 1 2008x =⇔=− (thỏa mãn). Vậy giá trị nhỏ nh ất cần tìm là 4 8033 xkhi 4 8031 = . 0,25 0,25 2 (1,5đ) a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình =+ =− 5y2x3 2yx2 −= + = ⇔ =+ =− ⇔ 2x2y 5 522 x 5y2x3 22y2x2 − = + = ⇔ 5 625 y 5 522 x 0,25 0,25 0,25 b) Gi ả i tìm đượ c: 3 m 6m5 y; 3 m 5m2 x 22 + − = + + = Thay vào h ệ th ứ c 3 m m 1yx 2 2 + −=+ ; ta đượ c 3 m m 1 3 m 6m5 3 m 5m2 2 2 22 + −= + − + + + Gi ả i tìm đượ c 7 4 m = 0,25 0,25 0,25 3 (1,5đ ) a) Tìm đượ c M(- 2; - 2); N ) 2 1 :1( − Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng có d ạ ng y = ax + b, đườ ng th ẳ ng đ i qua M và N nên −=+ −=+− 2 1 ba 2ba2 Tìm đượ c 1b; 2 1 a −== . V ậ y ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng c ầ n tìm là 1x 2 1 y −= 0,25 0,25 0,25 b) Bi ế n đổ i ph ươ ng trình đ ã cho thành 01xx2)xx(3 22 =−+−+ Đ Ề CH ÍNH TH ỨC Đặ t xxt 2 += ( đ i ề u ki ệ n t 0 ≥ ), ta có ph ươ ng trình 01t2t3 2 =−− Gi ả i tìm đượ c t = 1 ho ặ c t = 3 1 − (lo ạ i) V ớ i t = 1, ta có 01xx1xx 22 =−+⇔=+ . Gi ả i ra đượ c 2 51 x +− = ho ặ c 2 51 x −− = . 0,25 0,25 0,25 4 (2đ ) Hình v ẽ O A B C D N M 0,25 a) Ch ứ ng minh đượ c AD MD AB MO ; AD AM CD MO == Suy ra 1 AD AD AD MDAM AB MO CD MO == + =+ (1) 0,25 0,50 b) T ươ ng t ự câu a) ta có 1 AB NO CD NO =+ (2) (1) và (2) suy ra 2 AB MN CD MN hay2 AB NOMO CD NOMO =+= + + + Suy ra MN 2 AB 1 CD 1 =+ 0,25 0,25 c) n.mSn.mS S S S S OC OA OD OB ; OC OA S S ; OD OB S S AOD 222 AOD COD AOD AOD AOB COD AOD AOD AOB =⇒=⇒ =⇒=== T ươ ng t ự n.mS BOC = . V ậ y 222 ABCD )nm(mn2nmS +=++= 0,25 0,25 5 (3đ ) Hình v ẽ (ph ụ c v ụ câu a) O I C D M B A 0,25 a) Ch ứ ng minh đượ c: - hai cung AB và CD b ằ ng nhau - s đ góc AMB b ằ ng s đ cung AB Suy ra đượ c hai góc AOB và AMB b ằ ng nhau O và M cùng phía v ớ i AB. Do đ ó t ứ giác AOMB n ộ i ti ế p 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Ch ứ ng minh đượ c: - O n ằ m trên đườ ng trung tr ự c c ủ a BC (1) - M n ằ m trên đườ ng trung tr ự c c ủ a BC (2) T ừ (1) và (2) suy ra OM là đườ ng trung tr ự c c ủ a BC, suy ra BCOM ⊥ 0,25 0,25 0,25 c) T ừ gi ả thi ế t suy ra OMd ⊥ 0,25 G ọ i I l à giao đ i ể m c ủ a đ ư ờ ng th ẳ ng d v ớ i đư ờ ng tr òn ngo ạ i ti ế p t ứ gi ác AOMB, suy ra góc OMI b ằ ng 0 90 , do đ ó OI là đườ ng kính c ủ a đườ ng tròn này Khi C và D di độ ng th ỏ a mãn đề bài thì A, O, B c ố đị nh, nên đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p t ứ giác AOMB c ố đị nh, suy ra I c ố đị nh. V ậ y d luôn đ i qua đ i ể m I c ố đị nh. 0,25 0,25 0,25 6 (1đ) a) V ớ i x và y đề u d ươ ng, ta có yx x y y x 22 +≥+ (1) 0)yx)(yx()yx(xyyx 233 ≥−+⇔+≥+⇔ (2) (2) luôn đ úng v ớ i m ọ i x > 0, y > 0. V ậ y (1) luôn đ úng v ớ i m ọ i 0y,0x > > 0,25 0,25 b) n là s ố t ự nhiên l ớ n h ơ n 1 nên n có d ạ ng n = 2k ho ặ c n = 2k + 1, v ớ i k là s ố t ự nhiên l ớ n h ơ n 0. - V ớ i n = 2k, ta có k24n4 4)k2(4n +=+ l ớ n h ơ n 2 và chia h ế t cho 2. Do đ ó n4 4 n + là h ợ p s ố . -V ớ i n = 2k+1, tacó 2k2k22k4k24n4 )2.n.2()4.2n()4.2(n4.4n4n −+=+=+=+ = (n 2 + 2 2k+1 + n.2 k+1 )(n 2 + 2 2k+1 – n.2 k+1 ) = [( n+2 k ) 2 + 2 2k ][(n – 2 k ) 2 + 2 2k ]. M ỗ i th ừ a s ố đề u l ớ n h ơ n ho ặ c b ằ ng 2. V ậ y n 4 + 4 n là h ợ p s ố 0,25 0,25 ======================= Hết ======================= S Ở GIÁO DỤC V À ĐÀO T ẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ( Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (1,5 điểm ) : a) Th ự c hi ệ n phép tính: 35 126320103 − −−+ . b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 2008xx −− . Bài 2 (2 điểm ) : Cho h ệ ph ươ ng trình: =+ =− 5myx3 2ymx a) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình khi 2m = . b) Tìm giá tr ị c ủ a m để h ệ ph ươ ng trình đ ã cho có nghi ệ m (x; y) th ỏ a mãn h ệ th ứ c 3 m m 1yx 2 2 + −=+ . Bài 3 (2 điểm ) : a) Cho hàm s ố 2 x 2 1 y −= , có đồ th ị là (P). Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng đ i qua hai đ i ể m M và N n ằ m trên (P) l ầ n l ượ t có hoành độ là 2 − và 1. b) Gi ả i ph ươ ng trình: 1xx2x3x3 22 =+−+ . Bài 4 ( 1,5 điểm ) : Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao đ i ể m hai đườ ng chéo là O. Đườ ng th ẳ ng qua O song song v ớ i AB c ắ t AD và BC l ầ n l ượ t t ạ i M và N. a) Ch ứ ng minh: 1 AB MO CD MO =+ . b) Ch ứ ng minh: . MN 2 CD 1 AB 1 =+ Bài 5 ( 3 điểm ) : Cho đườ ng tròn ( O; R ) và dây cung AB c ố đị nh không đ i qua tâm O; C và D là hai đ i ể m di độ ng trên cung l ớ n AB sao cho AD và BC luôn song song. G ọ i M là giao đ i ể m c ủ a AC và BD. Ch ứ ng minh r ằ ng: a) T ứ giác AOMB là t ứ giác n ộ i ti ế p. b) OM ⊥ BC. c) Đườ ng th ẳ ng d đ i qua M và song song v ớ i AD luôn đ i qua m ộ t đ i ể m c ố đị nh. ======================= Hết ======================= Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………… Đ Ề CH ÍNH TH ỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN (Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I. Hướng dẫn chung: 1) N ế u thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đ áp án mà v ẫ n đ úng thì cho đủ đ i ể m t ừ ng ph ầ n nh ư h ướ ng d ẫ n quy đị nh. 2) Vi ệ c chi ti ế t hóa thang đ i ể m (n ế u có) so v ớ i thang đ i ể m trong h ướ ng d ẫ n ch ấ m ph ả i đả m b ả o không sai l ệ ch v ớ i h ướ ng d ẫ n ch ấ m và đượ c th ố ng nh ấ t trong H ộ i đồ ng ch ấ m thi. 3) Đ i ể m toàn bài l ấ y đ i ể m l ẻ đế n 0,25. II. Đáp án: Bài Nội dung Điểm 1 (1,5đ) a) Bi ế n đổ i đượ c: 223 35 )223)(35( += − +− 0,50 0,25 b) Đ i ề u ki ệ n 2008x ≥ 4 8031 4 8031 ) 2 1 2008x( 4 1 2008) 4 1 2008x. 2 1 .22008x(2008xx 2 ≥+−−= −++−−−=−− D ấ u “ = “ x ả y ra khi 4 8033 x 2 1 2008x =⇔=− (th ỏ a mãn). V ậ y giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ầ n tìm là 4 8033 xkhi 4 8031 = . 0,50 0,25 2 (2đ) a) Khi m = 2 ta có h ệ ph ươ ng trình =+ =− 5y2x3 2yx2 −= + = ⇔ =+ =− ⇔ 2x2y 5 522 x 5y2x3 22y2x2 − = + = ⇔ 5 625 y 5 522 x 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Gi ả i tìm đượ c: 3 m 6m5 y; 3 m 5m2 x 22 + − = + + = Thay vào h ệ th ứ c 3 m m 1yx 2 2 + −=+ ; ta đượ c 3 m m 1 3 m 6m5 3 m 5m2 2 2 22 + −= + − + + + Gi ả i tìm đượ c 7 4 m = 0,50 0,25 0,25 a) Tìm đượ c M(- 2; - 2); N ) 2 1 :1( − Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng có d ạ ng y = ax + b, đườ ng th ẳ ng đ i qua M và N nên 0,25 Đ Ề CH ÍNH TH ỨC 3 (2đ ) −=+ −=+− 2 1 ba 2ba2 Tìm đượ c 1b; 2 1 a −== . V ậ y ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng c ầ n tìm là 1x 2 1 y −= 0,25 0,25 0,25 b) Bi ế n đổ i ph ươ ng trình đ ã cho thành 01xx2)xx(3 22 =−+−+ Đặ t xxt 2 += ( đ i ề u ki ệ n t 0 ≥ ), ta có ph ươ ng trình 01t2t3 2 =−− Gi ả i tìm đượ c t = 1 ho ặ c t = 3 1 − (lo ạ i) V ớ i t = 1, ta có 01xx1xx 22 =−+⇔=+ . Gi ả i ra đượ c 2 51 x +− = ho ặ c 2 51 x −− = . 0,25 0,25 0,25 0,25 4 (1,5đ ) H ình v ẽ O A B C D N M 0,25 a) Ch ứ ng minh đượ c AD MD AB MO ; AD AM CD MO == Suy ra 1 AD AD AD MDAM AB MO CD MO == + =+ (1) 0,25 0,50 b) T ươ ng t ự câu a) ta có 1 AB NO CD NO =+ (2) (1) và (2) suy ra 2 AB MN CD MN hay2 AB NOMO CD NOMO =+= + + + Suy ra MN 2 AB 1 CD 1 =+ 0,25 0,25 5 (3đ ) Hình v ẽ (ph ụ c v ụ câu a) O I C D M B A 0,25 a) Ch ứ ng minh đượ c: - hai cung AB và CD b ằ ng nhau - s đ góc AMB b ằ ng s đ cung AB Suy ra đượ c hai góc AOB và AMB b ằ ng nhau O và M cùng phía v ớ i AB. Do đ ó t ứ giác AOMB n ộ i ti ế p 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Ch ứ ng minh đượ c: - O n ằ m trên đườ ng trung tr ự c c ủ a BC (1) 0,25 - M n ằ m tr ê n đư ờ ng trung tr ự c c ủ a BC (2) T ừ (1) và (2) suy ra OM là đườ ng trung tr ự c c ủ a BC, suy ra BCOM ⊥ 0,25 0,25 c) T ừ gi ả thi ế t suy ra OMd ⊥ G ọ i I là giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng d v ớ i đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p t ứ giác AOMB, suy ra góc OMI b ằ ng 0 90 , do đ ó OI là đườ ng kính c ủ a đườ ng tròn này. Khi C và D di độ ng th ỏ a mãn đề bài thì A, O, B c ố đị nh, nên đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p t ứ giác AOMB c ố đị nh, suy ra I c ố đị nh. V ậ y d luôn đ i qua đ i ể m I c ố đị nh. 0,25 0,25 0,25 0,25 ======================= Hết ======================= . DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN (Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề. T ẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ( Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài. Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………… Đ Ề CH ÍNH TH ỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN